Cálculo Ejemplos

$\int_{1}^{4} \frac{1}{x \sqrt{16 x^{2} - 5}} d x$

Paso 1

Sea $x = \frac{\sqrt{5}}{4} \sec (t)$ , donde $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Entonces $d x = \frac{\sqrt{5} \sec (t) \tan (t)}{4} d t$ . Tenga en cuenta que ya que $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $\frac{\sqrt{5} \sec (t) \tan (t)}{4}$ es positiva.

$\int_{0.97759655}^{1.4305831} \frac{1}{\frac{\sqrt{5}}{4} \sec (t) \sqrt{16 {(\frac{\sqrt{5}}{4} \sec (t))}^{2} - 5}} \cdot \frac{\sqrt{5} \sec (t) \tan (t)}{4} d t$

Paso 2

Simplifica los términos.

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Paso 2.1

Simplifica $\sqrt{16 {(\frac{\sqrt{5}}{4} \sec (t))}^{2} - 5}$ .

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Paso 2.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.1.1.1

Combina $\frac{\sqrt{5}}{4}$ y $\sec (t)$ .

$\int_{0.97759655}^{1.4305831} \frac{1}{\frac{\sqrt{5}}{4} \sec (t) \sqrt{16 {(\frac{\sqrt{5} \sec (t)}{4})}^{2} - 5}} \cdot \frac{\sqrt{5} \sec (t) \tan (t)}{4} d t$

Paso 2.1.1.2

Usa la regla de la potencia ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir el exponente.

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Paso 2.1.1.2.1

Aplica la regla del producto a $\frac{\sqrt{5} \sec (t)}{4}$ .

$\int_{0.97759655}^{1.4305831} \frac{1}{\frac{\sqrt{5}}{4} \sec (t) \sqrt{16 \frac{{(\sqrt{5} \sec (t))}^{2}}{4^{2}} - 5}} \cdot \frac{\sqrt{5} \sec (t) \tan (t)}{4} d t$

Paso 2.1.1.2.2

Aplica la regla del producto a $\sqrt{5} \sec (t)$ .

$\int_{0.97759655}^{1.4305831} \frac{1}{\frac{\sqrt{5}}{4} \sec (t) \sqrt{16 \frac{{\sqrt{5}}^{2} \sec^{2} (t)}{4^{2}} - 5}} \cdot \frac{\sqrt{5} \sec (t) \tan (t)}{4} d t$

Paso 2.1.1.3

Reescribe ${\sqrt{5}}^{2}$ como $5$ .

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Paso 2.1.1.3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{5}$ como $5^{\frac{1}{2}}$ .

$\int_{0.97759655}^{1.4305831} \frac{1}{\frac{\sqrt{5}}{4} \sec (t) \sqrt{16 \frac{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2} \sec^{2} (t)}{4^{2}} - 5}} \cdot \frac{\sqrt{5} \sec (t) \tan (t)}{4} d t$

Paso 2.1.1.3.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int_{0.97759655}^{1.4305831} \frac{1}{\frac{\sqrt{5}}{4} \sec (t) \sqrt{16 \frac{5^{\frac{1}{2} \cdot 2} \sec^{2} (t)}{4^{2}} - 5}} \cdot \frac{\sqrt{5} \sec (t) \tan (t)}{4} d t$

Paso 2.1.1.3.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\int_{0.97759655}^{1.4305831} \frac{1}{\frac{\sqrt{5}}{4} \sec (t) \sqrt{16 \frac{5^{\frac{2}{2}} \sec^{2} (t)}{4^{2}} - 5}} \cdot \frac{\sqrt{5} \sec (t) \tan (t)}{4} d t$

Paso 2.1.1.3.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.1.1.3.4.1

Cancela el factor común.

$\int_{0.97759655}^{1.4305831} \frac{1}{\frac{\sqrt{5}}{4} \sec (t) \sqrt{16 \frac{5^{\frac{2}{2}} \sec^{2} (t)}{4^{2}} - 5}} \cdot \frac{\sqrt{5} \sec (t) \tan (t)}{4} d t$

Paso 2.1.1.3.4.2

Reescribe la expresión.

$\int_{0.97759655}^{1.4305831} \frac{1}{\frac{\sqrt{5}}{4} \sec (t) \sqrt{16 \frac{5^{1} \sec^{2} (t)}{4^{2}} - 5}} \cdot \frac{\sqrt{5} \sec (t) \tan (t)}{4} d t$

Paso 2.1.1.3.5

Evalúa el exponente.

