Cálculo Ejemplos

$\int_{0}^{1} x^{3} \sqrt{3 + x^{2}} d x$

Paso 1

Sea $x = \sqrt{3} \tan (t)$ , donde $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Entonces $d x = \sec^{2} (t) \sqrt{3} d t$ . Tenga en cuenta que ya que $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $\sec^{2} (t) \sqrt{3}$ es positiva.

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} {(\sqrt{3} \tan (t))}^{3} \sqrt{{\sqrt{3}}^{2} + {(\sqrt{3} \tan (t))}^{2}} (\sec^{2} (t) \sqrt{3}) d t$

Paso 2

Simplifica los términos.

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Paso 2.1

Simplifica $\sqrt{{\sqrt{3}}^{2} + {(\sqrt{3} \tan (t))}^{2}}$ .

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Paso 2.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.1.1.1

Reescribe ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

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Paso 2.1.1.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} {(\sqrt{3} \tan (t))}^{3} \sqrt{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2} + {(\sqrt{3} \tan (t))}^{2}} (\sec^{2} (t) \sqrt{3}) d t$

Paso 2.1.1.1.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} {(\sqrt{3} \tan (t))}^{3} \sqrt{3^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {(\sqrt{3} \tan (t))}^{2}} (\sec^{2} (t) \sqrt{3}) d t$

Paso 2.1.1.1.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} {(\sqrt{3} \tan (t))}^{3} \sqrt{3^{\frac{2}{2}} + {(\sqrt{3} \tan (t))}^{2}} (\sec^{2} (t) \sqrt{3}) d t$

Paso 2.1.1.1.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.1.1.1.4.1

Cancela el factor común.

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} {(\sqrt{3} \tan (t))}^{3} \sqrt{3^{\frac{2}{2}} + {(\sqrt{3} \tan (t))}^{2}} (\sec^{2} (t) \sqrt{3}) d t$

Paso 2.1.1.1.4.2

Reescribe la expresión.

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} {(\sqrt{3} \tan (t))}^{3} \sqrt{3^{1} + {(\sqrt{3} \tan (t))}^{2}} (\sec^{2} (t) \sqrt{3}) d t$

Paso 2.1.1.1.5

Evalúa el exponente.

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} {(\sqrt{3} \tan (t))}^{3} \sqrt{3 + {(\sqrt{3} \tan (t))}^{2}} (\sec^{2} (t) \sqrt{3}) d t$

Paso 2.1.1.2

Aplica la regla del producto a $\sqrt{3} \tan (t)$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} {(\sqrt{3} \tan (t))}^{3} \sqrt{3 + {\sqrt{3}}^{2} \tan^{2} (t)} (\sec^{2} (t) \sqrt{3}) d t$

Paso 2.1.1.3

Reescribe ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

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Paso 2.1.1.3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} {(\sqrt{3} \tan (t))}^{3} \sqrt{3 + {(3^{\frac{1}{2}})}^{2} \tan^{2} (t)} (\sec^{2} (t) \sqrt{3}) d t$

Paso 2.1.1.3.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} {(\sqrt{3} \tan (t))}^{3} \sqrt{3 + 3^{\frac{1}{2} \cdot 2} \tan^{2} (t)} (\sec^{2} (t) \sqrt{3}) d t$

Paso 2.1.1.3.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} {(\sqrt{3} \tan (t))}^{3} \sqrt{3 + 3^{\frac{2}{2}} \tan^{2} (t)} (\sec^{2} (t) \sqrt{3}) d t$

Paso 2.1.1.3.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.1.1.3.4.1

Cancela el factor común.

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} {(\sqrt{3} \tan (t))}^{3} \sqrt{3 + 3^{\frac{2}{2}} \tan^{2} (t)} (\sec^{2} (t) \sqrt{3}) d t$

Paso 2.1.1.3.4.2

Reescribe la expresión.

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} {(\sqrt{3} \tan (t))}^{3} \sqrt{3 + 3^{1} \tan^{2} (t)} (\sec^{2} (t) \sqrt{3}) d t$

Paso 2.1.1.3.5

Evalúa el exponente.

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} {(\sqrt{3} \tan (t))}^{3} \sqrt{3 + 3 \tan^{2} (t)} (\sec^{2} (t) \sqrt{3}) d t$

Paso 2.1.2

Factoriza $3$ de $3$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} {(\sqrt{3} \tan (t))}^{3} \sqrt{3 (1) + 3 \tan^{2} (t)} (\sec^{2} (t) \sqrt{3}) d t$

Paso 2.1.3

Factoriza $3$ de $3 \tan^{2} (t)$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} {(\sqrt{3} \tan (t))}^{3} \sqrt{3 (1) + 3 (\tan^{2} (t))} (\sec^{2} (t) \sqrt{3}) d t$

Paso 2.1.4

Factoriza $3$ de $3 (1) + 3 (\tan^{2} (t))$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} {(\sqrt{3} \tan (t))}^{3} \sqrt{3 (1 + \tan^{2} (t))} (\sec^{2} (t) \sqrt{3}) d t$

Paso 2.1.5

Reorganiza los términos.

