Cálculo Ejemplos

$\int_{- \frac{b}{2}}^{\frac{b}{2}} (h - \frac{4 h}{b^{2}} x^{2}) d x$

Paso 1

Elimina los paréntesis.

$\int_{- \frac{b}{2}}^{\frac{b}{2}} h - \frac{4 h}{b^{2}} \cdot x^{2} d x$

Paso 2

Simplifica.

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Paso 2.1

Combina $x^{2}$ y $\frac{4 h}{b^{2}}$ .

$\int_{- \frac{b}{2}}^{\frac{b}{2}} h - \frac{x^{2} (4 h)}{b^{2}} d x$

Paso 2.2

Mueve $4$ a la izquierda de $x^{2}$ .

$\int_{- \frac{b}{2}}^{\frac{b}{2}} h - \frac{4 x^{2} h}{b^{2}} d x$

Paso 3

Divide la única integral en varias integrales.

$\int_{- \frac{b}{2}}^{\frac{b}{2}} h d x + \int_{- \frac{b}{2}}^{\frac{b}{2}} - \frac{4 x^{2} h}{b^{2}} d x$

Paso 4

Aplica la regla de la constante.

$h x]_{- \frac{b}{2}}^{\frac{b}{2}} + \int_{- \frac{b}{2}}^{\frac{b}{2}} - \frac{4 x^{2} h}{b^{2}} d x$

Paso 5

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$h x]_{- \frac{b}{2}}^{\frac{b}{2}} - \int_{- \frac{b}{2}}^{\frac{b}{2}} \frac{4 x^{2} h}{b^{2}} d x$

Paso 6

Dado que $\frac{4 h}{b^{2}}$ es constante con respecto a $x$ , mueve $\frac{4 h}{b^{2}}$ fuera de la integral.

$h x]_{- \frac{b}{2}}^{\frac{b}{2}} - (\frac{4 h}{b^{2}} \int_{- \frac{b}{2}}^{\frac{b}{2}} x^{2} d x)$

Paso 7

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$h x]_{- \frac{b}{2}}^{\frac{b}{2}} - \frac{4 h}{b^{2}} \frac{1}{3} x^{3}]_{- \frac{b}{2}}^{\frac{b}{2}}$

Paso 8

Simplifica la respuesta.

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Paso 8.1

Simplifica.

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Paso 8.1.1

Combina $\frac{1}{3}$ y $x^{3}$ .

$h x]_{- \frac{b}{2}}^{\frac{b}{2}} - \frac{4 h}{b^{2}} \frac{x^{3}}{3}]_{- \frac{b}{2}}^{\frac{b}{2}}$

Paso 8.1.2

Combina $\frac{x^{3}}{3}]_{- \frac{b}{2}}^{\frac{b}{2}}$ y $\frac{4 h}{b^{2}}$ .

$h x]_{- \frac{b}{2}}^{\frac{b}{2}} - \frac{\frac{x^{3}}{3}]_{- \frac{b}{2}}^{\frac{b}{2}} (4 h)}{b^{2}}$

Paso 8.1.3

Mueve $4$ a la izquierda de $\frac{x^{3}}{3}]_{- \frac{b}{2}}^{\frac{b}{2}}$ .

$h x]_{- \frac{b}{2}}^{\frac{b}{2}} - \frac{4 (\frac{x^{3}}{3}]_{- \frac{b}{2}}^{\frac{b}{2}}) h}{b^{2}}$

Paso 8.2

Sustituye y simplifica.

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Paso 8.2.1

Evalúa $h x$ en $\frac{b}{2}$ y en $- \frac{b}{2}$ .

$(h \frac{b}{2}) - h (- \frac{b}{2}) - \frac{4 (\frac{x^{3}}{3}]_{- \frac{b}{2}}^{\frac{b}{2}}) h}{b^{2}}$

Paso 8.2.2

Evalúa $\frac{x^{3}}{3}$ en $\frac{b}{2}$ y en $- \frac{b}{2}$ .

$(h \frac{b}{2}) - h (- \frac{b}{2}) - \frac{4 ((\frac{{(\frac{b}{2})}^{3}}{3}) - \frac{{(- \frac{b}{2})}^{3}}{3}) h}{b^{2}}$

Paso 8.2.3

Simplifica.

