Cálculo Ejemplos

$\int_{0}^{5} \sqrt{y + 4} d y$

Paso 1

Sea $u = y + 4$ . Entonces $d u = d y$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 1.1

Deja $u = y + 4$ . Obtén $\frac{d u}{d y}$ .

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Paso 1.1.1

Diferencia $y + 4$ .

$\frac{d}{d y} [y + 4]$

Paso 1.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $y + 4$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [4]$ .

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [4]$

Paso 1.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d y} [4]$

Paso 1.1.4

Como $4$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $4$ con respecto a $y$ es $0$ .

$1 + 0$

Paso 1.1.5

Suma $1$ y $0$ .

$1$

Paso 1.2

Sustituye el límite inferior por $y$ en $u = y + 4$ .

$u_{lower} = 0 + 4$

Paso 1.3

Suma $0$ y $4$ .

$u_{lower} = 4$

Paso 1.4

Sustituye el límite superior por $y$ en $u = y + 4$ .

$u_{upper} = 5 + 4$

Paso 1.5

Suma $5$ y $4$ .

$u_{upper} = 9$

Paso 1.6

Los valores obtenidos para $u_{lower}$ y $u_{upper}$ se usarán para evaluar la integral definida.

$u_{lower} = 4$

$u_{upper} = 9$

Paso 1.7

Reescribe el problema mediante $u$ , $d u$ y los nuevos límites de integración.

$\int_{4}^{9} \sqrt{u} d u$

Paso 2

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{u}$ como $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\int_{4}^{9} u^{\frac{1}{2}} d u$

Paso 3

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{\frac{1}{2}}$ con respecto a $u$ es $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{4}^{9}$

Paso 4

Simplifica la expresión.

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Paso 4.1

Evalúa $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ en $9$ y en $4$ .

$(\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}}$

Paso 4.2

Simplifica.

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Paso 4.2.1

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$\frac{2}{3} \cdot {(3^{2})}^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}}$

Paso 4.2.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2}{3} \cdot 3^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}}$

Paso 4.2.3

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.2.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{2}{3} \cdot 3^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}}$

Paso 4.2.3.2

Reescribe la expresión.

$\frac{2}{3} \cdot 3^{3} - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}}$

Paso 4.2.4

Eleva $3$ a la potencia de $3$ .

$\frac{2}{3} \cdot 27 - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}}$

Paso 4.3

Simplifica.

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Paso 4.3.1

Combina $\frac{2}{3}$ y $27$ .

$\frac{2 \cdot 27}{3} - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}}$

Paso 4.3.2

Multiplica $2$ por $27$ .

$\frac{54}{3} - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}}$

Paso 4.3.3

Cancela el factor común de $54$ y $3$ .

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Paso 4.3.3.1

Factoriza $3$ de $54$ .

$\frac{3 \cdot 18}{3} - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}}$

Paso 4.3.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 4.3.3.2.1

Factoriza $3$ de $3$ .

$\frac{3 \cdot 18}{3 (1)} - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}}$

Paso 4.3.3.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{3 \cdot 18}{3 \cdot 1} - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}}$

Paso 4.3.3.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{18}{1} - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}}$

Paso 4.3.3.2.4

Divide $18$ por $1$ .

$18 - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}}$

Paso 4.4

Simplifica.

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Paso 4.4.1

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$18 - \frac{2}{3} \cdot {(2^{2})}^{\frac{3}{2}}$

Paso 4.4.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$18 - \frac{2}{3} \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})}$

Paso 4.4.3

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.4.3.1

Cancela el factor común.

$18 - \frac{2}{3} \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})}$

Paso 4.4.3.2

Reescribe la expresión.

$18 - \frac{2}{3} \cdot 2^{3}$

Paso 4.4.4

Eleva $2$ a la potencia de $3$ .

$18 - \frac{2}{3} \cdot 8$

Paso 4.5

Simplifica.

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Paso 4.5.1

Multiplica $8$ por $- 1$ .

$18 - 8 (\frac{2}{3})$

Paso 4.5.2

Combina $- 8$ y $\frac{2}{3}$ .

$18 + \frac{- 8 \cdot 2}{3}$

Paso 4.5.3

Multiplica $- 8$ por $2$ .

$18 + \frac{- 16}{3}$

Paso 4.5.4

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$18 - \frac{16}{3}$

Paso 4.6

Simplifica.

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Paso 4.6.1

Para escribir $18$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$18 \cdot \frac{3}{3} - \frac{16}{3}$

Paso 4.6.2

Combina $18$ y $\frac{3}{3}$ .

$\frac{18 \cdot 3}{3} - \frac{16}{3}$

Paso 4.6.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{18 \cdot 3 - 16}{3}$

Paso 4.6.4

Simplifica el numerador.

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Paso 4.6.4.1

Multiplica $18$ por $3$ .

$\frac{54 - 16}{3}$

Paso 4.6.4.2

Resta $16$ de $54$ .

$\frac{38}{3}$

Paso 5

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{38}{3}$

Forma decimal:

$12.\overline{6}$

Forma de número mixto:

$12 \frac{2}{3}$