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} {(\sqrt{3} \tan (t))}^{3} \sqrt{3 (\tan^{2} (t) + 1)} (\sec^{2} (t) \sqrt{3}) d t$

Paso 2.1.6

Aplica la identidad pitagórica.

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} {(\sqrt{3} \tan (t))}^{3} \sqrt{3 \sec^{2} (t)} (\sec^{2} (t) \sqrt{3}) d t$

Paso 2.1.7

Reordena $3$ y $\sec^{2} (t)$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} {(\sqrt{3} \tan (t))}^{3} \sqrt{\sec^{2} (t) \cdot 3} (\sec^{2} (t) \sqrt{3}) d t$

Paso 2.1.8

Retira los términos de abajo del radical.

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} {(\sqrt{3} \tan (t))}^{3} (\sec (t) \sqrt{3}) (\sec^{2} (t) \sqrt{3}) d t$

Paso 2.2

Simplifica.

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Paso 2.2.1

Eleva $\sec (t)$ a la potencia de $1$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} {(\sqrt{3} \tan (t))}^{3} (\sec^{2} (t) \sec^{1} (t)) \sqrt{3} \sqrt{3} d t$

Paso 2.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} {(\sqrt{3} \tan (t))}^{3} {\sec (t)}^{2 + 1} \sqrt{3} \sqrt{3} d t$

Paso 2.2.3

Suma $2$ y $1$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} {(\sqrt{3} \tan (t))}^{3} \sec^{3} (t) \sqrt{3} \sqrt{3} d t$

Paso 2.2.4

Eleva $\sqrt{3}$ a la potencia de $1$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} {(\sqrt{3} \tan (t))}^{3} \sec^{3} (t) ({\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}) d t$

Paso 2.2.5

Eleva $\sqrt{3}$ a la potencia de $1$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} {(\sqrt{3} \tan (t))}^{3} \sec^{3} (t) ({\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}) d t$

Paso 2.2.6

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} {(\sqrt{3} \tan (t))}^{3} \sec^{3} (t) {\sqrt{3}}^{1 + 1} d t$

Paso 2.2.7

Suma $1$ y $1$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} {(\sqrt{3} \tan (t))}^{3} \sec^{3} (t) {\sqrt{3}}^{2} d t$

Paso 2.2.8

Reescribe ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

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Paso 2.2.8.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} {(\sqrt{3} \tan (t))}^{3} \sec^{3} (t) {(3^{\frac{1}{2}})}^{2} d t$

Paso 2.2.8.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} {(\sqrt{3} \tan (t))}^{3} \sec^{3} (t) \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2} d t$

Paso 2.2.8.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} {(\sqrt{3} \tan (t))}^{3} \sec^{3} (t) \cdot 3^{\frac{2}{2}} d t$

Paso 2.2.8.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.2.8.4.1

Cancela el factor común.

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} {(\sqrt{3} \tan (t))}^{3} \sec^{3} (t) \cdot 3^{\frac{2}{2}} d t$

Paso 2.2.8.4.2

Reescribe la expresión.

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} {(\sqrt{3} \tan (t))}^{3} \sec^{3} (t) \cdot 3^{1} d t$

Paso 2.2.8.5

Evalúa el exponente.

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} {(\sqrt{3} \tan (t))}^{3} \sec^{3} (t) \cdot 3 d t$

Paso 2.2.9

Mueve $3$ a la izquierda de ${(\sqrt{3} \tan (t))}^{3} \sec^{3} (t)$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} 3 {(\sqrt{3} \tan (t))}^{3} \sec^{3} (t) d t$

Paso 3

Dado que $3$ es constante con respecto a $t$ , mueve $3$ fuera de la integral.

$3 \int_{0}^{\frac{π}{6}} {(\sqrt{3} \tan (t))}^{3} \sec^{3} (t) d t$

Paso 4

Simplifica la expresión.

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Paso 4.1

Aplica la regla del producto a $\sqrt{3} \tan (t)$ .

$3 \int_{0}^{\frac{π}{6}} {\sqrt{3}}^{3} \tan^{3} (t) \sec^{3} (t) d t$

Paso 4.2

Simplifica.

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Paso 4.2.1

Reescribe ${\sqrt{3}}^{3}$ como $\sqrt{3^{3}}$ .

$3 \int_{0}^{\frac{π}{6}} \sqrt{3^{3}} \tan^{3} (t) \sec^{3} (t) d t$

Paso 4.2.2

Eleva $3$ a la potencia de $3$ .

