Cálculo Ejemplos

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{\sin (x)}{1 - \cos (x)} d x$

Paso 1

Sea $u = 1 - \cos (x)$ . Entonces $d u = \sin (x) d x$ , de modo que $\frac{1}{\sin (x)} d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 1.1

Deja $u = 1 - \cos (x)$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 1.1.1

Diferencia $1 - \cos (x)$ .

$\frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]$

Paso 1.1.2

Diferencia.

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Paso 1.1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $1 - \cos (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$

Paso 1.1.2.2

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$

Paso 1.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

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Paso 1.1.3.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \cos (x)$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$0 - \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Paso 1.1.3.2

La derivada de $\cos (x)$ con respecto a $x$ es $- \sin (x)$ .

$0 - - \sin (x)$

Paso 1.1.3.3

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$0 + 1 \sin (x)$

Paso 1.1.3.4

Multiplica $\sin (x)$ por $1$ .

$0 + \sin (x)$

Paso 1.1.4

Suma $0$ y $\sin (x)$ .

$\sin (x)$

Paso 1.2

Sustituye el límite inferior por $x$ en $u = 1 - \cos (x)$ .

$u_{lower} = 1 - \cos (0)$

Paso 1.3

Simplifica.

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Paso 1.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.3.1.1

El valor exacto de $\cos (0)$ es $1$ .

$u_{lower} = 1 - 1 \cdot 1$

Paso 1.3.1.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$u_{lower} = 1 - 1$

Paso 1.3.2

Resta $1$ de $1$ .

$u_{lower} = 0$

Paso 1.4

Sustituye el límite superior por $x$ en $u = 1 - \cos (x)$ .

$u_{upper} = 1 - \cos (\frac{π}{2})$

Paso 1.5

Simplifica.

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Paso 1.5.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.5.1.1

El valor exacto de $\cos (\frac{π}{2})$ es $0$ .

$u_{upper} = 1 - 0$

Paso 1.5.1.2

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$u_{upper} = 1 + 0$

Paso 1.5.2

Suma $1$ y $0$ .

$u_{upper} = 1$

Paso 1.6

Los valores obtenidos para $u_{lower}$ y $u_{upper}$ se usarán para evaluar la integral definida.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 1$

Paso 1.7

Reescribe el problema mediante $u$ , $d u$ y los nuevos límites de integración.

$\int_{0}^{1} \frac{1}{u} d u$

Paso 2

La integral de $\frac{1}{u}$ con respecto a $u$ es $\ln (| u |)$ .

$\ln (| u |)]_{0}^{1}$

Paso 3

Evalúa $\ln (| u |)$ en $1$ y en $0$ .

$\ln (| 1 |) - \ln (| 0 |)$

Paso 4

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| 1 |}{| 0 |})$

Paso 5

Simplifica.

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Paso 5.1

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $0$ es $0$ .

$\ln (\frac{| 1 |}{0})$

Paso 5.2

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\ln (\frac{| 1 |}{0})$

Paso 6

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida