Cálculo Ejemplos

$\int_{0}^{π} \sin (x) {(1 - \cos (x))}^{2} d x$

Paso 1

Sea $u = 1 - \cos (x)$ . Entonces $d u = \sin (x) d x$ , de modo que $\frac{1}{\sin (x)} d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 1.1

Deja $u = 1 - \cos (x)$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 1.1.1

Diferencia $1 - \cos (x)$ .

$\frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]$

Paso 1.1.2

Diferencia.

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Paso 1.1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $1 - \cos (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$

Paso 1.1.2.2

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$

Paso 1.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

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Paso 1.1.3.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \cos (x)$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$0 - \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Paso 1.1.3.2

La derivada de $\cos (x)$ con respecto a $x$ es $- \sin (x)$ .

$0 - - \sin (x)$

Paso 1.1.3.3

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$0 + 1 \sin (x)$

Paso 1.1.3.4

Multiplica $\sin (x)$ por $1$ .

$0 + \sin (x)$

Paso 1.1.4

Suma $0$ y $\sin (x)$ .

$\sin (x)$

Paso 1.2

Sustituye el límite inferior por $x$ en $u = 1 - \cos (x)$ .

$u_{lower} = 1 - \cos (0)$

Paso 1.3

Simplifica.

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Paso 1.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.3.1.1

El valor exacto de $\cos (0)$ es $1$ .

$u_{lower} = 1 - 1 \cdot 1$

Paso 1.3.1.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$u_{lower} = 1 - 1$

Paso 1.3.2

Resta $1$ de $1$ .

$u_{lower} = 0$

Paso 1.4

Sustituye el límite superior por $x$ en $u = 1 - \cos (x)$ .

$u_{upper} = 1 - \cos (π)$

Paso 1.5

Simplifica.

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Paso 1.5.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.5.1.1

Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante. Haz que la expresión sea negativa porque el coseno es negativo en el segundo cuadrante.

$u_{upper} = 1 - - \cos (0)$

Paso 1.5.1.2

El valor exacto de $\cos (0)$ es $1$ .

$u_{upper} = 1 - (- 1 \cdot 1)$

Paso 1.5.1.3

Multiplica $- (- 1 \cdot 1)$ .

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Paso 1.5.1.3.1

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$u_{upper} = 1 - - 1$

Paso 1.5.1.3.2

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$u_{upper} = 1 + 1$

Paso 1.5.2

Suma $1$ y $1$ .

$u_{upper} = 2$

Paso 1.6

Los valores obtenidos para $u_{lower}$ y $u_{upper}$ se usarán para evaluar la integral definida.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 2$

Paso 1.7

Reescribe el problema mediante $u$ , $d u$ y los nuevos límites de integración.

$\int_{0}^{2} u^{2} d u$

Paso 2

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{2}$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$\frac{1}{3} u^{3}]_{0}^{2}$

Paso 3

Sustituye y simplifica.

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Paso 3.1

Evalúa $\frac{1}{3} u^{3}$ en $2$ y en $0$ .

$(\frac{1}{3} \cdot 2^{3}) - \frac{1}{3} \cdot 0^{3}$

Paso 3.2

Simplifica.

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Paso 3.2.1

Eleva $2$ a la potencia de $3$ .

$\frac{1}{3} \cdot 8 - \frac{1}{3} \cdot 0^{3}$

Paso 3.2.2

Combina $\frac{1}{3}$ y $8$ .

$\frac{8}{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3}$

Paso 3.2.3

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$\frac{8}{3} - \frac{1}{3} \cdot 0$

Paso 3.2.4

Multiplica $0$ por $- 1$ .

$\frac{8}{3} + 0 (\frac{1}{3})$

Paso 3.2.5

Multiplica $0$ por $\frac{1}{3}$ .

$\frac{8}{3} + 0$

Paso 3.2.6

Suma $\frac{8}{3}$ y $0$ .

$\frac{8}{3}$

Paso 4

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{8}{3}$

Forma decimal:

$2.\overline{6}$

Forma de número mixto:

$2 \frac{2}{3}$