Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to 3} \frac{x^{2} - 3 x}{3 e^{2 x - 6} - x}$

Paso 1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$\frac{lim_{x \to 3} x^{2} - 3 x}{lim_{x \to 3} 3 e^{2 x - 6} - x}$

Paso 1.2

Evalúa el límite del numerador.

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Paso 1.2.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $3$ .

$\frac{lim_{x \to 3} x^{2} - lim_{x \to 3} 3 x}{lim_{x \to 3} 3 e^{2 x - 6} - x}$

Paso 1.2.2

Mueve el exponente $2$ de $x^{2}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$\frac{{(lim_{x \to 3} x)}^{2} - lim_{x \to 3} 3 x}{lim_{x \to 3} 3 e^{2 x - 6} - x}$

Paso 1.2.3

Mueve el término $3$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{{(lim_{x \to 3} x)}^{2} - 3 lim_{x \to 3} x}{lim_{x \to 3} 3 e^{2 x - 6} - x}$

Paso 1.2.4

Evalúa los límites mediante el ingreso de $3$ para todos los casos de $x$ .

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Paso 1.2.4.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $3$ para $x$ .

$\frac{3^{2} - 3 lim_{x \to 3} x}{lim_{x \to 3} 3 e^{2 x - 6} - x}$

Paso 1.2.4.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $3$ para $x$ .

$\frac{3^{2} - 3 \cdot 3}{lim_{x \to 3} 3 e^{2 x - 6} - x}$

Paso 1.2.5

Simplifica la respuesta.

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Paso 1.2.5.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.2.5.1.1

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$\frac{9 - 3 \cdot 3}{lim_{x \to 3} 3 e^{2 x - 6} - x}$

Paso 1.2.5.1.2

Multiplica $- 3$ por $3$ .

$\frac{9 - 9}{lim_{x \to 3} 3 e^{2 x - 6} - x}$

Paso 1.2.5.2

Resta $9$ de $9$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 3} 3 e^{2 x - 6} - x}$

Paso 1.3

Evalúa el límite del denominador.

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Paso 1.3.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $3$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 3} 3 e^{2 x - 6} - lim_{x \to 3} x}$

Paso 1.3.2

Mueve el término $3$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{0}{3 lim_{x \to 3} e^{2 x - 6} - lim_{x \to 3} x}$

Paso 1.3.3

Mueve el límite dentro del exponente.

$\frac{0}{3 e^{lim_{x \to 3} 2 x - 6} - lim_{x \to 3} x}$

Paso 1.3.4

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $3$ .

$\frac{0}{3 e^{lim_{x \to 3} 2 x - lim_{x \to 3} 6} - lim_{x \to 3} x}$

Paso 1.3.5

Mueve el término $2$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{0}{3 e^{2 lim_{x \to 3} x - lim_{x \to 3} 6} - lim_{x \to 3} x}$

Paso 1.3.6

Evalúa el límite de $6$ que es constante cuando $x$ se acerca a $3$ .

$\frac{0}{3 e^{2 lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 6} - lim_{x \to 3} x}$

Paso 1.3.7

Evalúa los límites mediante el ingreso de $3$ para todos los casos de $x$ .

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Paso 1.3.7.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $3$ para $x$ .

$\frac{0}{3 e^{2 \cdot 3 - 1 \cdot 6} - lim_{x \to 3} x}$

Paso 1.3.7.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $3$ para $x$ .

$\frac{0}{3 e^{2 \cdot 3 - 1 \cdot 6} - 3}$

Paso 1.3.8

Simplifica la respuesta.

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Paso 1.3.8.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.3.8.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.3.8.1.1.1

Multiplica $2$ por $3$ .

$\frac{0}{3 e^{6 - 1 \cdot 6} - 3}$

Paso 1.3.8.1.1.2

Multiplica $- 1$ por $6$ .

$\frac{0}{3 e^{6 - 6} - 3}$

Paso 1.3.8.1.2

Resta $6$ de $6$ .

$\frac{0}{3 e^{0} - 3}$

Paso 1.3.8.1.3

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$\frac{0}{3 \cdot 1 - 3}$

Paso 1.3.8.1.4

Multiplica $3$ por $1$ .

