Cálculo Ejemplos

$y = e^{- x} + 2 x e^{- x} + x^{2} e^{- x}$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (e^{- x} + 2 x e^{- x} + x^{2} e^{- x})$

Paso 2

La derivada de $y$ con respecto a $x$ es $y'$ .

$y'$

Paso 3

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.1

Según la regla de la suma, la derivada de $e^{- x} + 2 x e^{- x} + x^{2} e^{- x}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [e^{- x}] + \frac{d}{d x} [2 x e^{- x}] + \frac{d}{d x} [x^{2} e^{- x}]$ .

$\frac{d}{d x} [e^{- x}] + \frac{d}{d x} [2 x e^{- x}] + \frac{d}{d x} [x^{2} e^{- x}]$

Paso 3.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

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Paso 3.2.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = - x$ .

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Paso 3.2.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $- x$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [2 x e^{- x}] + \frac{d}{d x} [x^{2} e^{- x}]$

Paso 3.2.1.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ es $a^{u_{1}} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [2 x e^{- x}] + \frac{d}{d x} [x^{2} e^{- x}]$

Paso 3.2.1.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $- x$ .

$e^{- x} \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [2 x e^{- x}] + \frac{d}{d x} [x^{2} e^{- x}]$

Paso 3.2.2

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [2 x e^{- x}] + \frac{d}{d x} [x^{2} e^{- x}]$

Paso 3.2.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$e^{- x} (- 1 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [2 x e^{- x}] + \frac{d}{d x} [x^{2} e^{- x}]$

Paso 3.2.4

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$e^{- x} \cdot - 1 + \frac{d}{d x} [2 x e^{- x}] + \frac{d}{d x} [x^{2} e^{- x}]$

Paso 3.2.5

Mueve $- 1$ a la izquierda de $e^{- x}$ .

$- 1 \cdot e^{- x} + \frac{d}{d x} [2 x e^{- x}] + \frac{d}{d x} [x^{2} e^{- x}]$

Paso 3.2.6

Reescribe $- 1 e^{- x}$ como $- e^{- x}$ .

$- e^{- x} + \frac{d}{d x} [2 x e^{- x}] + \frac{d}{d x} [x^{2} e^{- x}]$

Paso 3.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [2 x e^{- x}]$ .

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Paso 3.3.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x e^{- x}$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x e^{- x}]$ .

$- e^{- x} + 2 \frac{d}{d x} [x e^{- x}] + \frac{d}{d x} [x^{2} e^{- x}]$

Paso 3.3.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = e^{- x}$ .

$- e^{- x} + 2 (x \frac{d}{d x} [e^{- x}] + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [x^{2} e^{- x}]$

Paso 3.3.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = - x$ .

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Paso 3.3.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $- x$ .

$- e^{- x} + 2 (x (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [x^{2} e^{- x}]$

Paso 3.3.3.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ es $a^{u_{2}} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$- e^{- x} + 2 (x (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [x^{2} e^{- x}]$

Paso 3.3.3.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $- x$ .

$- e^{- x} + 2 (x (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [x^{2} e^{- x}]$

Paso 3.3.4

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- e^{- x} + 2 (x (e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x])) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [x^{2} e^{- x}]$

Paso 3.3.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- e^{- x} + 2 (x (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [x^{2} e^{- x}]$

Paso 3.3.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- e^{- x} + 2 (x (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) + e^{- x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [x^{2} e^{- x}]$

Paso 3.3.7

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$- e^{- x} + 2 (x (e^{- x} \cdot - 1) + e^{- x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [x^{2} e^{- x}]$

Paso 3.3.8

Mueve $- 1$ a la izquierda de $e^{- x}$ .

$- e^{- x} + 2 (x (- 1 \cdot e^{- x}) + e^{- x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [x^{2} e^{- x}]$

Paso 3.3.9

Reescribe $- 1 e^{- x}$ como $- e^{- x}$ .