$3 \int_{0}^{\frac{π}{6}} \sqrt{27} \tan^{3} (t) \sec^{3} (t) d t$

Paso 5

Dado que $\sqrt{27}$ es constante con respecto a $t$ , mueve $\sqrt{27}$ fuera de la integral.

$3 (\sqrt{27} \int_{0}^{\frac{π}{6}} \tan^{3} (t) \sec^{3} (t) d t)$

Paso 6

Factoriza $\tan^{2} (t)$ .

$3 \sqrt{27} \int_{0}^{\frac{π}{6}} \tan^{2} (t) \tan (t) \sec^{3} (t) d t$

Paso 7

Mediante la identidad pitagórica, reescribe $\tan^{2} (t)$ como $- 1 + \sec^{2} (t)$ .

$3 \sqrt{27} \int_{0}^{\frac{π}{6}} (- 1 + \sec^{2} (t)) \tan (t) \sec^{3} (t) d t$

Paso 8

Sea $u = \sec (t)$ . Entonces $d u = \sec (t) \tan (t) d t$ , de modo que $\frac{1}{\sec (t) \tan (t)} d u = d t$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 8.1

Deja $u = \sec (t)$ . Obtén $\frac{d u}{d t}$ .

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Paso 8.1.1

Diferencia $\sec (t)$ .

$\frac{d}{d t} [\sec (t)]$

Paso 8.1.2

La derivada de $\sec (t)$ con respecto a $t$ es $\sec (t) \tan (t)$ .

$\sec (t) \tan (t)$

Paso 8.2

Sustituye el límite inferior por $t$ en $u = \sec (t)$ .

$u_{lower} = \sec (0)$

Paso 8.3

El valor exacto de $\sec (0)$ es $1$ .

$u_{lower} = 1$

Paso 8.4

Sustituye el límite superior por $t$ en $u = \sec (t)$ .

$u_{upper} = \sec (\frac{π}{6})$

Paso 8.5

Simplifica.

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Paso 8.5.1

El valor exacto de $\sec (\frac{π}{6})$ es $\frac{2}{\sqrt{3}}$ .

$u_{upper} = \frac{2}{\sqrt{3}}$

Paso 8.5.2

Multiplica $\frac{2}{\sqrt{3}}$ por $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$u_{upper} = \frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Paso 8.5.3

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 8.5.3.1

Multiplica $\frac{2}{\sqrt{3}}$ por $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$u_{upper} = \frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Paso 8.5.3.2

Eleva $\sqrt{3}$ a la potencia de $1$ .

$u_{upper} = \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Paso 8.5.3.3

Eleva $\sqrt{3}$ a la potencia de $1$ .

$u_{upper} = \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Paso 8.5.3.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$u_{upper} = \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Paso 8.5.3.5

Suma $1$ y $1$ .

$u_{upper} = \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Paso 8.5.3.6

Reescribe ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

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Paso 8.5.3.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$u_{upper} = \frac{2 \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 8.5.3.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$u_{upper} = \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 8.5.3.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$u_{upper} = \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Paso 8.5.3.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 8.5.3.6.4.1

Cancela el factor común.

$u_{upper} = \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Paso 8.5.3.6.4.2

Reescribe la expresión.

$u_{upper} = \frac{2 \sqrt{3}}{3^{1}}$

Paso 8.5.3.6.5

Evalúa el exponente.

$u_{upper} = \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Paso 8.6

Los valores obtenidos para $u_{lower}$ y $u_{upper}$ se usarán para evaluar la integral definida.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Paso 8.7

Reescribe el problema mediante $u$ , $d u$ y los nuevos límites de integración.

$3 \sqrt{27} \int_{1}^{\frac{2 \sqrt{3}}{3}} (- 1 + u^{2}) u^{2} d u$

Paso 9

Multiplica $(- 1 + u^{2}) u^{2}$ .

$3 \sqrt{27} \int_{1}^{\frac{2 \sqrt{3}}{3}} - 1 u^{2} + u^{2} u^{2} d u$

Paso 10

Simplifica.

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Paso 10.1

Reescribe $- 1 u^{2}$ como $- u^{2}$ .

$3 \sqrt{27} \int_{1}^{\frac{2 \sqrt{3}}{3}} - u^{2} + u^{2} u^{2} d u$

Paso 10.2

Multiplica $u^{2}$ por $u^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 10.2.1

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$3 \sqrt{27} \int_{1}^{\frac{2 \sqrt{3}}{3}} - u^{2} + u^{2 + 2} d u$

Paso 10.2.2

Suma $2$ y $2$ .

$3 \sqrt{27} \int_{1}^{\frac{2 \sqrt{3}}{3}} - u^{2} + u^{4} d u$

Paso 11

Divide la única integral en varias integrales.

