Cálculo Ejemplos

$lim_{r \to 0^{+}} - 11 (\frac{r}{3}) \ln (\frac{r}{3})$

Paso 1

Mueve el término $- 11$ fuera del límite porque es constante con respecto a $r$ .

$- 11 lim_{r \to 0^{+}} \frac{r}{3} \ln (\frac{r}{3})$

Paso 2

Combina $\frac{r}{3}$ y $\ln (\frac{r}{3})$ .

$- 11 lim_{r \to 0^{+}} \frac{r \ln (\frac{r}{3})}{3}$

Paso 3

Mueve el término $\frac{1}{3}$ fuera del límite porque es constante con respecto a $r$ .

$- 11 (\frac{1}{3}) lim_{r \to 0^{+}} r \ln (\frac{r}{3})$

Paso 4

Reescribe $r \ln (\frac{r}{3})$ como $\frac{\ln (\frac{r}{3})}{\frac{1}{r}}$ .

$- 11 (\frac{1}{3}) lim_{r \to 0^{+}} \frac{\ln (\frac{r}{3})}{\frac{1}{r}}$

Paso 5

Aplica la regla de l'Hôpital

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Paso 5.1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 5.1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$- 11 (\frac{1}{3}) \frac{lim_{r \to 0^{+}} \ln (\frac{r}{3})}{lim_{r \to 0^{+}} \frac{1}{r}}$

Paso 5.1.2

A medida que $r$ se acerca a $0$ desde el lado derecho, $\ln (\frac{r}{3})$ disminuye sin cota.

$- 11 (\frac{1}{3}) \frac{- \infty}{lim_{r \to 0^{+}} \frac{1}{r}}$

Paso 5.1.3

Como el numerador es una constante y el denominador se acerca a $0$ cuando $r$ se acerca a $0$ desde la derecha, la fracción $\frac{1}{r}$ se acerca al infinito.

$- 11 (\frac{1}{3}) \frac{- \infty}{\infty}$

Paso 5.1.4

Infinito dividido por infinito es indefinido.

Indefinida

$- 11 (\frac{1}{3}) \frac{- \infty}{\infty}$

Paso 5.2

Como $\frac{- \infty}{\infty}$ es de forma indeterminada, aplica la regla de l'Hôpital. La regla de l'Hôpital establece que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas.

$lim_{r \to 0^{+}} \frac{\ln (\frac{r}{3})}{\frac{1}{r}} = lim_{r \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d r} [\ln (\frac{r}{3})]}{\frac{d}{d r} [\frac{1}{r}]}$

Paso 5.3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 5.3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$- 11 (\frac{1}{3}) lim_{r \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d r} [\ln (\frac{r}{3})]}{\frac{d}{d r} [\frac{1}{r}]}$

Paso 5.3.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d r} [f (g (r))]$ es $f' (g (r)) g' (r)$ donde $f (r) = \ln (r)$ y $g (r) = \frac{r}{3}$ .

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Paso 5.3.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $\frac{r}{3}$ .

$- 11 (\frac{1}{3}) lim_{r \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d r} [\frac{r}{3}]}{\frac{d}{d r} [\frac{1}{r}]}$

Paso 5.3.2.2

La derivada de $\ln (u)$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{u}$ .

$- 11 (\frac{1}{3}) lim_{r \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{u} \frac{d}{d r} [\frac{r}{3}]}{\frac{d}{d r} [\frac{1}{r}]}$

Paso 5.3.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $\frac{r}{3}$ .

$- 11 (\frac{1}{3}) lim_{r \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{\frac{r}{3}} \frac{d}{d r} [\frac{r}{3}]}{\frac{d}{d r} [\frac{1}{r}]}$

Paso 5.3.3

Multiplica por la recíproca de la fracción para dividir por $\frac{r}{3}$ .

$- 11 (\frac{1}{3}) lim_{r \to 0^{+}} \frac{1 \frac{3}{r} \frac{d}{d r} [\frac{r}{3}]}{\frac{d}{d r} [\frac{1}{r}]}$

Paso 5.3.4

Multiplica $\frac{3}{r}$ por $1$ .

$- 11 (\frac{1}{3}) lim_{r \to 0^{+}} \frac{\frac{3}{r} \frac{d}{d r} [\frac{r}{3}]}{\frac{d}{d r} [\frac{1}{r}]}$

Paso 5.3.5

Como $\frac{1}{3}$ es constante con respecto a $r$ , la derivada de $\frac{r}{3}$ con respecto a $r$ es $\frac{1}{3} \frac{d}{d r} [r]$ .