$\frac{0}{3 - 3}$

Paso 1.3.8.2

Resta $3$ de $3$ .

$\frac{0}{0}$

Paso 1.3.8.3

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.3.9

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 2

Como $\frac{0}{0}$ es de forma indeterminada, aplica la regla de l'Hôpital. La regla de l'Hôpital establece que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas.

$lim_{x \to 3} \frac{x^{2} - 3 x}{3 e^{2 x - 6} - x} = lim_{x \to 3} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} - 3 x]}{\frac{d}{d x} [3 e^{2 x - 6} - x]}$

Paso 3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} - 3 x]}{\frac{d}{d x} [3 e^{2 x - 6} - x]}$

Paso 3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} - 3 x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x]}{\frac{d}{d x} [3 e^{2 x - 6} - x]}$

Paso 3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$lim_{x \to 3} \frac{2 x + \frac{d}{d x} [- 3 x]}{\frac{d}{d x} [3 e^{2 x - 6} - x]}$

Paso 3.4

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

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Paso 3.4.1

Como $- 3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 3 x$ con respecto a $x$ es $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 3 \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [3 e^{2 x - 6} - x]}$

Paso 3.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 3 \cdot 1}{\frac{d}{d x} [3 e^{2 x - 6} - x]}$

Paso 3.4.3

Multiplica $- 3$ por $1$ .

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 3}{\frac{d}{d x} [3 e^{2 x - 6} - x]}$

Paso 3.5

Según la regla de la suma, la derivada de $3 e^{2 x - 6} - x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [3 e^{2 x - 6}] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 3}{\frac{d}{d x} [3 e^{2 x - 6}] + \frac{d}{d x} [- x]}$

Paso 3.6

Evalúa $\frac{d}{d x} [3 e^{2 x - 6}]$ .

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Paso 3.6.1

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 e^{2 x - 6}$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [e^{2 x - 6}]$ .

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 3}{3 \frac{d}{d x} [e^{2 x - 6}] + \frac{d}{d x} [- x]}$

Paso 3.6.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = 2 x - 6$ .

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Paso 3.6.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $2 x - 6$ .

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 3}{3 (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [2 x - 6]) + \frac{d}{d x} [- x]}$

Paso 3.6.2.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ es $a^{u} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 3}{3 (e^{u} \frac{d}{d x} [2 x - 6]) + \frac{d}{d x} [- x]}$

Paso 3.6.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $2 x - 6$ .

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 3}{3 (e^{2 x - 6} \frac{d}{d x} [2 x - 6]) + \frac{d}{d x} [- x]}$

Paso 3.6.3

Según la regla de la suma, la derivada de $2 x - 6$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 6]$ .

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 3}{3 (e^{2 x - 6} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 6])) + \frac{d}{d x} [- x]}$

Paso 3.6.4

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 3}{3 (e^{2 x - 6} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6])) + \frac{d}{d x} [- x]}$

Paso 3.6.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 3}{3 (e^{2 x - 6} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 6])) + \frac{d}{d x} [- x]}$

Paso 3.6.6

Como $- 6$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 6$ con respecto a $x$ es $0$ .

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 3}{3 (e^{2 x - 6} (2 \cdot 1 + 0)) + \frac{d}{d x} [- x]}$

Paso 3.6.7

Multiplica $2$ por $1$ .

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 3}{3 (e^{2 x - 6} (2 + 0)) + \frac{d}{d x} [- x]}$

Paso 3.6.8

Suma $2$ y $0$ .

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 3}{3 (e^{2 x - 6} \cdot 2) + \frac{d}{d x} [- x]}$

Paso 3.6.9

Mueve $2$ a la izquierda de $e^{2 x - 6}$ .

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 3}{3 (2 e^{2 x - 6}) + \frac{d}{d x} [- x]}$

Paso 3.6.10

Multiplica $2$ por $3$ .

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 3}{6 e^{2 x - 6} + \frac{d}{d x} [- x]}$

Paso 3.7

Evalúa $\frac{d}{d x} [- x]$ .

