Cálculo Ejemplos

$x - 4 y + x^{3} + 3 y^{3} = 0$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (x - 4 y + x^{3} + 3 y^{3}) = \frac{d}{d x} (0)$

Paso 2

Diferencia el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.1

Diferencia.

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Paso 2.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x - 4 y + x^{3} + 3 y^{3}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4 y] + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 y^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4 y] + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 y^{3}]$

Paso 2.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 4 y] + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 y^{3}]$

Paso 2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 4 y]$ .

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Paso 2.2.1

Como $- 4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 4 y$ con respecto a $x$ es $- 4 \frac{d}{d x} [y]$ .

$1 - 4 \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 y^{3}]$

Paso 2.2.2

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$1 - 4 y' + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 y^{3}]$

Paso 2.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$1 - 4 y' + 3 x^{2} + \frac{d}{d x} [3 y^{3}]$

Paso 2.4

Evalúa $\frac{d}{d x} [3 y^{3}]$ .

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Paso 2.4.1

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 y^{3}$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

$1 - 4 y' + 3 x^{2} + 3 \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Paso 2.4.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{3}$ y $g (x) = y$ .

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Paso 2.4.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $y$ .

$1 - 4 y' + 3 x^{2} + 3 (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y])$

Paso 2.4.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$1 - 4 y' + 3 x^{2} + 3 (3 u^{2} \frac{d}{d x} [y])$

Paso 2.4.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $y$ .

$1 - 4 y' + 3 x^{2} + 3 (3 y^{2} \frac{d}{d x} [y])$

Paso 2.4.3

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$1 - 4 y' + 3 x^{2} + 3 (3 y^{2} y')$

Paso 2.4.4

Multiplica $3$ por $3$ .

$1 - 4 y' + 3 x^{2} + 9 y^{2} y'$

Paso 2.5

Reordena los términos.

$3 x^{2} + 9 y^{2} y' + 1 - 4 y'$

Paso 3

Como $0$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $0$ con respecto a $x$ es $0$ .

$0$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$3 x^{2} + 9 y^{2} y' + 1 - 4 y' = 0$

Paso 5

Resuelve $y'$

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Paso 5.1

Mueve todos los términos que no contengan $y'$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 5.1.1

Resta $3 x^{2}$ de ambos lados de la ecuación.

$9 y^{2} y' + 1 - 4 y' = - 3 x^{2}$

Paso 5.1.2

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$9 y^{2} y' - 4 y' = - 3 x^{2} - 1$

Paso 5.2

Factoriza $y'$ de $9 y^{2} y' - 4 y'$ .

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Paso 5.2.1

Factoriza $y'$ de $9 y^{2} y'$ .

$y' (9 y^{2}) - 4 y' = - 3 x^{2} - 1$

Paso 5.2.2

Factoriza $y'$ de $- 4 y'$ .

$y' (9 y^{2}) + y' \cdot - 4 = - 3 x^{2} - 1$

Paso 5.2.3

Factoriza $y'$ de $y' (9 y^{2}) + y' \cdot - 4$ .

$y' (9 y^{2} - 4) = - 3 x^{2} - 1$

Paso 5.3

Reescribe $9 y^{2}$ como ${(3 y)}^{2}$ .

$y' ({(3 y)}^{2} - 4) = - 3 x^{2} - 1$

Paso 5.4

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$y' ({(3 y)}^{2} - 2^{2}) = - 3 x^{2} - 1$

Paso 5.5

Factoriza.

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Paso 5.5.1

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = 3 y$ y $b = 2$ .

$y' ((3 y + 2) (3 y - 2)) = - 3 x^{2} - 1$

Paso 5.5.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$y' (3 y + 2) (3 y - 2) = - 3 x^{2} - 1$

Paso 5.6

Divide cada término en $y' (3 y + 2) (3 y - 2) = - 3 x^{2} - 1$ por $(3 y + 2) (3 y - 2)$ y simplifica.

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Paso 5.6.1

Divide cada término en $y' (3 y + 2) (3 y - 2) = - 3 x^{2} - 1$ por $(3 y + 2) (3 y - 2)$ .

$\frac{y' (3 y + 2) (3 y - 2)}{(3 y + 2) (3 y - 2)} = \frac{- 3 x^{2}}{(3 y + 2) (3 y - 2)} + \frac{- 1}{(3 y + 2) (3 y - 2)}$

Paso 5.6.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.6.2.1

Cancela el factor común de $3 y + 2$ .

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Paso 5.6.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{y' (3 y + 2) (3 y - 2)}{(3 y + 2) (3 y - 2)} = \frac{- 3 x^{2}}{(3 y + 2) (3 y - 2)} + \frac{- 1}{(3 y + 2) (3 y - 2)}$

Paso 5.6.2.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{y' (3 y - 2)}{3 y - 2} = \frac{- 3 x^{2}}{(3 y + 2) (3 y - 2)} + \frac{- 1}{(3 y + 2) (3 y - 2)}$

Paso 5.6.2.2

Cancela el factor común de $3 y - 2$ .

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Paso 5.6.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{y' (3 y - 2)}{3 y - 2} = \frac{- 3 x^{2}}{(3 y + 2) (3 y - 2)} + \frac{- 1}{(3 y + 2) (3 y - 2)}$

Paso 5.6.2.2.2

Divide $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{- 3 x^{2}}{(3 y + 2) (3 y - 2)} + \frac{- 1}{(3 y + 2) (3 y - 2)}$

Paso 5.6.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.6.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.6.3.1.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y' = - \frac{3 x^{2}}{(3 y + 2) (3 y - 2)} + \frac{- 1}{(3 y + 2) (3 y - 2)}$

Paso 5.6.3.1.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y' = - \frac{3 x^{2}}{(3 y + 2) (3 y - 2)} - \frac{1}{(3 y + 2) (3 y - 2)}$

Paso 6

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{3 x^{2}}{(3 y + 2) (3 y - 2)} - \frac{1}{(3 y + 2) (3 y - 2)}$