$3 \sqrt{27} (\int_{1}^{\frac{2 \sqrt{3}}{3}} - u^{2} d u + \int_{1}^{\frac{2 \sqrt{3}}{3}} u^{4} d u)$

Paso 12

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $u$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$3 \sqrt{27} (- \int_{1}^{\frac{2 \sqrt{3}}{3}} u^{2} d u + \int_{1}^{\frac{2 \sqrt{3}}{3}} u^{4} d u)$

Paso 13

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{2}$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$3 \sqrt{27} (- (\frac{1}{3} u^{3}]_{1}^{\frac{2 \sqrt{3}}{3}}) + \int_{1}^{\frac{2 \sqrt{3}}{3}} u^{4} d u)$

Paso 14

Combina $\frac{1}{3}$ y $u^{3}$ .

$3 \sqrt{27} (- (\frac{u^{3}}{3}]_{1}^{\frac{2 \sqrt{3}}{3}}) + \int_{1}^{\frac{2 \sqrt{3}}{3}} u^{4} d u)$

Paso 15

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{4}$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{5} u^{5}$ .

$3 \sqrt{27} (- (\frac{u^{3}}{3}]_{1}^{\frac{2 \sqrt{3}}{3}}) + \frac{1}{5} u^{5}]_{1}^{\frac{2 \sqrt{3}}{3}})$

Paso 16

Combina $\frac{1}{5}$ y $u^{5}$ .

$3 \sqrt{27} (- (\frac{u^{3}}{3}]_{1}^{\frac{2 \sqrt{3}}{3}}) + \frac{u^{5}}{5}]_{1}^{\frac{2 \sqrt{3}}{3}})$

Paso 17

Sustituye y simplifica.

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Paso 17.1

Evalúa $\frac{u^{3}}{3}$ en $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ y en $1$ .

$3 \sqrt{27} (- ((\frac{{(\frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3}) + \frac{u^{5}}{5}]_{1}^{\frac{2 \sqrt{3}}{3}})$

Paso 17.2

Evalúa $\frac{u^{5}}{5}$ en $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ y en $1$ .

$3 \sqrt{27} (- (\frac{{(\frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + \frac{{(\frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{5}}{5} - \frac{1^{5}}{5})$

Paso 17.3

Simplifica.

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Paso 17.3.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$3 \sqrt{27} (- (\frac{{(\frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{3}}{3} - \frac{1}{3}) + \frac{{(\frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{5}}{5} - \frac{1^{5}}{5})$

Paso 17.3.2

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$3 \sqrt{27} (- (\frac{{(\frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{3}}{3} - \frac{1}{3}) + \frac{{(\frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{5}}{5} - \frac{1}{5})$

Paso 17.3.3

Para escribir $- (\frac{{(\frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{3}}{3} - \frac{1}{3})$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{5}{5}$ .

$3 \sqrt{27} (- (\frac{{(\frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{3}}{3} - \frac{1}{3}) \cdot \frac{5}{5} + \frac{{(\frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{5}}{5} - \frac{1}{5})$

Paso 17.3.4

Combina $- (\frac{{(\frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{3}}{3} - \frac{1}{3})$ y $\frac{5}{5}$ .

$3 \sqrt{27} (\frac{- (\frac{{(\frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{3}}{3} - \frac{1}{3}) \cdot 5}{5} + \frac{{(\frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{5}}{5} - \frac{1}{5})$

Paso 17.3.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$3 \sqrt{27} (\frac{- (\frac{{(\frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{3}}{3} - \frac{1}{3}) \cdot 5 + {(\frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{5}}{5} - \frac{1}{5})$

Paso 17.3.6

Multiplica $5$ por $- 1$ .

$3 \sqrt{27} (\frac{- 5 (\frac{{(\frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{3}}{3} - \frac{1}{3}) + {(\frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{5}}{5} - \frac{1}{5})$

Paso 18

Simplifica.

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Paso 18.1

Reescribe $27$ como $3^{2} \cdot 3$ .

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Paso 18.1.1

Factoriza $9$ de $27$ .

$3 \sqrt{9 (3)} (\frac{- 5 (\frac{{(\frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{3}}{3} - \frac{1}{3}) + {(\frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{5}}{5} - \frac{1}{5})$

Paso 18.1.2

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$3 \sqrt{3^{2} \cdot 3} (\frac{- 5 (\frac{{(\frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{3}}{3} - \frac{1}{3}) + {(\frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{5}}{5} - \frac{1}{5})$

Paso 18.2

Retira los términos de abajo del radical.

