Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to 2} \frac{2 \cos (4 - 2 x) - x}{x^{2} - 4}$

Paso 1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$\frac{lim_{x \to 2} 2 \cos (4 - 2 x) - x}{lim_{x \to 2} x^{2} - 4}$

Paso 1.2

Evalúa el límite del numerador.

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Paso 1.2.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $2$ .

$\frac{lim_{x \to 2} 2 \cos (4 - 2 x) - lim_{x \to 2} x}{lim_{x \to 2} x^{2} - 4}$

Paso 1.2.2

Mueve el término $2$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{2 lim_{x \to 2} \cos (4 - 2 x) - lim_{x \to 2} x}{lim_{x \to 2} x^{2} - 4}$

Paso 1.2.3

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque el coseno es continuo.

$\frac{2 \cos (lim_{x \to 2} 4 - 2 x) - lim_{x \to 2} x}{lim_{x \to 2} x^{2} - 4}$

Paso 1.2.4

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $2$ .

$\frac{2 \cos (lim_{x \to 2} 4 - lim_{x \to 2} 2 x) - lim_{x \to 2} x}{lim_{x \to 2} x^{2} - 4}$

Paso 1.2.5

Evalúa el límite de $4$ que es constante cuando $x$ se acerca a $2$ .

$\frac{2 \cos (4 - lim_{x \to 2} 2 x) - lim_{x \to 2} x}{lim_{x \to 2} x^{2} - 4}$

Paso 1.2.6

Mueve el término $2$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{2 \cos (4 - 1 \cdot 2 lim_{x \to 2} x) - lim_{x \to 2} x}{lim_{x \to 2} x^{2} - 4}$

Paso 1.2.7

Evalúa los límites mediante el ingreso de $2$ para todos los casos de $x$ .

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Paso 1.2.7.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $2$ para $x$ .

$\frac{2 \cos (4 - 1 \cdot 2 \cdot 2) - lim_{x \to 2} x}{lim_{x \to 2} x^{2} - 4}$

Paso 1.2.7.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $2$ para $x$ .

$\frac{2 \cos (4 - 1 \cdot 2 \cdot 2) - 2}{lim_{x \to 2} x^{2} - 4}$

Paso 1.2.8

Simplifica la respuesta.

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Paso 1.2.8.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.2.8.1.1

Multiplica $- 1 \cdot 2 \cdot 2$ .

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Paso 1.2.8.1.1.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{2 \cos (4 - 2 \cdot 2) - 2}{lim_{x \to 2} x^{2} - 4}$

Paso 1.2.8.1.1.2

Multiplica $- 2$ por $2$ .

$\frac{2 \cos (4 - 4) - 2}{lim_{x \to 2} x^{2} - 4}$

Paso 1.2.8.1.2

Resta $4$ de $4$ .

$\frac{2 \cos (0) - 2}{lim_{x \to 2} x^{2} - 4}$

Paso 1.2.8.1.3

El valor exacto de $\cos (0)$ es $1$ .

$\frac{2 \cdot 1 - 2}{lim_{x \to 2} x^{2} - 4}$

Paso 1.2.8.1.4

Multiplica $2$ por $1$ .

$\frac{2 - 2}{lim_{x \to 2} x^{2} - 4}$

Paso 1.2.8.2

Resta $2$ de $2$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 2} x^{2} - 4}$

Paso 1.3

Evalúa el límite del denominador.

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Paso 1.3.1

Evalúa el límite.

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Paso 1.3.1.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $2$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 2} x^{2} - lim_{x \to 2} 4}$

Paso 1.3.1.2

Mueve el exponente $2$ de $x^{2}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$\frac{0}{{(lim_{x \to 2} x)}^{2} - lim_{x \to 2} 4}$

Paso 1.3.1.3

Evalúa el límite de $4$ que es constante cuando $x$ se acerca a $2$ .

$\frac{0}{{(lim_{x \to 2} x)}^{2} - 1 \cdot 4}$

Paso 1.3.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $2$ para $x$ .

$\frac{0}{2^{2} - 1 \cdot 4}$

Paso 1.3.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 1.3.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.3.3.1.1

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$\frac{0}{4 - 1 \cdot 4}$

Paso 1.3.3.1.2

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$\frac{0}{4 - 4}$

Paso 1.3.3.2

Resta $4$ de $4$ .

$\frac{0}{0}$

Paso 1.3.3.3

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.3.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 2

Como $\frac{0}{0}$ es de forma indeterminada, aplica la regla de l'Hôpital. La regla de l'Hôpital establece que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas.

$lim_{x \to 2} \frac{2 \cos (4 - 2 x) - x}{x^{2} - 4} = lim_{x \to 2} \frac{\frac{d}{d x} [2 \cos (4 - 2 x) - x]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 4]}$

Paso 3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{d}{d x} [2 \cos (4 - 2 x) - x]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 4]}$

Paso 3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $2 \cos (4 - 2 x) - x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [2 \cos (4 - 2 x)] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{d}{d x} [2 \cos (4 - 2 x)] + \frac{d}{d x} [- x]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 4]}$

Paso 3.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [2 \cos (4 - 2 x)]$ .

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Paso 3.3.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 \cos (4 - 2 x)$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [\cos (4 - 2 x)]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 \frac{d}{d x} [\cos (4 - 2 x)] + \frac{d}{d x} [- x]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 4]}$

Paso 3.3.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \cos (x)$ y $g (x) = 4 - 2 x$ .

