Cálculo Ejemplos

$\int 16 x^{2} \sqrt[3]{7 - 4 x^{3}} d x$

Paso 1

Dado que $16$ es constante con respecto a $x$ , mueve $16$ fuera de la integral.

$16 \int x^{2} \sqrt[3]{7 - 4 x^{3}} d x$

Paso 2

Sea $u = 7 - 4 x^{3}$ . Entonces $d u = - 12 x^{2} d x$ , de modo que $- \frac{1}{12} d u = x^{2} d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 2.1

Deja $u = 7 - 4 x^{3}$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 2.1.1

Diferencia $7 - 4 x^{3}$ .

$\frac{d}{d x} [7 - 4 x^{3}]$

Paso 2.1.2

Diferencia.

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Paso 2.1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $7 - 4 x^{3}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [7] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [7] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$

Paso 2.1.2.2

Como $7$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $7$ con respecto a $x$ es $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$

Paso 2.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$ .

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Paso 2.1.3.1

Como $- 4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 4 x^{3}$ con respecto a $x$ es $- 4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$0 - 4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Paso 2.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$0 - 4 (3 x^{2})$

Paso 2.1.3.3

Multiplica $3$ por $- 4$ .

$0 - 12 x^{2}$

Paso 2.1.4

Resta $12 x^{2}$ de $0$ .

$- 12 x^{2}$

Paso 2.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$16 \int \sqrt[3]{u} \frac{1}{- 12} d u$

Paso 3

Simplifica.

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Paso 3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$16 \int \sqrt[3]{u} (- \frac{1}{12}) d u$

Paso 3.2

Combina $\sqrt[3]{u}$ y $\frac{1}{12}$ .

$16 \int - \frac{\sqrt[3]{u}}{12} d u$

Paso 4

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $u$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$16 (- \int \frac{\sqrt[3]{u}}{12} d u)$

Paso 5

Multiplica $- 1$ por $16$ .

$- 16 \int \frac{\sqrt[3]{u}}{12} d u$

Paso 6

Dado que $\frac{1}{12}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{12}$ fuera de la integral.

$- 16 (\frac{1}{12} \int \sqrt[3]{u} d u)$

Paso 7

Simplifica la expresión.

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Paso 7.1

Simplifica.

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Paso 7.1.1

Combina $\frac{1}{12}$ y $- 16$ .

$\frac{- 16}{12} \int \sqrt[3]{u} d u$

Paso 7.1.2

Cancela el factor común de $- 16$ y $12$ .

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Paso 7.1.2.1

Factoriza $4$ de $- 16$ .

$\frac{4 (- 4)}{12} \int \sqrt[3]{u} d u$

Paso 7.1.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 7.1.2.2.1

Factoriza $4$ de $12$ .

$\frac{4 \cdot - 4}{4 \cdot 3} \int \sqrt[3]{u} d u$

Paso 7.1.2.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{4 \cdot - 4}{4 \cdot 3} \int \sqrt[3]{u} d u$

Paso 7.1.2.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{- 4}{3} \int \sqrt[3]{u} d u$

Paso 7.1.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{4}{3} \int \sqrt[3]{u} d u$

Paso 7.2

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[3]{u}$ como $u^{\frac{1}{3}}$ .

$- \frac{4}{3} \int u^{\frac{1}{3}} d u$

Paso 8

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{\frac{1}{3}}$ con respecto a $u$ es $\frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}}$ .

$- \frac{4}{3} (\frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}} + C)$

Paso 9

Simplifica.

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Paso 9.1

Reescribe $- \frac{4}{3} (\frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}} + C)$ como $- \frac{4}{3} \cdot \frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}} + C$ .

$- \frac{4}{3} \cdot \frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}} + C$

Paso 9.2

Simplifica.

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Paso 9.2.1

Multiplica $\frac{3}{4}$ por $\frac{4}{3}$ .

$- \frac{3 \cdot 4}{4 \cdot 3} u^{\frac{4}{3}} + C$

Paso 9.2.2

Multiplica $3$ por $4$ .

$- \frac{12}{4 \cdot 3} u^{\frac{4}{3}} + C$

Paso 9.2.3

Multiplica $4$ por $3$ .

$- \frac{12}{12} u^{\frac{4}{3}} + C$

Paso 9.2.4

Cancela el factor común de $12$ .

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Paso 9.2.4.1

Cancela el factor común.

$- \frac{12}{12} u^{\frac{4}{3}} + C$

Paso 9.2.4.2

Reescribe la expresión.

$- 1 \cdot 1 u^{\frac{4}{3}} + C$

Paso 9.2.5

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$- u^{\frac{4}{3}} + C$

Paso 10

Reemplaza todos los casos de $u$ con $7 - 4 x^{3}$ .

$- {(7 - 4 x^{3})}^{\frac{4}{3}} + C$