Cálculo Ejemplos

$\int \frac{x^{2} - 1}{\sqrt[3]{x}} d x$

Paso 1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[3]{x}$ como $x^{\frac{1}{3}}$ .

$\int \frac{x^{2} - 1}{x^{\frac{1}{3}}} d x$

Paso 2

Mueve $x^{\frac{1}{3}}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$\int (x^{2} - 1) {(x^{\frac{1}{3}})}^{- 1} d x$

Paso 3

Multiplica los exponentes en ${(x^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ .

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Paso 3.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int (x^{2} - 1) x^{\frac{1}{3} \cdot - 1} d x$

Paso 3.2

Combina $\frac{1}{3}$ y $- 1$ .

$\int (x^{2} - 1) x^{\frac{- 1}{3}} d x$

Paso 3.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\int (x^{2} - 1) x^{- \frac{1}{3}} d x$

Paso 4

Expande $(x^{2} - 1) x^{- \frac{1}{3}}$ .

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Paso 4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\int x^{2} x^{- \frac{1}{3}} - 1 x^{- \frac{1}{3}} d x$

Paso 4.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\int x^{2 - \frac{1}{3}} - 1 x^{- \frac{1}{3}} d x$

Paso 4.3

Para escribir $2$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$\int x^{2 \cdot \frac{3}{3} - \frac{1}{3}} - 1 x^{- \frac{1}{3}} d x$

Paso 4.4

Combina $2$ y $\frac{3}{3}$ .

$\int x^{\frac{2 \cdot 3}{3} - \frac{1}{3}} - 1 x^{- \frac{1}{3}} d x$

Paso 4.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\int x^{\frac{2 \cdot 3 - 1}{3}} - 1 x^{- \frac{1}{3}} d x$

Paso 4.6

Simplifica el numerador.

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Paso 4.6.1

Multiplica $2$ por $3$ .

$\int x^{\frac{6 - 1}{3}} - 1 x^{- \frac{1}{3}} d x$

Paso 4.6.2

Resta $1$ de $6$ .

$\int x^{\frac{5}{3}} - 1 x^{- \frac{1}{3}} d x$

Paso 5

Divide la única integral en varias integrales.

$\int x^{\frac{5}{3}} d x + \int - 1 x^{- \frac{1}{3}} d x$

Paso 6

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{\frac{5}{3}}$ con respecto a $x$ es $\frac{3}{8} x^{\frac{8}{3}}$ .

$\frac{3}{8} x^{\frac{8}{3}} + C + \int - 1 x^{- \frac{1}{3}} d x$

Paso 7

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$\frac{3}{8} x^{\frac{8}{3}} + C - \int x^{- \frac{1}{3}} d x$

Paso 8

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{- \frac{1}{3}}$ con respecto a $x$ es $\frac{3}{2} x^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{3}{8} x^{\frac{8}{3}} + C - (\frac{3}{2} x^{\frac{2}{3}} + C)$

Paso 9

Simplifica.

$\frac{3}{8} x^{\frac{8}{3}} - \frac{3}{2} x^{\frac{2}{3}} + C$