$\int_{0.97759655}^{1.4305831} \frac{1}{\frac{\sqrt{5}}{4} \sec (t) \sqrt{16 \frac{5 \sec^{2} (t)}{4^{2}} - 5}} \cdot \frac{\sqrt{5} \sec (t) \tan (t)}{4} d t$

Paso 2.1.1.4

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$\int_{0.97759655}^{1.4305831} \frac{1}{\frac{\sqrt{5}}{4} \sec (t) \sqrt{16 \frac{5 \sec^{2} (t)}{16} - 5}} \cdot \frac{\sqrt{5} \sec (t) \tan (t)}{4} d t$

Paso 2.1.1.5

Cancela el factor común de $16$ .

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Paso 2.1.1.5.1

Cancela el factor común.

$\int_{0.97759655}^{1.4305831} \frac{1}{\frac{\sqrt{5}}{4} \sec (t) \sqrt{16 \frac{5 \sec^{2} (t)}{16} - 5}} \cdot \frac{\sqrt{5} \sec (t) \tan (t)}{4} d t$

Paso 2.1.1.5.2

Reescribe la expresión.

$\int_{0.97759655}^{1.4305831} \frac{1}{\frac{\sqrt{5}}{4} \sec (t) \sqrt{5 \sec^{2} (t) - 5}} \cdot \frac{\sqrt{5} \sec (t) \tan (t)}{4} d t$

Paso 2.1.2

Factoriza $5$ de $5 \sec^{2} (t)$ .

$\int_{0.97759655}^{1.4305831} \frac{1}{\frac{\sqrt{5}}{4} \sec (t) \sqrt{5 (\sec^{2} (t)) - 5}} \cdot \frac{\sqrt{5} \sec (t) \tan (t)}{4} d t$

Paso 2.1.3

Factoriza $5$ de $- 5$ .

$\int_{0.97759655}^{1.4305831} \frac{1}{\frac{\sqrt{5}}{4} \sec (t) \sqrt{5 \sec^{2} (t) + 5 \cdot - 1}} \cdot \frac{\sqrt{5} \sec (t) \tan (t)}{4} d t$

Paso 2.1.4

Factoriza $5$ de $5 \sec^{2} (t) + 5 \cdot - 1$ .

$\int_{0.97759655}^{1.4305831} \frac{1}{\frac{\sqrt{5}}{4} \sec (t) \sqrt{5 (\sec^{2} (t) - 1)}} \cdot \frac{\sqrt{5} \sec (t) \tan (t)}{4} d t$

Paso 2.1.5

Aplica la identidad pitagórica.

$\int_{0.97759655}^{1.4305831} \frac{1}{\frac{\sqrt{5}}{4} \sec (t) \sqrt{5 \tan^{2} (t)}} \cdot \frac{\sqrt{5} \sec (t) \tan (t)}{4} d t$

Paso 2.1.6

Reordena $5$ y $\tan^{2} (t)$ .

$\int_{0.97759655}^{1.4305831} \frac{1}{\frac{\sqrt{5}}{4} \sec (t) \sqrt{\tan^{2} (t) \cdot 5}} \cdot \frac{\sqrt{5} \sec (t) \tan (t)}{4} d t$

Paso 2.1.7

Retira los términos de abajo del radical.

$\int_{0.97759655}^{1.4305831} \frac{1}{\frac{\sqrt{5}}{4} \sec (t) (\tan (t) \sqrt{5})} \cdot \frac{\sqrt{5} \sec (t) \tan (t)}{4} d t$

Paso 2.2

Simplifica.

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Paso 2.2.1

Combina $\frac{\sqrt{5}}{4}$ y $\sec (t)$ .

$\int_{0.97759655}^{1.4305831} \frac{1}{\frac{\sqrt{5} \sec (t)}{4} (\tan (t) \sqrt{5})} \cdot \frac{\sqrt{5} \sec (t) \tan (t)}{4} d t$

Paso 2.2.2

Combina $\tan (t)$ y $\frac{\sqrt{5} \sec (t)}{4}$ .