$3 (3 \sqrt{3}) (\frac{- 5 (\frac{{(\frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{3}}{3} - \frac{1}{3}) + {(\frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{5}}{5} - \frac{1}{5})$

Paso 18.3

Multiplica $3$ por $3$ .

$9 \sqrt{3} (\frac{- 5 (\frac{{(\frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{3}}{3} - \frac{1}{3}) + {(\frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{5}}{5} - \frac{1}{5})$

Paso 19

Simplifica.

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Paso 19.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$9 \sqrt{3} \frac{- 5 (\frac{{(\frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{3}}{3} - \frac{1}{3}) + {(\frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{5} - 1}{5}$

Paso 19.2

Simplifica cada término.

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Paso 19.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 19.2.1.1

Simplifica el numerador.

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Paso 19.2.1.1.1

Aplica la regla del producto a $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ .

$9 \sqrt{3} \frac{- 5 (\frac{\frac{{(2 \sqrt{3})}^{3}}{3^{3}}}{3} - \frac{1}{3}) + {(\frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{5} - 1}{5}$

Paso 19.2.1.1.2

Simplifica el numerador.

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Paso 19.2.1.1.2.1

Aplica la regla del producto a $2 \sqrt{3}$ .

$9 \sqrt{3} \frac{- 5 (\frac{\frac{2^{3} {\sqrt{3}}^{3}}{3^{3}}}{3} - \frac{1}{3}) + {(\frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{5} - 1}{5}$

Paso 19.2.1.1.2.2

Eleva $2$ a la potencia de $3$ .

$9 \sqrt{3} \frac{- 5 (\frac{\frac{8 {\sqrt{3}}^{3}}{3^{3}}}{3} - \frac{1}{3}) + {(\frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{5} - 1}{5}$

Paso 19.2.1.1.2.3

Reescribe ${\sqrt{3}}^{3}$ como $\sqrt{3^{3}}$ .

$9 \sqrt{3} \frac{- 5 (\frac{\frac{8 \sqrt{3^{3}}}{3^{3}}}{3} - \frac{1}{3}) + {(\frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{5} - 1}{5}$

Paso 19.2.1.1.2.4

Eleva $3$ a la potencia de $3$ .

$9 \sqrt{3} \frac{- 5 (\frac{\frac{8 \sqrt{27}}{3^{3}}}{3} - \frac{1}{3}) + {(\frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{5} - 1}{5}$

Paso 19.2.1.1.2.5

Reescribe $27$ como $3^{2} \cdot 3$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 19.2.1.1.2.5.1

Factoriza $9$ de $27$ .

$9 \sqrt{3} \frac{- 5 (\frac{\frac{8 \sqrt{9 (3)}}{3^{3}}}{3} - \frac{1}{3}) + {(\frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{5} - 1}{5}$

Paso 19.2.1.1.2.5.2

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$9 \sqrt{3} \frac{- 5 (\frac{\frac{8 \sqrt{3^{2} \cdot 3}}{3^{3}}}{3} - \frac{1}{3}) + {(\frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{5} - 1}{5}$

Paso 19.2.1.1.2.6

Retira los términos de abajo del radical.

$9 \sqrt{3} \frac{- 5 (\frac{\frac{8 \cdot 3 \sqrt{3}}{3^{3}}}{3} - \frac{1}{3}) + {(\frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{5} - 1}{5}$

Paso 19.2.1.1.2.7

Multiplica $8$ por $3$ .

$9 \sqrt{3} \frac{- 5 (\frac{\frac{24 \sqrt{3}}{3^{3}}}{3} - \frac{1}{3}) + {(\frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{5} - 1}{5}$

Paso 19.2.1.1.3

Eleva $3$ a la potencia de $3$ .

$9 \sqrt{3} \frac{- 5 (\frac{\frac{24 \sqrt{3}}{27}}{3} - \frac{1}{3}) + {(\frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{5} - 1}{5}$

Paso 19.2.1.1.4

Cancela el factor común de $24$ y $27$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 19.2.1.1.4.1

Factoriza $3$ de $24 \sqrt{3}$ .

$9 \sqrt{3} \frac{- 5 (\frac{\frac{3 (8 \sqrt{3})}{27}}{3} - \frac{1}{3}) + {(\frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{5} - 1}{5}$

Paso 19.2.1.1.4.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 19.2.1.1.4.2.1

Factoriza $3$ de $27$ .

$9 \sqrt{3} \frac{- 5 (\frac{\frac{3 (8 \sqrt{3})}{3 (9)}}{3} - \frac{1}{3}) + {(\frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{5} - 1}{5}$

Paso 19.2.1.1.4.2.2

Cancela el factor común.

$9 \sqrt{3} \frac{- 5 (\frac{\frac{3 (8 \sqrt{3})}{3 \cdot 9}}{3} - \frac{1}{3}) + {(\frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{5} - 1}{5}$

Paso 19.2.1.1.4.2.3

Reescribe la expresión.

$9 \sqrt{3} \frac{- 5 (\frac{\frac{8 \sqrt{3}}{9}}{3} - \frac{1}{3}) + {(\frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{5} - 1}{5}$

Paso 19.2.1.2

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$9 \sqrt{3} \frac{- 5 (\frac{8 \sqrt{3}}{9} \cdot \frac{1}{3} - \frac{1}{3}) + {(\frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{5} - 1}{5}$

Paso 19.2.1.3

Multiplica $\frac{8 \sqrt{3}}{9} \cdot \frac{1}{3}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 19.2.1.3.1

Multiplica $\frac{8 \sqrt{3}}{9}$ por $\frac{1}{3}$ .

$9 \sqrt{3} \frac{- 5 (\frac{8 \sqrt{3}}{9 \cdot 3} - \frac{1}{3}) + {(\frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{5} - 1}{5}$

Paso 19.2.1.3.2

Multiplica $9$ por $3$ .

$9 \sqrt{3} \frac{- 5 (\frac{8 \sqrt{3}}{27} - \frac{1}{3}) + {(\frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{5} - 1}{5}$

Paso 19.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$9 \sqrt{3} \frac{- 5 \frac{8 \sqrt{3}}{27} - 5 (- \frac{1}{3}) + {(\frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{5} - 1}{5}$

Paso 19.2.3

Multiplica $- 5 \frac{8 \sqrt{3}}{27}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 19.2.3.1

Combina $- 5$ y $\frac{8 \sqrt{3}}{27}$ .

$9 \sqrt{3} \frac{\frac{- 5 (8 \sqrt{3})}{27} - 5 (- \frac{1}{3}) + {(\frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{5} - 1}{5}$

Paso 19.2.3.2

Multiplica $8$ por $- 5$ .

$9 \sqrt{3} \frac{\frac{- 40 \sqrt{3}}{27} - 5 (- \frac{1}{3}) + {(\frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{5} - 1}{5}$

Paso 19.2.4

Multiplica $- 5 (- \frac{1}{3})$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 19.2.4.1

Multiplica $- 1$ por $- 5$ .

$9 \sqrt{3} \frac{\frac{- 40 \sqrt{3}}{27} + 5 (\frac{1}{3}) + {(\frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{5} - 1}{5}$

Paso 19.2.4.2

Combina $5$ y $\frac{1}{3}$ .

$9 \sqrt{3} \frac{\frac{- 40 \sqrt{3}}{27} + \frac{5}{3} + {(\frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{5} - 1}{5}$

Paso 19.2.5

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$9 \sqrt{3} \frac{- \frac{40 \sqrt{3}}{27} + \frac{5}{3} + {(\frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{5} - 1}{5}$

Paso 19.2.6

Usa la regla de la potencia ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir el exponente.

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Paso 19.2.6.1

Aplica la regla del producto a $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ .

$9 \sqrt{3} \frac{- \frac{40 \sqrt{3}}{27} + \frac{5}{3} + \frac{{(2 \sqrt{3})}^{5}}{3^{5}} - 1}{5}$

Paso 19.2.6.2

Aplica la regla del producto a $2 \sqrt{3}$ .

$9 \sqrt{3} \frac{- \frac{40 \sqrt{3}}{27} + \frac{5}{3} + \frac{2^{5} {\sqrt{3}}^{5}}{3^{5}} - 1}{5}$

Paso 19.2.7

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 19.2.7.1

Eleva $2$ a la potencia de $5$ .

$9 \sqrt{3} \frac{- \frac{40 \sqrt{3}}{27} + \frac{5}{3} + \frac{32 {\sqrt{3}}^{5}}{3^{5}} - 1}{5}$

Paso 19.2.7.2

Reescribe ${\sqrt{3}}^{5}$ como $\sqrt{3^{5}}$ .

$9 \sqrt{3} \frac{- \frac{40 \sqrt{3}}{27} + \frac{5}{3} + \frac{32 \sqrt{3^{5}}}{3^{5}} - 1}{5}$

Paso 19.2.7.3

Eleva $3$ a la potencia de $5$ .

$9 \sqrt{3} \frac{- \frac{40 \sqrt{3}}{27} + \frac{5}{3} + \frac{32 \sqrt{243}}{3^{5}} - 1}{5}$

Paso 19.2.7.4

Reescribe $243$ como $9^{2} \cdot 3$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 19.2.7.4.1

Factoriza $81$ de $243$ .

$9 \sqrt{3} \frac{- \frac{40 \sqrt{3}}{27} + \frac{5}{3} + \frac{32 \sqrt{81 (3)}}{3^{5}} - 1}{5}$

Paso 19.2.7.4.2

Reescribe $81$ como $9^{2}$ .