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Paso 3.3.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $4 - 2 x$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [4 - 2 x]) + \frac{d}{d x} [- x]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 4]}$

Paso 3.3.2.2

La derivada de $\cos (u)$ con respecto a $u$ es $- \sin (u)$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 (- \sin (u) \frac{d}{d x} [4 - 2 x]) + \frac{d}{d x} [- x]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 4]}$

Paso 3.3.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $4 - 2 x$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 (- \sin (4 - 2 x) \frac{d}{d x} [4 - 2 x]) + \frac{d}{d x} [- x]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 4]}$

Paso 3.3.3

Según la regla de la suma, la derivada de $4 - 2 x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 (- \sin (4 - 2 x) (\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- 2 x])) + \frac{d}{d x} [- x]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 4]}$

Paso 3.3.4

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4$ con respecto a $x$ es $0$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 (- \sin (4 - 2 x) (0 + \frac{d}{d x} [- 2 x])) + \frac{d}{d x} [- x]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 4]}$

Paso 3.3.5

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2 x$ con respecto a $x$ es $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 (- \sin (4 - 2 x) (0 - 2 \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [- x]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 4]}$

Paso 3.3.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 (- \sin (4 - 2 x) (0 - 2 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [- x]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 4]}$

Paso 3.3.7

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 (- \sin (4 - 2 x) (0 - 2)) + \frac{d}{d x} [- x]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 4]}$

Paso 3.3.8

Resta $2$ de $0$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 (- \sin (4 - 2 x) \cdot - 2) + \frac{d}{d x} [- x]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 4]}$

Paso 3.3.9

Multiplica $- 2$ por $- 1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 (2 \sin (4 - 2 x)) + \frac{d}{d x} [- x]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 4]}$

Paso 3.3.10

Multiplica $2$ por $2$ .

$lim_{x \to 2} \frac{4 \sin (4 - 2 x) + \frac{d}{d x} [- x]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 4]}$

Paso 3.4

Evalúa $\frac{d}{d x} [- x]$ .

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Paso 3.4.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{4 \sin (4 - 2 x) - \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 4]}$

Paso 3.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{4 \sin (4 - 2 x) - 1 \cdot 1}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 4]}$

Paso 3.4.3

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{4 \sin (4 - 2 x) - 1}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 4]}$

Paso 3.5

Reordena los términos.

$lim_{x \to 2} \frac{- 1 + 4 \sin (4 - 2 x)}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 4]}$

Paso 3.6

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} - 4$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{- 1 + 4 \sin (4 - 2 x)}{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]}$

Paso 3.7

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$lim_{x \to 2} \frac{- 1 + 4 \sin (4 - 2 x)}{2 x + \frac{d}{d x} [- 4]}$

Paso 3.8

Como $- 4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 4$ con respecto a $x$ es $0$ .

$lim_{x \to 2} \frac{- 1 + 4 \sin (4 - 2 x)}{2 x + 0}$

Paso 3.9

Suma $2 x$ y $0$ .

$lim_{x \to 2} \frac{- 1 + 4 \sin (4 - 2 x)}{2 x}$

Paso 4

Mueve el término $\frac{1}{2}$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 2} \frac{- 1 + 4 \sin (4 - 2 x)}{x}$

Paso 5

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $2$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 2} - 1 + 4 \sin (4 - 2 x)}{lim_{x \to 2} x}$

Paso 6

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $2$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- lim_{x \to 2} 1 + lim_{x \to 2} 4 \sin (4 - 2 x)}{lim_{x \to 2} x}$

Paso 7

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $2$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- 1 \cdot 1 + lim_{x \to 2} 4 \sin (4 - 2 x)}{lim_{x \to 2} x}$

Paso 8

Mueve el término $4$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- 1 + 4 lim_{x \to 2} \sin (4 - 2 x)}{lim_{x \to 2} x}$

Paso 9

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque el seno es continuo.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- 1 + 4 \sin (lim_{x \to 2} 4 - 2 x)}{lim_{x \to 2} x}$

Paso 10

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $2$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- 1 + 4 \sin (lim_{x \to 2} 4 - lim_{x \to 2} 2 x)}{lim_{x \to 2} x}$

Paso 11

Evalúa el límite de $4$ que es constante cuando $x$ se acerca a $2$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- 1 + 4 \sin (4 - lim_{x \to 2} 2 x)}{lim_{x \to 2} x}$

Paso 12

Mueve el término $2$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- 1 + 4 \sin (4 - 1 \cdot 2 lim_{x \to 2} x)}{lim_{x \to 2} x}$

Paso 13

Evalúa los límites mediante el ingreso de $2$ para todos los casos de $x$ .

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Paso 13.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $2$ para $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- 1 + 4 \sin (4 - 1 \cdot 2 \cdot 2)}{lim_{x \to 2} x}$

Paso 13.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $2$ para $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- 1 + 4 \sin (4 - 1 \cdot 2 \cdot 2)}{2}$

Paso 14

Simplifica la respuesta.

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Paso 14.1

Simplifica el numerador.

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Paso 14.1.1

Multiplica $- 1 \cdot 2 \cdot 2$ .

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Paso 14.1.1.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- 1 + 4 \sin (4 - 2 \cdot 2)}{2}$

Paso 14.1.1.2

Multiplica $- 2$ por $2$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- 1 + 4 \sin (4 - 4)}{2}$

Paso 14.1.2

Resta $4$ de $4$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- 1 + 4 \sin (0)}{2}$

Paso 14.1.3

El valor exacto de $\sin (0)$ es $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- 1 + 4 \cdot 0}{2}$

Paso 14.1.4

Multiplica $4$ por $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- 1 + 0}{2}$

Paso 14.1.5

Suma $- 1$ y $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- 1}{2}$

Paso 14.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{2})$

Paso 14.3

Multiplica $\frac{1}{2} (- \frac{1}{2})$ .

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Paso 14.3.1

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{2 \cdot 2}$

Paso 14.3.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$- \frac{1}{4}$