Cálculo Ejemplos

$\int_{0}^{\sqrt{x}} t d t$

Paso 1

Calcula la derivada de $\int_{0}^{\sqrt{x}} t d t$ con respecto a $x$ mediante el teorema fundamental del cálculo y la regla de la cadena.

$\frac{d}{d x} [\sqrt{x}] \sqrt{x}$

Paso 2

Diferencia con la regla de la potencia.

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Paso 2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] \sqrt{x}$

Paso 2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1} \sqrt{x}$

Paso 3

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \sqrt{x}$

Paso 4

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \sqrt{x}$

Paso 5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \sqrt{x}$

Paso 6

Simplifica el numerador.

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Paso 6.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}} \sqrt{x}$

Paso 6.2

Resta $2$ de $1$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}} \sqrt{x}$

Paso 7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} \sqrt{x}$

Paso 8

Simplifica.

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Paso 8.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \sqrt{x}$

Paso 8.2

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} \sqrt{x}$

Paso 9

Combina $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ y $\sqrt{x}$ .

$\frac{\sqrt{x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$