$\int_{0.97759655}^{1.4305831} \frac{1}{\frac{\tan (t) (\sqrt{5} \sec (t))}{4} \sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5} \sec (t) \tan (t)}{4} d t$

Paso 2.2.3

Combina $\frac{\tan (t) (\sqrt{5} \sec (t))}{4}$ y $\sqrt{5}$ .

$\int_{0.97759655}^{1.4305831} \frac{1}{\frac{\tan (t) (\sqrt{5} \sec (t)) \sqrt{5}}{4}} \cdot \frac{\sqrt{5} \sec (t) \tan (t)}{4} d t$

Paso 2.2.4

Eleva $\sqrt{5}$ a la potencia de $1$ .

$\int_{0.97759655}^{1.4305831} \frac{1}{\frac{\tan (t) ({\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5} \sec (t))}{4}} \cdot \frac{\sqrt{5} \sec (t) \tan (t)}{4} d t$

Paso 2.2.5

Eleva $\sqrt{5}$ a la potencia de $1$ .

$\int_{0.97759655}^{1.4305831} \frac{1}{\frac{\tan (t) ({\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1} \sec (t))}{4}} \cdot \frac{\sqrt{5} \sec (t) \tan (t)}{4} d t$

Paso 2.2.6

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\int_{0.97759655}^{1.4305831} \frac{1}{\frac{\tan (t) ({\sqrt{5}}^{1 + 1} \sec (t))}{4}} \cdot \frac{\sqrt{5} \sec (t) \tan (t)}{4} d t$

Paso 2.2.7

Suma $1$ y $1$ .

$\int_{0.97759655}^{1.4305831} \frac{1}{\frac{\tan (t) ({\sqrt{5}}^{2} \sec (t))}{4}} \cdot \frac{\sqrt{5} \sec (t) \tan (t)}{4} d t$

Paso 2.2.8

Reescribe ${\sqrt{5}}^{2}$ como $5$ .

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Paso 2.2.8.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{5}$ como $5^{\frac{1}{2}}$ .

$\int_{0.97759655}^{1.4305831} \frac{1}{\frac{\tan (t) ({(5^{\frac{1}{2}})}^{2} \sec (t))}{4}} \cdot \frac{\sqrt{5} \sec (t) \tan (t)}{4} d t$

Paso 2.2.8.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int_{0.97759655}^{1.4305831} \frac{1}{\frac{\tan (t) (5^{\frac{1}{2} \cdot 2} \sec (t))}{4}} \cdot \frac{\sqrt{5} \sec (t) \tan (t)}{4} d t$

Paso 2.2.8.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\int_{0.97759655}^{1.4305831} \frac{1}{\frac{\tan (t) (5^{\frac{2}{2}} \sec (t))}{4}} \cdot \frac{\sqrt{5} \sec (t) \tan (t)}{4} d t$

Paso 2.2.8.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.2.8.4.1

Cancela el factor común.

$\int_{0.97759655}^{1.4305831} \frac{1}{\frac{\tan (t) (5^{\frac{2}{2}} \sec (t))}{4}} \cdot \frac{\sqrt{5} \sec (t) \tan (t)}{4} d t$

Paso 2.2.8.4.2

Reescribe la expresión.

$\int_{0.97759655}^{1.4305831} \frac{1}{\frac{\tan (t) (5^{1} \sec (t))}{4}} \cdot \frac{\sqrt{5} \sec (t) \tan (t)}{4} d t$

Paso 2.2.8.5

Evalúa el exponente.

$\int_{0.97759655}^{1.4305831} \frac{1}{\frac{\tan (t) (5 \sec (t))}{4}} \cdot \frac{\sqrt{5} \sec (t) \tan (t)}{4} d t$

Paso 2.2.9

Mueve $5$ a la izquierda de $\tan (t)$ .

$\int_{0.97759655}^{1.4305831} \frac{1}{\frac{5 \cdot \tan (t) \sec (t)}{4}} \cdot \frac{\sqrt{5} \sec (t) \tan (t)}{4} d t$

Paso 2.2.10

Multiplica por la recíproca de la fracción para dividir por $\frac{5 \tan (t) \sec (t)}{4}$ .

$\int_{0.97759655}^{1.4305831} 1 \frac{4}{5 \tan (t) \sec (t)} \frac{\sqrt{5} \sec (t) \tan (t)}{4} d t$

Paso 2.2.11

Multiplica $\frac{4}{5 \tan (t) \sec (t)}$ por $1$ .

