Cálculo Ejemplos

$f (x) = - x^{4} + 3 x^{2} + 2 x$

Paso 1

Obtén la primera derivada de la función.

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Paso 1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $- x^{4} + 3 x^{2} + 2 x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [- x^{4}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x]$ .

$\frac{d}{d x} [- x^{4}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x]$

Paso 1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [- x^{4}]$ .

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Paso 1.2.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x^{4}$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$- \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x]$

Paso 1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$- (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x]$

Paso 1.2.3

Multiplica $4$ por $- 1$ .

$- 4 x^{3} + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x]$

Paso 1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

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Paso 1.3.1

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x^{2}$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- 4 x^{3} + 3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x]$

Paso 1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$- 4 x^{3} + 3 (2 x) + \frac{d}{d x} [2 x]$

Paso 1.3.3

Multiplica $2$ por $3$ .

$- 4 x^{3} + 6 x + \frac{d}{d x} [2 x]$

Paso 1.4

Evalúa $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Paso 1.4.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 4 x^{3} + 6 x + 2 \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- 4 x^{3} + 6 x + 2 \cdot 1$

Paso 1.4.3

Multiplica $2$ por $1$ .

$- 4 x^{3} + 6 x + 2$

Paso 2

Obtén la segunda derivada de la función.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $- 4 x^{3} + 6 x + 2$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- 4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (6 x) + \frac{d}{d x} (2)$

Paso 2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$ .

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Paso 2.2.1

Como $- 4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 4 x^{3}$ con respecto a $x$ es $- 4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{d}{d x} x^{3} + \frac{d}{d x} (6 x) + \frac{d}{d x} (2)$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$f'' (x) = - 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (6 x) + \frac{d}{d x} (2)$

Paso 2.2.3

Multiplica $3$ por $- 4$ .

$f'' (x) = - 12 x^{2} + \frac{d}{d x} (6 x) + \frac{d}{d x} (2)$

Paso 2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [6 x]$ .

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Paso 2.3.1

Como $6$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $6 x$ con respecto a $x$ es $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - 12 x^{2} + 6 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (2)$

Paso 2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f'' (x) = - 12 x^{2} + 6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (2)$

Paso 2.3.3

Multiplica $6$ por $1$ .

$f'' (x) = - 12 x^{2} + 6 + \frac{d}{d x} (2)$

Paso 2.4

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 2.4.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f'' (x) = - 12 x^{2} + 6 + 0$

Paso 2.4.2

Suma $- 12 x^{2} + 6$ y $0$ .

$f'' (x) = - 12 x^{2} + 6$

Paso 3

Para obtener los valores mínimo y máximo locales de la función, establece la derivada igual a $0$ y resuelve.

$- 4 x^{3} + 6 x + 2 = 0$

Paso 4

Obtén la primera derivada.

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Paso 4.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 4.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $- x^{4} + 3 x^{2} + 2 x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [- x^{4}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x]$ .

$\frac{d}{d x} [- x^{4}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x]$

Paso 4.1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [- x^{4}]$ .

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Paso 4.1.2.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x^{4}$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$- \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x]$

Paso 4.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$- (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x]$

Paso 4.1.2.3

Multiplica $4$ por $- 1$ .

$- 4 x^{3} + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x]$

Paso 4.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

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Paso 4.1.3.1

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x^{2}$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- 4 x^{3} + 3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x]$

Paso 4.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$- 4 x^{3} + 3 (2 x) + \frac{d}{d x} [2 x]$

Paso 4.1.3.3

Multiplica $2$ por $3$ .

$- 4 x^{3} + 6 x + \frac{d}{d x} [2 x]$

Paso 4.1.4

Evalúa $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Paso 4.1.4.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 4 x^{3} + 6 x + 2 \frac{d}{d x} [x]$

Paso 4.1.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- 4 x^{3} + 6 x + 2 \cdot 1$

Paso 4.1.4.3

Multiplica $2$ por $1$ .

$f' (x) = - 4 x^{3} + 6 x + 2$

Paso 4.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $- 4 x^{3} + 6 x + 2$ .

$- 4 x^{3} + 6 x + 2$

Paso 5

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $- 4 x^{3} + 6 x + 2 = 0$ .

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Paso 5.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$- 4 x^{3} + 6 x + 2 = 0$

Paso 5.2

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 5.2.1

Factoriza $- 2$ de $- 4 x^{3} + 6 x + 2$ .