$9 \sqrt{3} \frac{- \frac{40 \sqrt{3}}{27} + \frac{5}{3} + \frac{32 \sqrt{9^{2} \cdot 3}}{3^{5}} - 1}{5}$

Paso 19.2.7.5

Retira los términos de abajo del radical.

$9 \sqrt{3} \frac{- \frac{40 \sqrt{3}}{27} + \frac{5}{3} + \frac{32 \cdot 9 \sqrt{3}}{3^{5}} - 1}{5}$

Paso 19.2.7.6

Multiplica $32$ por $9$ .

$9 \sqrt{3} \frac{- \frac{40 \sqrt{3}}{27} + \frac{5}{3} + \frac{288 \sqrt{3}}{3^{5}} - 1}{5}$

Paso 19.2.8

Eleva $3$ a la potencia de $5$ .

$9 \sqrt{3} \frac{- \frac{40 \sqrt{3}}{27} + \frac{5}{3} + \frac{288 \sqrt{3}}{243} - 1}{5}$

Paso 19.2.9

Cancela el factor común de $288$ y $243$ .

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Paso 19.2.9.1

Factoriza $9$ de $288 \sqrt{3}$ .

$9 \sqrt{3} \frac{- \frac{40 \sqrt{3}}{27} + \frac{5}{3} + \frac{9 (32 \sqrt{3})}{243} - 1}{5}$

Paso 19.2.9.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 19.2.9.2.1

Factoriza $9$ de $243$ .

$9 \sqrt{3} \frac{- \frac{40 \sqrt{3}}{27} + \frac{5}{3} + \frac{9 (32 \sqrt{3})}{9 (27)} - 1}{5}$

Paso 19.2.9.2.2

Cancela el factor común.

$9 \sqrt{3} \frac{- \frac{40 \sqrt{3}}{27} + \frac{5}{3} + \frac{9 (32 \sqrt{3})}{9 \cdot 27} - 1}{5}$

Paso 19.2.9.2.3

Reescribe la expresión.

$9 \sqrt{3} \frac{- \frac{40 \sqrt{3}}{27} + \frac{5}{3} + \frac{32 \sqrt{3}}{27} - 1}{5}$

Paso 19.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$9 \sqrt{3} \frac{- 1 + \frac{- 40 \sqrt{3} + 32 \sqrt{3}}{27} + \frac{5}{3}}{5}$

Paso 19.4

Suma $- 40 \sqrt{3}$ y $32 \sqrt{3}$ .

$9 \sqrt{3} \frac{- 1 + \frac{- 8 \sqrt{3}}{27} + \frac{5}{3}}{5}$

Paso 19.5

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$9 \sqrt{3} \frac{- 1 - \frac{8 \sqrt{3}}{27} + \frac{5}{3}}{5}$

Paso 19.6

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$9 \sqrt{3} \frac{- 1 \cdot \frac{3}{3} + \frac{5}{3} - \frac{8 \sqrt{3}}{27}}{5}$

Paso 19.7

Combina $- 1$ y $\frac{3}{3}$ .

$9 \sqrt{3} \frac{\frac{- 1 \cdot 3}{3} + \frac{5}{3} - \frac{8 \sqrt{3}}{27}}{5}$

Paso 19.8

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$9 \sqrt{3} \frac{\frac{- 1 \cdot 3 + 5}{3} - \frac{8 \sqrt{3}}{27}}{5}$

Paso 19.9

Simplifica el numerador.

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Paso 19.9.1

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$9 \sqrt{3} \frac{\frac{- 3 + 5}{3} - \frac{8 \sqrt{3}}{27}}{5}$

Paso 19.9.2

Suma $- 3$ y $5$ .

$9 \sqrt{3} \frac{\frac{2}{3} - \frac{8 \sqrt{3}}{27}}{5}$

Paso 19.10

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 19.10.1

Para escribir $\frac{2}{3}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{9}{9}$ .

$9 \sqrt{3} \frac{\frac{2}{3} \cdot \frac{9}{9} - \frac{8 \sqrt{3}}{27}}{5}$

Paso 19.10.2

Escribe cada expresión con un denominador común de $27$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 19.10.2.1

Multiplica $\frac{2}{3}$ por $\frac{9}{9}$ .

$9 \sqrt{3} \frac{\frac{2 \cdot 9}{3 \cdot 9} - \frac{8 \sqrt{3}}{27}}{5}$

Paso 19.10.2.2

Multiplica $3$ por $9$ .

$9 \sqrt{3} \frac{\frac{2 \cdot 9}{27} - \frac{8 \sqrt{3}}{27}}{5}$

Paso 19.10.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$9 \sqrt{3} \frac{\frac{2 \cdot 9 - 8 \sqrt{3}}{27}}{5}$

Paso 19.10.4

Multiplica $2$ por $9$ .