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Paso 8.2.3.1

Combina $h$ y $\frac{b}{2}$ .

$\frac{h b}{2} - h (- \frac{b}{2}) - \frac{4 ((\frac{{(\frac{b}{2})}^{3}}{3}) - \frac{{(- \frac{b}{2})}^{3}}{3}) h}{b^{2}}$

Paso 8.2.3.2

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{h b}{2} + 1 h \frac{b}{2} - \frac{4 ((\frac{{(\frac{b}{2})}^{3}}{3}) - \frac{{(- \frac{b}{2})}^{3}}{3}) h}{b^{2}}$

Paso 8.2.3.3

Multiplica $h$ por $1$ .

$\frac{h b}{2} + h \frac{b}{2} - \frac{4 ((\frac{{(\frac{b}{2})}^{3}}{3}) - \frac{{(- \frac{b}{2})}^{3}}{3}) h}{b^{2}}$

Paso 8.2.3.4

Combina $h$ y $\frac{b}{2}$ .

$\frac{h b}{2} + \frac{h b}{2} - \frac{4 ((\frac{{(\frac{b}{2})}^{3}}{3}) - \frac{{(- \frac{b}{2})}^{3}}{3}) h}{b^{2}}$

Paso 8.2.3.5

Suma $\frac{h b}{2}$ y $\frac{h b}{2}$ .

$2 \frac{h b}{2} - \frac{4 ((\frac{{(\frac{b}{2})}^{3}}{3}) - \frac{{(- \frac{b}{2})}^{3}}{3}) h}{b^{2}}$

Paso 8.2.3.6

Combina $2$ y $\frac{h b}{2}$ .

$\frac{2 (h b)}{2} - \frac{4 ((\frac{{(\frac{b}{2})}^{3}}{3}) - \frac{{(- \frac{b}{2})}^{3}}{3}) h}{b^{2}}$

Paso 8.2.3.7

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 8.2.3.7.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 h b}{2} - \frac{4 ((\frac{{(\frac{b}{2})}^{3}}{3}) - \frac{{(- \frac{b}{2})}^{3}}{3}) h}{b^{2}}$

Paso 8.2.3.7.2

Divide $h b$ por $1$ .

$h b - \frac{4 ((\frac{{(\frac{b}{2})}^{3}}{3}) - \frac{{(- \frac{b}{2})}^{3}}{3}) h}{b^{2}}$

Paso 8.2.3.8

Factoriza $- 1$ de $- \frac{b}{2}$ .

$h b - \frac{4 (\frac{{(\frac{b}{2})}^{3}}{3} - \frac{{(- (\frac{b}{2}))}^{3}}{3}) h}{b^{2}}$

Paso 8.2.3.9

Aplica la regla del producto a $- (\frac{b}{2})$ .

$h b - \frac{4 (\frac{{(\frac{b}{2})}^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3} {(\frac{b}{2})}^{3}}{3}) h}{b^{2}}$

Paso 8.2.3.10

Eleva $- 1$ a la potencia de $3$ .

$h b - \frac{4 (\frac{{(\frac{b}{2})}^{3}}{3} - \frac{- {(\frac{b}{2})}^{3}}{3}) h}{b^{2}}$

Paso 8.2.3.11

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$h b - \frac{4 (\frac{{(\frac{b}{2})}^{3}}{3} - - \frac{{(\frac{b}{2})}^{3}}{3}) h}{b^{2}}$

Paso 8.2.3.12

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$h b - \frac{4 (\frac{{(\frac{b}{2})}^{3}}{3} + 1 \frac{{(\frac{b}{2})}^{3}}{3}) h}{b^{2}}$

Paso 8.2.3.13

Multiplica $\frac{{(\frac{b}{2})}^{3}}{3}$ por $1$ .

$h b - \frac{4 (\frac{{(\frac{b}{2})}^{3}}{3} + \frac{{(\frac{b}{2})}^{3}}{3}) h}{b^{2}}$

Paso 8.2.3.14

Suma $\frac{{(\frac{b}{2})}^{3}}{3}$ y $\frac{{(\frac{b}{2})}^{3}}{3}$ .

