Cálculo Ejemplos

$\int_{1}^{2} x \sqrt{x^{2} - 1} d x$

Paso 1

Sea $u = x^{2} - 1$ . Entonces $d u = 2 x d x$ , de modo que $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 1.1

Deja $u = x^{2} - 1$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 1.1.1

Diferencia $x^{2} - 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]$

Paso 1.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} - 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 1.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 1.1.4

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$2 x + 0$

Paso 1.1.5

Suma $2 x$ y $0$ .

$2 x$

Paso 1.2

Sustituye el límite inferior por $x$ en $u = x^{2} - 1$ .

$u_{lower} = 1^{2} - 1$

Paso 1.3

Simplifica.

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Paso 1.3.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$u_{lower} = 1 - 1$

Paso 1.3.2

Resta $1$ de $1$ .

$u_{lower} = 0$

Paso 1.4

Sustituye el límite superior por $x$ en $u = x^{2} - 1$ .

$u_{upper} = 2^{2} - 1$

Paso 1.5

Simplifica.

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Paso 1.5.1

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$u_{upper} = 4 - 1$

Paso 1.5.2

Resta $1$ de $4$ .

$u_{upper} = 3$

Paso 1.6

Los valores obtenidos para $u_{lower}$ y $u_{upper}$ se usarán para evaluar la integral definida.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 3$

Paso 1.7

Reescribe el problema mediante $u$ , $d u$ y los nuevos límites de integración.

$\int_{0}^{3} \sqrt{u} \frac{1}{2} d u$

Paso 2

Combina $\sqrt{u}$ y $\frac{1}{2}$ .

$\int_{0}^{3} \frac{\sqrt{u}}{2} d u$

Paso 3

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{2} \int_{0}^{3} \sqrt{u} d u$

Paso 4

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{u}$ como $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} \int_{0}^{3} u^{\frac{1}{2}} d u$

Paso 5

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{\frac{1}{2}}$ con respecto a $u$ es $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{2} \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{0}^{3}$

Paso 6

Sustituye y simplifica.

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Paso 6.1

Evalúa $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ en $3$ y en $0$ .

$\frac{1}{2} ((\frac{2}{3} \cdot 3^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Paso 6.2

Simplifica.

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Paso 6.2.1

Combina $\frac{2}{3}$ y $3^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2 \cdot 3^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Paso 6.2.2

Mueve $3^{1}$ al numerador mediante la regla del exponente negativo $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$\frac{1}{2} (2 \cdot 3^{\frac{3}{2}} \cdot 3^{- 1} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Paso 6.2.3

Multiplica $3^{\frac{3}{2}}$ por $3^{- 1}$ sumando los exponentes.

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Paso 6.2.3.1

Mueve $3^{- 1}$ .

$\frac{1}{2} (2 \cdot (3^{- 1} \cdot 3^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Paso 6.2.3.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{1}{2} (2 \cdot 3^{- 1 + \frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Paso 6.2.3.3

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} (2 \cdot 3^{- 1 \cdot \frac{2}{2} + \frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Paso 6.2.3.4

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} (2 \cdot 3^{\frac{- 1 \cdot 2}{2} + \frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Paso 6.2.3.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1}{2} (2 \cdot 3^{\frac{- 1 \cdot 2 + 3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Paso 6.2.3.6

Simplifica el numerador.

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Paso 6.2.3.6.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{1}{2} (2 \cdot 3^{\frac{- 2 + 3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Paso 6.2.3.6.2

Suma $- 2$ y $3$ .

$\frac{1}{2} (2 \cdot 3^{\frac{1}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Paso 6.2.4

Reescribe $0$ como $0^{2}$ .

$\frac{1}{2} (2 \cdot 3^{\frac{1}{2}} - \frac{2}{3} \cdot {(0^{2})}^{\frac{3}{2}})$

Paso 6.2.5

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} (2 \cdot 3^{\frac{1}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})})$

Paso 6.2.6

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 6.2.6.1

Cancela el factor común.

$\frac{1}{2} (2 \cdot 3^{\frac{1}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})})$

Paso 6.2.6.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{2} (2 \cdot 3^{\frac{1}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 0^{3})$

Paso 6.2.7

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$\frac{1}{2} (2 \cdot 3^{\frac{1}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 0)$

Paso 6.2.8

Multiplica $0$ por $- 1$ .

$\frac{1}{2} (2 \cdot 3^{\frac{1}{2}} + 0 (\frac{2}{3}))$

Paso 6.2.9

Multiplica $0$ por $\frac{2}{3}$ .

$\frac{1}{2} (2 \cdot 3^{\frac{1}{2}} + 0)$

Paso 6.2.10

Suma $2 \cdot 3^{\frac{1}{2}}$ y $0$ .

$\frac{1}{2} (2 \cdot 3^{\frac{1}{2}})$

Paso 6.2.11

Combina $2$ y $\frac{1}{2}$ .

$\frac{2}{2} \cdot 3^{\frac{1}{2}}$

Paso 6.2.12

Combina $\frac{2}{2}$ y $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 \cdot 3^{\frac{1}{2}}}{2}$

Paso 6.2.13

Cancela el factor común.

$\frac{2 \cdot 3^{\frac{1}{2}}}{2}$

Paso 6.2.14

Divide $3^{\frac{1}{2}}$ por $1$ .

$3^{\frac{1}{2}}$

Paso 7

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$3^{\frac{1}{2}}$

Forma decimal:

$1.73205080 \dots$

Paso 8