$- e^{- x} + 2 (x (- e^{- x}) + e^{- x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [x^{2} e^{- x}]$

Paso 3.3.10

Multiplica $e^{- x}$ por $1$ .

$- e^{- x} + 2 (x (- e^{- x}) + e^{- x}) + \frac{d}{d x} [x^{2} e^{- x}]$

Paso 3.4

Evalúa $\frac{d}{d x} [x^{2} e^{- x}]$ .

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Paso 3.4.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = e^{- x}$ .

$- e^{- x} + 2 (x (- e^{- x}) + e^{- x}) + x^{2} \frac{d}{d x} [e^{- x}] + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 3.4.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = - x$ .

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Paso 3.4.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{3}$ como $- x$ .

$- e^{- x} + 2 (x (- e^{- x}) + e^{- x}) + x^{2} (\frac{d}{d u_{3}} [e^{u_{3}}] \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 3.4.2.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u_{3}} [a^{u_{3}}]$ es $a^{u_{3}} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$- e^{- x} + 2 (x (- e^{- x}) + e^{- x}) + x^{2} (e^{u_{3}} \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 3.4.2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{3}$ con $- x$ .

$- e^{- x} + 2 (x (- e^{- x}) + e^{- x}) + x^{2} (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 3.4.3

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- e^{- x} + 2 (x (- e^{- x}) + e^{- x}) + x^{2} (e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x])) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 3.4.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- e^{- x} + 2 (x (- e^{- x}) + e^{- x}) + x^{2} (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 3.4.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$- e^{- x} + 2 (x (- e^{- x}) + e^{- x}) + x^{2} (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) + e^{- x} (2 x)$

Paso 3.4.6

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$- e^{- x} + 2 (x (- e^{- x}) + e^{- x}) + x^{2} (e^{- x} \cdot - 1) + e^{- x} (2 x)$

Paso 3.4.7

Mueve $- 1$ a la izquierda de $e^{- x}$ .

$- e^{- x} + 2 (x (- e^{- x}) + e^{- x}) + x^{2} (- 1 \cdot e^{- x}) + e^{- x} (2 x)$

Paso 3.4.8

Reescribe $- 1 e^{- x}$ como $- e^{- x}$ .

$- e^{- x} + 2 (x (- e^{- x}) + e^{- x}) + x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x)$

Paso 3.5

Simplifica.

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Paso 3.5.1

Aplica la propiedad distributiva.

$- e^{- x} + 2 (x (- e^{- x})) + 2 e^{- x} + x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x)$

Paso 3.5.2

Combina los términos.

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Paso 3.5.2.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$- e^{- x} - 2 (x (e^{- x})) + 2 e^{- x} + x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x)$

Paso 3.5.2.2

Suma $- e^{- x}$ y $2 e^{- x}$ .

$- 2 x e^{- x} + e^{- x} + x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x)$

Paso 3.5.2.3

Suma $- 2 x e^{- x}$ y $e^{- x} (2 x)$ .

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Paso 3.5.2.3.1

Mueve $e^{- x}$ .

$e^{- x} + x^{2} (- e^{- x}) - 2 x e^{- x} + 2 x e^{- x}$

Paso 3.5.2.3.2

Suma $- 2 x e^{- x}$ y $2 x e^{- x}$ .

$e^{- x} + x^{2} (- e^{- x}) + 0$

Paso 3.5.2.4

Suma $e^{- x} + x^{2} (- e^{- x})$ y $0$ .

$e^{- x} + x^{2} (- e^{- x})$

Paso 3.5.3

Reordena los términos.

$- e^{- x} x^{2} + e^{- x}$

Paso 3.5.4

Reordena los factores en $- e^{- x} x^{2} + e^{- x}$ .

$- x^{2} e^{- x} + e^{- x}$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$y' = - x^{2} e^{- x} + e^{- x}$

Paso 5

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - x^{2} e^{- x} + e^{- x}$