Cálculo Ejemplos

$\int \frac{1 + \cos (x)}{x + \sin (x)} d x$

Paso 1

Sea $u = x + \sin (x)$ . Entonces $d u = (1 + \cos (x)) d x$ , de modo que $\frac{1}{1 + \cos (x)} d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 1.1

Deja $u = x + \sin (x)$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 1.1.1

Diferencia $x + \sin (x)$ .

$\frac{d}{d x} [x + \sin (x)]$

Paso 1.1.2

Diferencia.

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Paso 1.1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x + \sin (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Paso 1.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Paso 1.1.3

La derivada de $\sin (x)$ con respecto a $x$ es $\cos (x)$ .

$1 + \cos (x)$

Paso 1.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\int \frac{1}{u} d u$

Paso 2

La integral de $\frac{1}{u}$ con respecto a $u$ es $\ln (| u |)$ .

$\ln (| u |) + C$

Paso 3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x + \sin (x)$ .

$\ln (| x + \sin (x) |) + C$