Cálculo Ejemplos

$\int \frac{\sqrt{x} - x^{- 3}}{x^{2}} d x$

Paso 1

Simplifica.

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Paso 1.1

Simplifica el numerador.

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Paso 1.1.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\int \frac{\sqrt{x} - \frac{1}{x^{3}}}{x^{2}} d x$

Paso 1.1.2

Para escribir $\sqrt{x}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x^{3}}{x^{3}}$ .

$\int \frac{\frac{\sqrt{x} x^{3}}{x^{3}} - \frac{1}{x^{3}}}{x^{2}} d x$

Paso 1.1.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\int \frac{\frac{\sqrt{x} x^{3} - 1}{x^{3}}}{x^{2}} d x$

Paso 1.2

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$\int \frac{\sqrt{x} x^{3} - 1}{x^{3}} \cdot \frac{1}{x^{2}} d x$

Paso 1.3

Multiplica $\frac{\sqrt{x} x^{3} - 1}{x^{3}} \cdot \frac{1}{x^{2}}$ .

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Paso 1.3.1

Multiplica $\frac{\sqrt{x} x^{3} - 1}{x^{3}}$ por $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\int \frac{\sqrt{x} x^{3} - 1}{x^{3} x^{2}} d x$

Paso 1.3.2

Multiplica $x^{3}$ por $x^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 1.3.2.1

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\int \frac{\sqrt{x} x^{3} - 1}{x^{3 + 2}} d x$

Paso 1.3.2.2

Suma $3$ y $2$ .

$\int \frac{\sqrt{x} x^{3} - 1}{x^{5}} d x$

Paso 2

Simplifica.

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Paso 2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \frac{x^{\frac{1}{2}} x^{3} - 1}{x^{5}} d x$

Paso 2.2

Multiplica $x^{\frac{1}{2}}$ por $x^{3}$ sumando los exponentes.

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Paso 2.2.1

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\int \frac{x^{\frac{1}{2} + 3} - 1}{x^{5}} d x$

Paso 2.2.2

Para escribir $3$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\int \frac{x^{\frac{1}{2} + 3 \cdot \frac{2}{2}} - 1}{x^{5}} d x$

Paso 2.2.3

Combina $3$ y $\frac{2}{2}$ .

$\int \frac{x^{\frac{1}{2} + \frac{3 \cdot 2}{2}} - 1}{x^{5}} d x$

Paso 2.2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\int \frac{x^{\frac{1 + 3 \cdot 2}{2}} - 1}{x^{5}} d x$

Paso 2.2.5

Simplifica el numerador.

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Paso 2.2.5.1

Multiplica $3$ por $2$ .

$\int \frac{x^{\frac{1 + 6}{2}} - 1}{x^{5}} d x$

Paso 2.2.5.2

Suma $1$ y $6$ .

$\int \frac{x^{\frac{7}{2}} - 1}{x^{5}} d x$

Paso 3

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 3.1

Mueve $x^{5}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$\int (x^{\frac{7}{2}} - 1) {(x^{5})}^{- 1} d x$

Paso 3.2

Multiplica los exponentes en ${(x^{5})}^{- 1}$ .

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Paso 3.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int (x^{\frac{7}{2}} - 1) x^{5 \cdot - 1} d x$

Paso 3.2.2

Multiplica $5$ por $- 1$ .

$\int (x^{\frac{7}{2}} - 1) x^{- 5} d x$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\int x^{\frac{7}{2}} x^{- 5} - 1 x^{- 5} d x$

Paso 4.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\int x^{\frac{7}{2} - 5} - 1 x^{- 5} d x$

Paso 4.3

Para escribir $- 5$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\int x^{\frac{7}{2} - 5 \cdot \frac{2}{2}} - 1 x^{- 5} d x$

Paso 4.4

Combina $- 5$ y $\frac{2}{2}$ .

$\int x^{\frac{7}{2} + \frac{- 5 \cdot 2}{2}} - 1 x^{- 5} d x$

Paso 4.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\int x^{\frac{7 - 5 \cdot 2}{2}} - 1 x^{- 5} d x$

Paso 4.6

Simplifica el numerador.

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Paso 4.6.1

Multiplica $- 5$ por $2$ .

$\int x^{\frac{7 - 10}{2}} - 1 x^{- 5} d x$

Paso 4.6.2

Resta $10$ de $7$ .

$\int x^{\frac{- 3}{2}} - 1 x^{- 5} d x$

Paso 4.7

Reordena $x^{\frac{- 3}{2}}$ y $- 1 x^{- 5}$ .

$\int - 1 x^{- 5} + x^{\frac{- 3}{2}} d x$

Paso 5

Simplifica.

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Paso 5.1

Reescribe $- 1 x^{- 5}$ como $- x^{- 5}$ .

$\int - x^{- 5} + x^{\frac{- 3}{2}} d x$

Paso 5.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\int - x^{- 5} + x^{- \frac{3}{2}} d x$

Paso 6

Divide la única integral en varias integrales.

$\int - x^{- 5} d x + \int x^{- \frac{3}{2}} d x$

Paso 7

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$- \int x^{- 5} d x + \int x^{- \frac{3}{2}} d x$

Paso 8

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{- 5}$ con respecto a $x$ es $- \frac{1}{4} x^{- 4}$ .

$- (- \frac{1}{4} x^{- 4} + C) + \int x^{- \frac{3}{2}} d x$

Paso 9

Simplifica.

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Paso 9.1

Combina $x^{- 4}$ y $\frac{1}{4}$ .

$- (- \frac{x^{- 4}}{4} + C) + \int x^{- \frac{3}{2}} d x$

Paso 9.2

Mueve $x^{- 4}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- (- \frac{1}{4 x^{4}} + C) + \int x^{- \frac{3}{2}} d x$

Paso 10

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{- \frac{3}{2}}$ con respecto a $x$ es $- 2 x^{- \frac{1}{2}}$ .

$- (- \frac{1}{4 x^{4}} + C) - 2 x^{- \frac{1}{2}} + C$

Paso 11

Simplifica.

$\frac{1}{4 x^{4}} - 2 x^{- \frac{1}{2}} + C$