Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to 1} \frac{3 \ln (3 x - 2)}{5 x - 5}$

Paso 1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$\frac{lim_{x \to 1} 3 \ln (3 x - 2)}{lim_{x \to 1} 5 x - 5}$

Paso 1.2

Evalúa el límite del numerador.

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Paso 1.2.1

Evalúa el límite.

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Paso 1.2.1.1

Mueve el término $3$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{3 lim_{x \to 1} \ln (3 x - 2)}{lim_{x \to 1} 5 x - 5}$

Paso 1.2.1.2

Mueve el límite dentro del logaritmo.

$\frac{3 \ln (lim_{x \to 1} 3 x - 2)}{lim_{x \to 1} 5 x - 5}$

Paso 1.2.1.3

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $1$ .

$\frac{3 \ln (lim_{x \to 1} 3 x - lim_{x \to 1} 2)}{lim_{x \to 1} 5 x - 5}$

Paso 1.2.1.4

Mueve el término $3$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{3 \ln (3 lim_{x \to 1} x - lim_{x \to 1} 2)}{lim_{x \to 1} 5 x - 5}$

Paso 1.2.1.5

Evalúa el límite de $2$ que es constante cuando $x$ se acerca a $1$ .

$\frac{3 \ln (3 lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 2)}{lim_{x \to 1} 5 x - 5}$

Paso 1.2.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $1$ para $x$ .

$\frac{3 \ln (3 \cdot 1 - 1 \cdot 2)}{lim_{x \to 1} 5 x - 5}$

Paso 1.2.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 1.2.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.2.3.1.1

Multiplica $3$ por $1$ .

$\frac{3 \ln (3 - 1 \cdot 2)}{lim_{x \to 1} 5 x - 5}$

Paso 1.2.3.1.2

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{3 \ln (3 - 2)}{lim_{x \to 1} 5 x - 5}$

Paso 1.2.3.2

Resta $2$ de $3$ .

$\frac{3 \ln (1)}{lim_{x \to 1} 5 x - 5}$

Paso 1.2.3.3

El logaritmo natural de $1$ es $0$ .

$\frac{3 \cdot 0}{lim_{x \to 1} 5 x - 5}$

Paso 1.2.3.4

Multiplica $3$ por $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 1} 5 x - 5}$

Paso 1.3

Evalúa el límite del denominador.

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Paso 1.3.1

Evalúa el límite.

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Paso 1.3.1.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 1} 5 x - lim_{x \to 1} 5}$

Paso 1.3.1.2

Mueve el término $5$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{0}{5 lim_{x \to 1} x - lim_{x \to 1} 5}$

Paso 1.3.1.3

Evalúa el límite de $5$ que es constante cuando $x$ se acerca a $1$ .

$\frac{0}{5 lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 5}$

Paso 1.3.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $1$ para $x$ .

$\frac{0}{5 \cdot 1 - 1 \cdot 5}$

Paso 1.3.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 1.3.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.3.3.1.1

Multiplica $5$ por $1$ .

$\frac{0}{5 - 1 \cdot 5}$

Paso 1.3.3.1.2

Multiplica $- 1$ por $5$ .

$\frac{0}{5 - 5}$

Paso 1.3.3.2

Resta $5$ de $5$ .

$\frac{0}{0}$

Paso 1.3.3.3

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.3.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 2

Como $\frac{0}{0}$ es de forma indeterminada, aplica la regla de l'Hôpital. La regla de l'Hôpital establece que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas.

$lim_{x \to 1} \frac{3 \ln (3 x - 2)}{5 x - 5} = lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [3 \ln (3 x - 2)]}{\frac{d}{d x} [5 x - 5]}$

Paso 3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [3 \ln (3 x - 2)]}{\frac{d}{d x} [5 x - 5]}$

Paso 3.2

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 \ln (3 x - 2)$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [\ln (3 x - 2)]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{3 \frac{d}{d x} [\ln (3 x - 2)]}{\frac{d}{d x} [5 x - 5]}$

Paso 3.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \ln (x)$ y $g (x) = 3 x - 2$ .

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Paso 3.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $3 x - 2$ .

$lim_{x \to 1} \frac{3 (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [3 x - 2])}{\frac{d}{d x} [5 x - 5]}$

Paso 3.3.2

La derivada de $\ln (u)$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{u}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{3 (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [3 x - 2])}{\frac{d}{d x} [5 x - 5]}$

Paso 3.3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $3 x - 2$ .

