Cálculo Ejemplos

$\frac{2}{15} x^{6} - 3 x^{4}$

Paso 1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $\frac{2}{15} x^{6} - 3 x^{4}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [\frac{2}{15} x^{6}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{4}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{2}{15} x^{6}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{4}]$

Paso 1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [\frac{2}{15} x^{6}]$ .

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Paso 1.2.1

Como $\frac{2}{15}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{2}{15} x^{6}$ con respecto a $x$ es $\frac{2}{15} \frac{d}{d x} [x^{6}]$ .

$\frac{2}{15} \frac{d}{d x} [x^{6}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{4}]$

Paso 1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 6$ .

$\frac{2}{15} (6 x^{5}) + \frac{d}{d x} [- 3 x^{4}]$

Paso 1.2.3

Combina $6$ y $\frac{2}{15}$ .

$\frac{6 \cdot 2}{15} x^{5} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{4}]$

Paso 1.2.4

Multiplica $6$ por $2$ .

$\frac{12}{15} x^{5} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{4}]$

Paso 1.2.5

Combina $\frac{12}{15}$ y $x^{5}$ .

$\frac{12 x^{5}}{15} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{4}]$

Paso 1.2.6

Cancela el factor común de $12$ y $15$ .

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Paso 1.2.6.1

Factoriza $3$ de $12 x^{5}$ .

$\frac{3 (4 x^{5})}{15} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{4}]$

Paso 1.2.6.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.2.6.2.1

Factoriza $3$ de $15$ .

$\frac{3 (4 x^{5})}{3 (5)} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{4}]$

Paso 1.2.6.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{3 (4 x^{5})}{3 \cdot 5} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{4}]$

Paso 1.2.6.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{4 x^{5}}{5} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{4}]$

Paso 1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 3 x^{4}]$ .

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Paso 1.3.1

Como $- 3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 3 x^{4}$ con respecto a $x$ es $- 3 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$\frac{4 x^{5}}{5} - 3 \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Paso 1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$\frac{4 x^{5}}{5} - 3 (4 x^{3})$

Paso 1.3.3

Multiplica $4$ por $- 3$ .

$f' (x) = \frac{4 x^{5}}{5} - 12 x^{3}$

Paso 2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $\frac{4 x^{5}}{5} - 12 x^{3}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [\frac{4 x^{5}}{5}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{4 x^{5}}{5}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{3}]$

Paso 2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [\frac{4 x^{5}}{5}]$ .

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Paso 2.2.1

Como $\frac{4}{5}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{4 x^{5}}{5}$ con respecto a $x$ es $\frac{4}{5} \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$\frac{4}{5} \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{3}]$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 5$ .

$\frac{4}{5} (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [- 12 x^{3}]$

Paso 2.2.3

Combina $5$ y $\frac{4}{5}$ .

$\frac{5 \cdot 4}{5} x^{4} + \frac{d}{d x} [- 12 x^{3}]$

Paso 2.2.4

Multiplica $5$ por $4$ .

$\frac{20}{5} x^{4} + \frac{d}{d x} [- 12 x^{3}]$

Paso 2.2.5

Combina $\frac{20}{5}$ y $x^{4}$ .

$\frac{20 x^{4}}{5} + \frac{d}{d x} [- 12 x^{3}]$

Paso 2.2.6

Cancela el factor común de $20$ y $5$ .

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Paso 2.2.6.1

Factoriza $5$ de $20 x^{4}$ .

$\frac{5 (4 x^{4})}{5} + \frac{d}{d x} [- 12 x^{3}]$

Paso 2.2.6.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.2.6.2.1

Factoriza $5$ de $5$ .

$\frac{5 (4 x^{4})}{5 (1)} + \frac{d}{d x} [- 12 x^{3}]$

Paso 2.2.6.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{5 (4 x^{4})}{5 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [- 12 x^{3}]$

Paso 2.2.6.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{4 x^{4}}{1} + \frac{d}{d x} [- 12 x^{3}]$

Paso 2.2.6.2.4

Divide $4 x^{4}$ por $1$ .

$4 x^{4} + \frac{d}{d x} [- 12 x^{3}]$

Paso 2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 12 x^{3}]$ .

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Paso 2.3.1

Como $- 12$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 12 x^{3}$ con respecto a $x$ es $- 12 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$4 x^{4} - 12 \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Paso 2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$4 x^{4} - 12 (3 x^{2})$

Paso 2.3.3

Multiplica $3$ por $- 12$ .

$f'' (x) = 4 x^{4} - 36 x^{2}$