Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to \frac{2}{3}} \frac{4 - 9 x^{2}}{2 - 3 x}$

Paso 1

Aplica la regla de l'Hôpital

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Paso 1.1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 1.1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$\frac{lim_{x \to \frac{2}{3}} 4 - 9 x^{2}}{lim_{x \to \frac{2}{3}} 2 - 3 x}$

Paso 1.1.2

Evalúa el límite del numerador.

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Paso 1.1.2.1

Evalúa el límite.

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Paso 1.1.2.1.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $\frac{2}{3}$ .

$\frac{lim_{x \to \frac{2}{3}} 4 - lim_{x \to \frac{2}{3}} 9 x^{2}}{lim_{x \to \frac{2}{3}} 2 - 3 x}$

Paso 1.1.2.1.2

Evalúa el límite de $4$ que es constante cuando $x$ se acerca a $\frac{2}{3}$ .

$\frac{4 - lim_{x \to \frac{2}{3}} 9 x^{2}}{lim_{x \to \frac{2}{3}} 2 - 3 x}$

Paso 1.1.2.1.3

Mueve el término $9$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{4 - 9 lim_{x \to \frac{2}{3}} x^{2}}{lim_{x \to \frac{2}{3}} 2 - 3 x}$

Paso 1.1.2.1.4

Mueve el exponente $2$ de $x^{2}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$\frac{4 - 9 {(lim_{x \to \frac{2}{3}} x)}^{2}}{lim_{x \to \frac{2}{3}} 2 - 3 x}$

Paso 1.1.2.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $\frac{2}{3}$ para $x$ .

$\frac{4 - 9 {(\frac{2}{3})}^{2}}{lim_{x \to \frac{2}{3}} 2 - 3 x}$

Paso 1.1.2.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 1.1.2.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.2.3.1.1

Aplica la regla del producto a $\frac{2}{3}$ .

$\frac{4 - 9 \frac{2^{2}}{3^{2}}}{lim_{x \to \frac{2}{3}} 2 - 3 x}$

Paso 1.1.2.3.1.2

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$\frac{4 - 9 \frac{4}{3^{2}}}{lim_{x \to \frac{2}{3}} 2 - 3 x}$

Paso 1.1.2.3.1.3

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$\frac{4 - 9 (\frac{4}{9})}{lim_{x \to \frac{2}{3}} 2 - 3 x}$

Paso 1.1.2.3.1.4

Cancela el factor común de $9$ .

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Paso 1.1.2.3.1.4.1

Factoriza $9$ de $- 9$ .

$\frac{4 + 9 (- 1) \frac{4}{9}}{lim_{x \to \frac{2}{3}} 2 - 3 x}$

Paso 1.1.2.3.1.4.2

Cancela el factor común.

$\frac{4 + 9 \cdot - 1 \frac{4}{9}}{lim_{x \to \frac{2}{3}} 2 - 3 x}$

Paso 1.1.2.3.1.4.3

Reescribe la expresión.

$\frac{4 - 1 \cdot 4}{lim_{x \to \frac{2}{3}} 2 - 3 x}$

Paso 1.1.2.3.1.5

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$\frac{4 - 4}{lim_{x \to \frac{2}{3}} 2 - 3 x}$

Paso 1.1.2.3.2

Resta $4$ de $4$ .

$\frac{0}{lim_{x \to \frac{2}{3}} 2 - 3 x}$

Paso 1.1.3

Evalúa el límite del denominador.

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Paso 1.1.3.1

Evalúa el límite.

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Paso 1.1.3.1.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $\frac{2}{3}$ .

$\frac{0}{lim_{x \to \frac{2}{3}} 2 - lim_{x \to \frac{2}{3}} 3 x}$

Paso 1.1.3.1.2

Evalúa el límite de $2$ que es constante cuando $x$ se acerca a $\frac{2}{3}$ .

$\frac{0}{2 - lim_{x \to \frac{2}{3}} 3 x}$

Paso 1.1.3.1.3

Mueve el término $3$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{0}{2 - 3 lim_{x \to \frac{2}{3}} x}$

Paso 1.1.3.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $\frac{2}{3}$ para $x$ .

$\frac{0}{2 - 3 (\frac{2}{3})}$

Paso 1.1.3.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 1.1.3.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.3.3.1.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 1.1.3.3.1.1.1

Factoriza $3$ de $- 3$ .

$\frac{0}{2 + 3 (- 1) \frac{2}{3}}$

Paso 1.1.3.3.1.1.2

Cancela el factor común.

$\frac{0}{2 + 3 \cdot - 1 \frac{2}{3}}$

Paso 1.1.3.3.1.1.3

Reescribe la expresión.