$- 11 (\frac{1}{3}) lim_{r \to 0^{+}} \frac{\frac{3}{r} \cdot \frac{1}{3} \frac{d}{d r} [r]}{\frac{d}{d r} [\frac{1}{r}]}$

Paso 5.3.6

Multiplica $\frac{1}{3}$ por $\frac{3}{r}$ .

$- 11 (\frac{1}{3}) lim_{r \to 0^{+}} \frac{\frac{3}{3 r} \frac{d}{d r} [r]}{\frac{d}{d r} [\frac{1}{r}]}$

Paso 5.3.7

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 5.3.7.1

Cancela el factor común.

$- 11 (\frac{1}{3}) lim_{r \to 0^{+}} \frac{\frac{3}{3 r} \frac{d}{d r} [r]}{\frac{d}{d r} [\frac{1}{r}]}$

Paso 5.3.7.2

Reescribe la expresión.

$- 11 (\frac{1}{3}) lim_{r \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{r} \frac{d}{d r} [r]}{\frac{d}{d r} [\frac{1}{r}]}$

Paso 5.3.8

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ es $n r^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- 11 (\frac{1}{3}) lim_{r \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{r} \cdot 1}{\frac{d}{d r} [\frac{1}{r}]}$

Paso 5.3.9

Multiplica $\frac{1}{r}$ por $1$ .

$- 11 (\frac{1}{3}) lim_{r \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{r}}{\frac{d}{d r} [\frac{1}{r}]}$

Paso 5.3.10

Reescribe $\frac{1}{r}$ como $r^{- 1}$ .

$- 11 (\frac{1}{3}) lim_{r \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{r}}{\frac{d}{d r} [r^{- 1}]}$

Paso 5.3.11

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ es $n r^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$- 11 (\frac{1}{3}) lim_{r \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{r}}{- r^{- 2}}$

Paso 5.3.12

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 11 (\frac{1}{3}) lim_{r \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{r}}{- \frac{1}{r^{2}}}$

Paso 5.4

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$- 11 (\frac{1}{3}) lim_{r \to 0^{+}} \frac{1}{r} \cdot - 1 r^{2}$

Paso 5.5

Combina $\frac{1}{r}$ y $r^{2}$ .

$- 11 (\frac{1}{3}) lim_{r \to 0^{+}} - \frac{r^{2}}{r}$

Paso 5.6

Cancela el factor común de $r^{2}$ y $r$ .

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Paso 5.6.1

Factoriza $r$ de $r^{2}$ .

$- 11 (\frac{1}{3}) lim_{r \to 0^{+}} - \frac{r \cdot r}{r}$

Paso 5.6.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.6.2.1

Eleva $r$ a la potencia de $1$ .

$- 11 (\frac{1}{3}) lim_{r \to 0^{+}} - \frac{r \cdot r}{r^{1}}$

Paso 5.6.2.2

Factoriza $r$ de $r^{1}$ .

$- 11 (\frac{1}{3}) lim_{r \to 0^{+}} - \frac{r \cdot r}{r \cdot 1}$

Paso 5.6.2.3

Cancela el factor común.

$- 11 (\frac{1}{3}) lim_{r \to 0^{+}} - \frac{r \cdot r}{r \cdot 1}$

Paso 5.6.2.4

Reescribe la expresión.

$- 11 (\frac{1}{3}) lim_{r \to 0^{+}} - \frac{r}{1}$

Paso 5.6.2.5

Divide $r$ por $1$ .

$- 11 (\frac{1}{3}) lim_{r \to 0^{+}} - r$

Paso 6

Evalúa el límite.

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Paso 6.1

Evalúa el límite.

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Paso 6.1.1

Mueve el término $- 1$ fuera del límite porque es constante con respecto a $r$ .

$- 11 (\frac{1}{3}) \cdot - 1 lim_{r \to 0^{+}} r$

Paso 6.1.2

Evalúa el límite de $r$ mediante el ingreso de $0$ para $r$ .

$- 11 (\frac{1}{3}) \cdot 0$

Paso 6.2

Simplifica la respuesta.

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Paso 6.2.1

Combina $- 11$ y $\frac{1}{3}$ .

$\frac{- 11}{3} \cdot 0$

Paso 6.2.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{11}{3} \cdot 0$

Paso 6.2.3

Multiplica $- \frac{11}{3} \cdot 0$ .

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Paso 6.2.3.1

Multiplica $0$ por $- 1$ .

$0 (\frac{11}{3})$

Paso 6.2.3.2

Multiplica $0$ por $\frac{11}{3}$ .

$0$