Cálculo Ejemplos

$\cos (x^{2} + y) = x$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (\cos (x^{2} + y)) = \frac{d}{d x} (x)$

Paso 2

Diferencia el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \cos (x)$ y $g (x) = x^{2} + y$ .

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Paso 2.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x^{2} + y$ .

$\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [x^{2} + y]$

Paso 2.1.2

La derivada de $\cos (u)$ con respecto a $u$ es $- \sin (u)$ .

$- \sin (u) \frac{d}{d x} [x^{2} + y]$

Paso 2.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{2} + y$ .

$- \sin (x^{2} + y) \frac{d}{d x} [x^{2} + y]$

Paso 2.2

Diferencia.

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Paso 2.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} + y$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y]$ .

$- \sin (x^{2} + y) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y])$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$- \sin (x^{2} + y) (2 x + \frac{d}{d x} [y])$

Paso 2.3

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$- \sin (x^{2} + y) (2 x + y')$

Paso 3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$- \sin (x^{2} + y) (2 x + y') = 1$

Paso 5

Resuelve $y'$

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Paso 5.1

Divide cada término en $- \sin (x^{2} + y) (2 x + y') = 1$ por $- \sin (x^{2} + y)$ y simplifica.

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Paso 5.1.1

Divide cada término en $- \sin (x^{2} + y) (2 x + y') = 1$ por $- \sin (x^{2} + y)$ .

$\frac{- \sin (x^{2} + y) (2 x + y')}{- \sin (x^{2} + y)} = \frac{1}{- \sin (x^{2} + y)}$

Paso 5.1.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.1.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{\sin (x^{2} + y) (2 x + y')}{\sin (x^{2} + y)} = \frac{1}{- \sin (x^{2} + y)}$

Paso 5.1.2.2

Cancela el factor común de $\sin (x^{2} + y)$ .

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Paso 5.1.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{\sin (x^{2} + y) (2 x + y')}{\sin (x^{2} + y)} = \frac{1}{- \sin (x^{2} + y)}$

Paso 5.1.2.2.2

Divide $2 x + y'$ por $1$ .

$2 x + y' = \frac{1}{- \sin (x^{2} + y)}$

Paso 5.1.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.1.3.1

Cancela el factor común de $1$ y $- 1$ .

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Paso 5.1.3.1.1

Reescribe $1$ como $- 1 (- 1)$ .

$2 x + y' = \frac{- 1 (- 1)}{- \sin (x^{2} + y)}$

Paso 5.1.3.1.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$2 x + y' = - \frac{1}{\sin (x^{2} + y)}$

Paso 5.1.3.2

Convierte de $\frac{1}{\sin (x^{2} + y)}$ a $\csc (x^{2} + y)$ .

$2 x + y' = - \csc (x^{2} + y)$

Paso 5.2

Resta $2 x$ de ambos lados de la ecuación.

$y' = - \csc (x^{2} + y) - 2 x$

Paso 6

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \csc (x^{2} + y) - 2 x$