Cálculo Ejemplos

$y = {(x^{3} + 1)}^{5} \cos (4 x^{3})$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} ({(x^{3} + 1)}^{5} \cos (4 x^{3}))$

Paso 2

La derivada de $y$ con respecto a $x$ es $y'$ .

$y'$

Paso 3

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = {(x^{3} + 1)}^{5}$ y $g (x) = \cos (4 x^{3})$ .

${(x^{3} + 1)}^{5} \frac{d}{d x} [\cos (4 x^{3})] + \cos (4 x^{3}) \frac{d}{d x} [{(x^{3} + 1)}^{5}]$

Paso 3.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \cos (x)$ y $g (x) = 4 x^{3}$ .

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Paso 3.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $4 x^{3}$ .

${(x^{3} + 1)}^{5} (\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d x} [4 x^{3}]) + \cos (4 x^{3}) \frac{d}{d x} [{(x^{3} + 1)}^{5}]$

Paso 3.2.2

La derivada de $\cos (u_{1})$ con respecto a $u_{1}$ es $- \sin (u_{1})$ .

${(x^{3} + 1)}^{5} (- \sin (u_{1}) \frac{d}{d x} [4 x^{3}]) + \cos (4 x^{3}) \frac{d}{d x} [{(x^{3} + 1)}^{5}]$

Paso 3.2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $4 x^{3}$ .

${(x^{3} + 1)}^{5} (- \sin (4 x^{3}) \frac{d}{d x} [4 x^{3}]) + \cos (4 x^{3}) \frac{d}{d x} [{(x^{3} + 1)}^{5}]$

Paso 3.3

Diferencia.

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Paso 3.3.1

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 x^{3}$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

${(x^{3} + 1)}^{5} (- \sin (4 x^{3}) (4 \frac{d}{d x} [x^{3}])) + \cos (4 x^{3}) \frac{d}{d x} [{(x^{3} + 1)}^{5}]$

Paso 3.3.2

Multiplica $4$ por $- 1$ .

${(x^{3} + 1)}^{5} (- 4 \sin (4 x^{3}) \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \cos (4 x^{3}) \frac{d}{d x} [{(x^{3} + 1)}^{5}]$

Paso 3.3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

${(x^{3} + 1)}^{5} (- 4 \sin (4 x^{3}) (3 x^{2})) + \cos (4 x^{3}) \frac{d}{d x} [{(x^{3} + 1)}^{5}]$

Paso 3.3.4

Multiplica $3$ por $- 4$ .

${(x^{3} + 1)}^{5} (- 12 \sin (4 x^{3}) x^{2}) + \cos (4 x^{3}) \frac{d}{d x} [{(x^{3} + 1)}^{5}]$

Paso 3.4

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{5}$ y $g (x) = x^{3} + 1$ .

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Paso 3.4.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $x^{3} + 1$ .

${(x^{3} + 1)}^{5} (- 12 \sin (4 x^{3}) x^{2}) + \cos (4 x^{3}) (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{5}] \frac{d}{d x} [x^{3} + 1])$

Paso 3.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ es $n {u_{2}}^{n - 1}$ donde $n = 5$ .

${(x^{3} + 1)}^{5} (- 12 \sin (4 x^{3}) x^{2}) + \cos (4 x^{3}) (5 {u_{2}}^{4} \frac{d}{d x} [x^{3} + 1])$

Paso 3.4.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $x^{3} + 1$ .

${(x^{3} + 1)}^{5} (- 12 \sin (4 x^{3}) x^{2}) + \cos (4 x^{3}) (5 {(x^{3} + 1)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{3} + 1])$

Paso 3.5

Diferencia.

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Paso 3.5.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{3} + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

${(x^{3} + 1)}^{5} (- 12 \sin (4 x^{3}) x^{2}) + \cos (4 x^{3}) (5 {(x^{3} + 1)}^{4} (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [1]))$

Paso 3.5.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

${(x^{3} + 1)}^{5} (- 12 \sin (4 x^{3}) x^{2}) + \cos (4 x^{3}) (5 {(x^{3} + 1)}^{4} (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [1]))$

Paso 3.5.3

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

${(x^{3} + 1)}^{5} (- 12 \sin (4 x^{3}) x^{2}) + \cos (4 x^{3}) (5 {(x^{3} + 1)}^{4} (3 x^{2} + 0))$

Paso 3.5.4

Simplifica la expresión.

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Paso 3.5.4.1

Suma $3 x^{2}$ y $0$ .

${(x^{3} + 1)}^{5} (- 12 \sin (4 x^{3}) x^{2}) + \cos (4 x^{3}) (5 {(x^{3} + 1)}^{4} (3 x^{2}))$

Paso 3.5.4.2

Multiplica $3$ por $5$ .

${(x^{3} + 1)}^{5} (- 12 \sin (4 x^{3}) x^{2}) + \cos (4 x^{3}) (15 {(x^{3} + 1)}^{4} x^{2})$

Paso 3.5.4.3

Reordena los términos.

$- 12 x^{2} {(x^{3} + 1)}^{5} \sin (4 x^{3}) + 15 x^{2} {(x^{3} + 1)}^{4} \cos (4 x^{3})$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$y' = - 12 x^{2} {(x^{3} + 1)}^{5} \sin (4 x^{3}) + 15 x^{2} {(x^{3} + 1)}^{4} \cos (4 x^{3})$

Paso 5

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - 12 x^{2} {(x^{3} + 1)}^{5} \sin (4 x^{3}) + 15 x^{2} {(x^{3} + 1)}^{4} \cos (4 x^{3})$