$9 \sqrt{3} \frac{\frac{18 - 8 \sqrt{3}}{27}}{5}$

Paso 19.11

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$9 \sqrt{3} (\frac{18 - 8 \sqrt{3}}{27} \cdot \frac{1}{5})$

Paso 19.12

Multiplica $\frac{18 - 8 \sqrt{3}}{27} \cdot \frac{1}{5}$ .

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Paso 19.12.1

Multiplica $\frac{18 - 8 \sqrt{3}}{27}$ por $\frac{1}{5}$ .

$9 \sqrt{3} \frac{18 - 8 \sqrt{3}}{27 \cdot 5}$

Paso 19.12.2

Multiplica $27$ por $5$ .

$9 \sqrt{3} \frac{18 - 8 \sqrt{3}}{135}$

Paso 19.13

Cancela el factor común de $9$ .

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Paso 19.13.1

Factoriza $9$ de $9 \sqrt{3}$ .

$9 (\sqrt{3}) \frac{18 - 8 \sqrt{3}}{135}$

Paso 19.13.2

Factoriza $9$ de $135$ .

$9 (\sqrt{3}) \frac{18 - 8 \sqrt{3}}{9 (15)}$

Paso 19.13.3

Cancela el factor común.

$9 \sqrt{3} \frac{18 - 8 \sqrt{3}}{9 \cdot 15}$

Paso 19.13.4

Reescribe la expresión.

$\sqrt{3} \frac{18 - 8 \sqrt{3}}{15}$

Paso 19.14

Combina $\sqrt{3}$ y $\frac{18 - 8 \sqrt{3}}{15}$ .

$\frac{\sqrt{3} (18 - 8 \sqrt{3})}{15}$

Paso 19.15

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{\sqrt{3} \cdot 18 + \sqrt{3} (- 8 \sqrt{3})}{15}$

Paso 19.16

Mueve $18$ a la izquierda de $\sqrt{3}$ .

$\frac{18 \cdot \sqrt{3} + \sqrt{3} (- 8 \sqrt{3})}{15}$

Paso 19.17

Multiplica $\sqrt{3} (- 8 \sqrt{3})$ .

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Paso 19.17.1

Eleva $\sqrt{3}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{18 \cdot \sqrt{3} - 8 ({\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3})}{15}$

Paso 19.17.2

Eleva $\sqrt{3}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{18 \cdot \sqrt{3} - 8 ({\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1})}{15}$

Paso 19.17.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{18 \cdot \sqrt{3} - 8 {\sqrt{3}}^{1 + 1}}{15}$

Paso 19.17.4

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{18 \cdot \sqrt{3} - 8 {\sqrt{3}}^{2}}{15}$

Paso 19.18

Simplifica cada término.

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Paso 19.18.1

Reescribe ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 19.18.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{18 \sqrt{3} - 8 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{15}$

Paso 19.18.1.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{18 \sqrt{3} - 8 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{15}$

Paso 19.18.1.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\frac{18 \sqrt{3} - 8 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}{15}$

Paso 19.18.1.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 19.18.1.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{18 \sqrt{3} - 8 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}{15}$

Paso 19.18.1.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{18 \sqrt{3} - 8 \cdot 3^{1}}{15}$

Paso 19.18.1.5

Evalúa el exponente.

$\frac{18 \sqrt{3} - 8 \cdot 3}{15}$

Paso 19.18.2

Multiplica $- 8$ por $3$ .

$\frac{18 \sqrt{3} - 24}{15}$

Paso 19.19

Cancela el factor común de $18 \sqrt{3} - 24$ y $15$ .

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Paso 19.19.1

Factoriza $3$ de $18 \sqrt{3}$ .

$\frac{3 (6 \sqrt{3}) - 24}{15}$

Paso 19.19.2

Factoriza $3$ de $- 24$ .

$\frac{3 (6 \sqrt{3}) + 3 (- 8)}{15}$

Paso 19.19.3

Factoriza $3$ de $3 (6 \sqrt{3}) + 3 (- 8)$ .

$\frac{3 (6 \sqrt{3} - 8)}{15}$

Paso 19.19.4

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 19.19.4.1

Factoriza $3$ de $15$ .

$\frac{3 (6 \sqrt{3} - 8)}{3 (5)}$

Paso 19.19.4.2

Cancela el factor común.

$\frac{3 (6 \sqrt{3} - 8)}{3 \cdot 5}$

Paso 19.19.4.3

Reescribe la expresión.

$\frac{6 \sqrt{3} - 8}{5}$

Paso 20

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{6 \sqrt{3} - 8}{5}$

Forma decimal:

$0.47846096 \dots$

Paso 21