$\int_{0.97759655}^{1.4305831} \frac{4}{5 \tan (t) \sec (t)} \cdot \frac{\sqrt{5} \sec (t) \tan (t)}{4} d t$

Paso 2.2.12

Multiplica $\frac{4}{5 \tan (t) \sec (t)}$ por $\frac{\sqrt{5} \sec (t) \tan (t)}{4}$ .

$\int_{0.97759655}^{1.4305831} \frac{4 (\sqrt{5} \sec (t) \tan (t))}{5 \tan (t) \sec (t) \cdot 4} d t$

Paso 2.2.13

Multiplica $4$ por $5$ .

$\int_{0.97759655}^{1.4305831} \frac{4 (\sqrt{5} \sec (t) \tan (t))}{20 \tan (t) \sec (t)} d t$

Paso 2.2.14

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.2.14.1

Factoriza $4$ de $20 \tan (t) \sec (t)$ .

$\int_{0.97759655}^{1.4305831} \frac{4 (\sqrt{5} \sec (t) \tan (t))}{4 (5 \tan (t) \sec (t))} d t$

Paso 2.2.14.2

Cancela el factor común.

$\int_{0.97759655}^{1.4305831} \frac{4 (\sqrt{5} \sec (t) \tan (t))}{4 (5 \tan (t) \sec (t))} d t$

Paso 2.2.14.3

Reescribe la expresión.

$\int_{0.97759655}^{1.4305831} \frac{\sqrt{5} \sec (t) \tan (t)}{5 \tan (t) \sec (t)} d t$

Paso 2.2.15

Cancela el factor común de $\sec (t)$ .

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Paso 2.2.15.1

Cancela el factor común.

$\int_{0.97759655}^{1.4305831} \frac{\sqrt{5} \sec (t) \tan (t)}{5 \tan (t) \sec (t)} d t$

Paso 2.2.15.2

Reescribe la expresión.

$\int_{0.97759655}^{1.4305831} \frac{\sqrt{5} \tan (t)}{5 \tan (t)} d t$

Paso 2.2.16

Cancela el factor común de $\tan (t)$ .

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Paso 2.2.16.1

Cancela el factor común.

$\int_{0.97759655}^{1.4305831} \frac{\sqrt{5} \tan (t)}{5 \tan (t)} d t$

Paso 2.2.16.2

Reescribe la expresión.

$\int_{0.97759655}^{1.4305831} \frac{\sqrt{5}}{5} d t$

Paso 3

Aplica la regla de la constante.

$\frac{\sqrt{5}}{5} t]_{0.97759655}^{1.4305831}$

Paso 4

Sustituye y simplifica.

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Paso 4.1

Evalúa $\frac{\sqrt{5}}{5} t$ en $1.4305831$ y en $0.97759655$ .

$(\frac{\sqrt{5}}{5} \cdot 1.4305831) - \frac{\sqrt{5}}{5} \cdot 0.97759655$

Paso 4.2

Simplifica.

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Paso 4.2.1

Combina $\frac{\sqrt{5}}{5}$ y $1.4305831$ .

$\frac{\sqrt{5} \cdot 1.4305831}{5} - \frac{\sqrt{5}}{5} \cdot 0.97759655$

Paso 4.2.2

Multiplica $\sqrt{5}$ por $1.4305831$ .

$\frac{3.19888106}{5} - \frac{\sqrt{5}}{5} \cdot 0.97759655$

Paso 4.2.3

Multiplica $0.97759655$ por $- 1$ .

$\frac{3.19888106}{5} - 0.97759655 \frac{\sqrt{5}}{5}$

Paso 4.2.4

Combina $- 0.97759655$ y $\frac{\sqrt{5}}{5}$ .

$\frac{3.19888106}{5} + \frac{- 0.97759655 \sqrt{5}}{5}$

Paso 4.2.5

Multiplica $- 0.97759655$ por $\sqrt{5}$ .

$\frac{3.19888106}{5} + \frac{- 2.18597234}{5}$

Paso 4.2.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{3.19888106}{5} - \frac{2.18597234}{5}$

Paso 4.2.7

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{3.19888106 - 2.18597234}{5}$

Paso 4.2.8

Resta $2.18597234$ de $3.19888106$ .

$\frac{1.01290872}{5}$

Paso 5

Divide $1.01290872$ por $5$ .

$0.20258174$

Paso 6