$h b - \frac{4 (2 \frac{{(\frac{b}{2})}^{3}}{3}) h}{b^{2}}$

Paso 8.2.3.15

Multiplica $2$ por $4$ .

$h b - \frac{8 \frac{{(\frac{b}{2})}^{3}}{3} h}{b^{2}}$

Paso 8.3

Reordena los términos.

$h b - \frac{8 (\frac{1}{3}) {(\frac{1}{2} b)}^{3} h}{b^{2}}$

Paso 9

Simplifica cada término.

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Paso 9.1

Simplifica el numerador.

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Paso 9.1.1

Combina $8$ y $\frac{1}{3}$ .

$h b - \frac{\frac{8}{3} {(\frac{1}{2} b)}^{3} h}{b^{2}}$

Paso 9.1.2

Combina $\frac{8}{3}$ y ${(\frac{1}{2} b)}^{3}$ .

$h b - \frac{\frac{8 {(\frac{1}{2} b)}^{3}}{3} h}{b^{2}}$

Paso 9.1.3

Combina $\frac{8 {(\frac{1}{2} b)}^{3}}{3}$ y $h$ .

$h b - \frac{\frac{8 {(\frac{1}{2} b)}^{3} h}{3}}{b^{2}}$

Paso 9.2

Simplifica el numerador.

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Paso 9.2.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $b$ .

$h b - \frac{\frac{8 {(\frac{b}{2})}^{3} h}{3}}{b^{2}}$

Paso 9.2.2

Aplica la regla del producto a $\frac{b}{2}$ .

$h b - \frac{\frac{8 \frac{b^{3}}{2^{3}} h}{3}}{b^{2}}$

Paso 9.2.3

Eleva $2$ a la potencia de $3$ .

$h b - \frac{\frac{8 \frac{b^{3}}{8} h}{3}}{b^{2}}$

Paso 9.2.4

Combina exponentes.

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Paso 9.2.4.1

Combina $8$ y $\frac{b^{3}}{8}$ .

$h b - \frac{\frac{\frac{8 b^{3}}{8} h}{3}}{b^{2}}$

Paso 9.2.4.2

Combina $\frac{8 b^{3}}{8}$ y $h$ .

$h b - \frac{\frac{\frac{8 b^{3} h}{8}}{3}}{b^{2}}$

Paso 9.2.5

Reduce la expresión mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 9.2.5.1

Reduce la expresión $\frac{8 b^{3} h}{8}$ mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 9.2.5.1.1

Cancela el factor común.

$h b - \frac{\frac{\frac{8 b^{3} h}{8}}{3}}{b^{2}}$

Paso 9.2.5.1.2

Reescribe la expresión.

$h b - \frac{\frac{\frac{b^{3} h}{1}}{3}}{b^{2}}$

Paso 9.2.5.2

Divide $b^{3} h$ por $1$ .

$h b - \frac{\frac{b^{3} h}{3}}{b^{2}}$

Paso 9.3

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$h b - (\frac{b^{3} h}{3} \cdot \frac{1}{b^{2}})$

Paso 9.4

Combinar.

$h b - \frac{b^{3} h \cdot 1}{3 b^{2}}$

Paso 9.5

Cancela el factor común de $b^{3}$ y $b^{2}$ .

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Paso 9.5.1

Factoriza $b^{2}$ de $b^{3} h \cdot 1$ .

$h b - \frac{b^{2} (b h \cdot 1)}{3 b^{2}}$

Paso 9.5.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 9.5.2.1

Factoriza $b^{2}$ de $3 b^{2}$ .

$h b - \frac{b^{2} (b h \cdot 1)}{b^{2} \cdot 3}$

Paso 9.5.2.2

Cancela el factor común.

$h b - \frac{b^{2} (b h \cdot 1)}{b^{2} \cdot 3}$

Paso 9.5.2.3

Reescribe la expresión.

$h b - \frac{b h \cdot 1}{3}$

Paso 9.6

Multiplica $b$ por $1$ .

$h b - \frac{b h}{3}$