$\frac{0}{2 - 1 \cdot 2}$

Paso 1.1.3.3.1.2

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{0}{2 - 2}$

Paso 1.1.3.3.2

Resta $2$ de $2$ .

$\frac{0}{0}$

Paso 1.1.3.3.3

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.1.3.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.1.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.2

Como $\frac{0}{0}$ es de forma indeterminada, aplica la regla de l'Hôpital. La regla de l'Hôpital establece que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas.

$lim_{x \to \frac{2}{3}} \frac{4 - 9 x^{2}}{2 - 3 x} = lim_{x \to \frac{2}{3}} \frac{\frac{d}{d x} [4 - 9 x^{2}]}{\frac{d}{d x} [2 - 3 x]}$

Paso 1.3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 1.3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$lim_{x \to \frac{2}{3}} \frac{\frac{d}{d x} [4 - 9 x^{2}]}{\frac{d}{d x} [2 - 3 x]}$

Paso 1.3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $4 - 9 x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$ .

$lim_{x \to \frac{2}{3}} \frac{\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]}{\frac{d}{d x} [2 - 3 x]}$

Paso 1.3.3

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4$ con respecto a $x$ es $0$ .

$lim_{x \to \frac{2}{3}} \frac{0 + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]}{\frac{d}{d x} [2 - 3 x]}$

Paso 1.3.4

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$ .

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Paso 1.3.4.1

Como $- 9$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 9 x^{2}$ con respecto a $x$ es $- 9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to \frac{2}{3}} \frac{0 - 9 \frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [2 - 3 x]}$

Paso 1.3.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$lim_{x \to \frac{2}{3}} \frac{0 - 9 (2 x)}{\frac{d}{d x} [2 - 3 x]}$

Paso 1.3.4.3

Multiplica $2$ por $- 9$ .

$lim_{x \to \frac{2}{3}} \frac{0 - 18 x}{\frac{d}{d x} [2 - 3 x]}$

Paso 1.3.5

Resta $18 x$ de $0$ .

$lim_{x \to \frac{2}{3}} \frac{- 18 x}{\frac{d}{d x} [2 - 3 x]}$

Paso 1.3.6

Según la regla de la suma, la derivada de $2 - 3 x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

$lim_{x \to \frac{2}{3}} \frac{- 18 x}{\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- 3 x]}$

Paso 1.3.7

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2$ con respecto a $x$ es $0$ .

$lim_{x \to \frac{2}{3}} \frac{- 18 x}{0 + \frac{d}{d x} [- 3 x]}$

Paso 1.3.8

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

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Paso 1.3.8.1

Como $- 3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 3 x$ con respecto a $x$ es $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to \frac{2}{3}} \frac{- 18 x}{0 - 3 \frac{d}{d x} [x]}$

Paso 1.3.8.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{x \to \frac{2}{3}} \frac{- 18 x}{0 - 3 \cdot 1}$

Paso 1.3.8.3

Multiplica $- 3$ por $1$ .

$lim_{x \to \frac{2}{3}} \frac{- 18 x}{0 - 3}$

Paso 1.3.9

Resta $3$ de $0$ .

$lim_{x \to \frac{2}{3}} \frac{- 18 x}{- 3}$

Paso 1.4

Cancela el factor común de $- 18$ y $- 3$ .

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Paso 1.4.1

Factoriza $- 3$ de $- 18 x$ .

$lim_{x \to \frac{2}{3}} \frac{- 3 (6 x)}{- 3}$

Paso 1.4.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.4.2.1

Factoriza $- 3$ de $- 3$ .

$lim_{x \to \frac{2}{3}} \frac{- 3 (6 x)}{- 3 (1)}$

Paso 1.4.2.2

Cancela el factor común.

$lim_{x \to \frac{2}{3}} \frac{- 3 (6 x)}{- 3 \cdot 1}$

Paso 1.4.2.3

Reescribe la expresión.

$lim_{x \to \frac{2}{3}} \frac{6 x}{1}$

Paso 1.4.2.4

Divide $6 x$ por $1$ .

$lim_{x \to \frac{2}{3}} 6 x$

Paso 2

Mueve el término $6$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$6 lim_{x \to \frac{2}{3}} x$

Paso 3

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $\frac{2}{3}$ para $x$ .

$6 (\frac{2}{3})$

Paso 4

Simplifica la respuesta.

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Paso 4.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 4.1.1

Factoriza $3$ de $6$ .

$3 (2) \frac{2}{3}$

Paso 4.1.2

Cancela el factor común.

$3 \cdot 2 \frac{2}{3}$

Paso 4.1.3

Reescribe la expresión.

$2 \cdot 2$

Paso 4.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$4$