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Paso 3.7.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 3}{6 e^{2 x - 6} - \frac{d}{d x} [x]}$

Paso 3.7.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 3}{6 e^{2 x - 6} - 1 \cdot 1}$

Paso 3.7.3

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 3}{6 e^{2 x - 6} - 1}$

Paso 4

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $3$ .

$\frac{lim_{x \to 3} 2 x - 3}{lim_{x \to 3} 6 e^{2 x - 6} - 1}$

Paso 5

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $3$ .

$\frac{lim_{x \to 3} 2 x - lim_{x \to 3} 3}{lim_{x \to 3} 6 e^{2 x - 6} - 1}$

Paso 6

Mueve el término $2$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{2 lim_{x \to 3} x - lim_{x \to 3} 3}{lim_{x \to 3} 6 e^{2 x - 6} - 1}$

Paso 7

Evalúa el límite de $3$ que es constante cuando $x$ se acerca a $3$ .

$\frac{2 lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 3}{lim_{x \to 3} 6 e^{2 x - 6} - 1}$

Paso 8

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $3$ .

$\frac{2 lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 3}{lim_{x \to 3} 6 e^{2 x - 6} - lim_{x \to 3} 1}$

Paso 9

Mueve el término $6$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{2 lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 3}{6 lim_{x \to 3} e^{2 x - 6} - lim_{x \to 3} 1}$

Paso 10

Mueve el límite dentro del exponente.

$\frac{2 lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 3}{6 e^{lim_{x \to 3} 2 x - 6} - lim_{x \to 3} 1}$

Paso 11

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $3$ .

$\frac{2 lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 3}{6 e^{lim_{x \to 3} 2 x - lim_{x \to 3} 6} - lim_{x \to 3} 1}$

Paso 12

Mueve el término $2$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{2 lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 3}{6 e^{2 lim_{x \to 3} x - lim_{x \to 3} 6} - lim_{x \to 3} 1}$

Paso 13

Evalúa el límite de $6$ que es constante cuando $x$ se acerca a $3$ .

$\frac{2 lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 3}{6 e^{2 lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 6} - lim_{x \to 3} 1}$

Paso 14

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $3$ .

$\frac{2 lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 3}{6 e^{2 lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 6} - 1 \cdot 1}$

Paso 15

Evalúa los límites mediante el ingreso de $3$ para todos los casos de $x$ .

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Paso 15.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $3$ para $x$ .

$\frac{2 \cdot 3 - 1 \cdot 3}{6 e^{2 lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 6} - 1 \cdot 1}$

Paso 15.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $3$ para $x$ .

$\frac{2 \cdot 3 - 1 \cdot 3}{6 e^{2 \cdot 3 - 1 \cdot 6} - 1 \cdot 1}$

Paso 16

Simplifica la respuesta.

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Paso 16.1

Simplifica el numerador.

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Paso 16.1.1

Multiplica $2$ por $3$ .

$\frac{6 - 1 \cdot 3}{6 e^{2 \cdot 3 - 1 \cdot 6} - 1 \cdot 1}$

Paso 16.1.2

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$\frac{6 - 3}{6 e^{2 \cdot 3 - 1 \cdot 6} - 1 \cdot 1}$

Paso 16.1.3

Resta $3$ de $6$ .

$\frac{3}{6 e^{2 \cdot 3 - 1 \cdot 6} - 1 \cdot 1}$

Paso 16.2

Simplifica el denominador.

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Paso 16.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 16.2.1.1

Multiplica $2$ por $3$ .

$\frac{3}{6 e^{6 - 1 \cdot 6} - 1 \cdot 1}$

Paso 16.2.1.2

Multiplica $- 1$ por $6$ .

$\frac{3}{6 e^{6 - 6} - 1 \cdot 1}$

Paso 16.2.2

Resta $6$ de $6$ .

$\frac{3}{6 e^{0} - 1 \cdot 1}$

Paso 16.2.3

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$\frac{3}{6 \cdot 1 - 1 \cdot 1}$

Paso 16.2.4

Multiplica $6$ por $1$ .

$\frac{3}{6 - 1 \cdot 1}$

Paso 16.2.5

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{3}{6 - 1}$

Paso 16.2.6

Resta $1$ de $6$ .

$\frac{3}{5}$