$lim_{x \to 1} \frac{3 (\frac{1}{3 x - 2} \frac{d}{d x} [3 x - 2])}{\frac{d}{d x} [5 x - 5]}$

Paso 3.4

Combina $\frac{1}{3 x - 2}$ y $3$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{3}{3 x - 2} \frac{d}{d x} [3 x - 2]}{\frac{d}{d x} [5 x - 5]}$

Paso 3.5

Según la regla de la suma, la derivada de $3 x - 2$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{3}{3 x - 2} (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 2])}{\frac{d}{d x} [5 x - 5]}$

Paso 3.6

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{3}{3 x - 2} (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2])}{\frac{d}{d x} [5 x - 5]}$

Paso 3.7

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{3}{3 x - 2} (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2])}{\frac{d}{d x} [5 x - 5]}$

Paso 3.8

Multiplica $3$ por $1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{3}{3 x - 2} (3 + \frac{d}{d x} [- 2])}{\frac{d}{d x} [5 x - 5]}$

Paso 3.9

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2$ con respecto a $x$ es $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{3}{3 x - 2} (3 + 0)}{\frac{d}{d x} [5 x - 5]}$

Paso 3.10

Suma $3$ y $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{3}{3 x - 2} \cdot 3}{\frac{d}{d x} [5 x - 5]}$

Paso 3.11

Combina $\frac{3}{3 x - 2}$ y $3$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{3 \cdot 3}{3 x - 2}}{\frac{d}{d x} [5 x - 5]}$

Paso 3.12

Multiplica $3$ por $3$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{9}{3 x - 2}}{\frac{d}{d x} [5 x - 5]}$

Paso 3.13

Según la regla de la suma, la derivada de $5 x - 5$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{9}{3 x - 2}}{\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 5]}$

Paso 3.14

Evalúa $\frac{d}{d x} [5 x]$ .

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Paso 3.14.1

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5 x$ con respecto a $x$ es $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{9}{3 x - 2}}{5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]}$

Paso 3.14.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{9}{3 x - 2}}{5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 5]}$

Paso 3.14.3

Multiplica $5$ por $1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{9}{3 x - 2}}{5 + \frac{d}{d x} [- 5]}$

Paso 3.15

Como $- 5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 5$ con respecto a $x$ es $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{9}{3 x - 2}}{5 + 0}$

Paso 3.16

Suma $5$ y $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{9}{3 x - 2}}{5}$

Paso 4

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$lim_{x \to 1} \frac{9}{3 x - 2} \cdot \frac{1}{5}$

Paso 5

Evalúa el límite.

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Paso 5.1

Multiplica $\frac{9}{3 x - 2}$ por $\frac{1}{5}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{9}{(3 x - 2) \cdot 5}$

Paso 5.2

Mueve el término $\frac{9}{5}$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{9}{5} lim_{x \to 1} \frac{1}{3 x - 2}$

Paso 5.3

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $1$ .

$\frac{9}{5} \cdot \frac{lim_{x \to 1} 1}{lim_{x \to 1} 3 x - 2}$

Paso 5.4

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $1$ .

$\frac{9}{5} \cdot \frac{1}{lim_{x \to 1} 3 x - 2}$

Paso 5.5

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $1$ .

$\frac{9}{5} \cdot \frac{1}{lim_{x \to 1} 3 x - lim_{x \to 1} 2}$

Paso 5.6

Mueve el término $3$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{9}{5} \cdot \frac{1}{3 lim_{x \to 1} x - lim_{x \to 1} 2}$

Paso 5.7

Evalúa el límite de $2$ que es constante cuando $x$ se acerca a $1$ .

$\frac{9}{5} \cdot \frac{1}{3 lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 2}$

Paso 6

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $1$ para $x$ .

$\frac{9}{5} \cdot \frac{1}{3 \cdot 1 - 1 \cdot 2}$

Paso 7

Simplifica la respuesta.

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Paso 7.1

Simplifica el denominador.

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Paso 7.1.1

Multiplica $3$ por $1$ .

$\frac{9}{5} \cdot \frac{1}{3 - 1 \cdot 2}$

Paso 7.1.2

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{9}{5} \cdot \frac{1}{3 - 2}$

Paso 7.1.3

Resta $2$ de $3$ .

$\frac{9}{5} \cdot \frac{1}{1}$

Paso 7.2

Cancela el factor común de $1$ .

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Paso 7.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{9}{5} \cdot \frac{1}{1}$

Paso 7.2.2

Reescribe la expresión.

$\frac{9}{5} \cdot 1$

Paso 7.3

Multiplica $\frac{9}{5}$ por $1$ .

$\frac{9}{5}$