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Paso 5.2.1.1

Factoriza $- 2$ de $- 4 x^{3}$ .

$- 2 (2 x^{3}) + 6 x + 2 = 0$

Paso 5.2.1.2

Factoriza $- 2$ de $6 x$ .

$- 2 (2 x^{3}) - 2 (- 3 x) + 2 = 0$

Paso 5.2.1.3

Factoriza $- 2$ de $2$ .

$- 2 (2 x^{3}) - 2 (- 3 x) - 2 \cdot - 1 = 0$

Paso 5.2.1.4

Factoriza $- 2$ de $- 2 (2 x^{3}) - 2 (- 3 x)$ .

$- 2 (2 x^{3} - 3 x) - 2 \cdot - 1 = 0$

Paso 5.2.1.5

Factoriza $- 2$ de $- 2 (2 x^{3} - 3 x) - 2 (- 1)$ .

$- 2 (2 x^{3} - 3 x - 1) = 0$

Paso 5.2.2

Factoriza.

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Paso 5.2.2.1

Factoriza $2 x^{3} - 3 x - 1$ mediante la prueba de raíces racionales.

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Paso 5.2.2.1.1

Si una función polinomial tiene coeficientes enteros, entonces todo cero racional tendrá la forma $\frac{p}{q}$ , donde $p$ es un factor de la constante y $q$ es un factor del coeficiente principal.

$p = \pm 1$

$q = \pm 1, \pm 2$

Paso 5.2.2.1.2

Obtén todas las combinaciones de $\pm \frac{p}{q}$ . Estas son las posibles raíces de la función polinomial.

$\pm 1, \pm 0.5$

Paso 5.2.2.1.3

Sustituye $- 1$ y simplifica la expresión. En este caso, la expresión es igual a $0$ , por lo que $- 1$ es una raíz del polinomio.

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Paso 5.2.2.1.3.1

Sustituye $- 1$ en el polinomio.

$2 {(- 1)}^{3} - 3 \cdot - 1 - 1$

Paso 5.2.2.1.3.2

Eleva $- 1$ a la potencia de $3$ .

$2 \cdot - 1 - 3 \cdot - 1 - 1$

Paso 5.2.2.1.3.3

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$- 2 - 3 \cdot - 1 - 1$

Paso 5.2.2.1.3.4

Multiplica $- 3$ por $- 1$ .

$- 2 + 3 - 1$

Paso 5.2.2.1.3.5

Suma $- 2$ y $3$ .

$1 - 1$

Paso 5.2.2.1.3.6

Resta $1$ de $1$ .

$0$

Paso 5.2.2.1.4

Como $- 1$ es una raíz conocida, divide el polinomio por $x + 1$ para obtener el polinomio del cociente. Este polinomio luego se puede usar para obtener las raíces restantes.

$\frac{2 x^{3} - 3 x - 1}{x + 1}$

Paso 5.2.2.1.5

Divide $2 x^{3} - 3 x - 1$ por $x + 1$ .

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Paso 5.2.2.1.5.1

Establece los polinomios que se dividirán. Si no hay un término para cada exponente, inserta uno con un valor de $0$ .

$x$

$1$

$2 x^{3}$

$0 x^{2}$

$3 x$

$1$

Paso 5.2.2.1.5.2

Divide el término de mayor orden en el dividendo $2 x^{3}$ por el término de mayor orden en el divisor $x$ .

					$2 x^{2}$
	$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	-	$1$

Paso 5.2.2.1.5.3

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$2 x^{2}$
$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	-	$1$
			+	$2 x^{3}$	+	$2 x^{2}$

Paso 5.2.2.1.5.4

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $2 x^{3} + 2 x^{2}$ .

				$2 x^{2}$
$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	-	$1$
			-	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$

Paso 5.2.2.1.5.5

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$2 x^{2}$
$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	-	$1$
			-	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$

Paso 5.2.2.1.5.6

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

				$2 x^{2}$
$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	-	$1$
			-	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$3 x$

Paso 5.2.2.1.5.7

Divide el término de mayor orden en el dividendo $- 2 x^{2}$ por el término de mayor orden en el divisor $x$ .

				$2 x^{2}$	-	$2 x$
$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	-	$1$
			-	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$3 x$

Paso 5.2.2.1.5.8

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$2 x^{2}$	-	$2 x$
$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	-	$1$
			-	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$3 x$
					-	$2 x^{2}$	-	$2 x$

Paso 5.2.2.1.5.9

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $- 2 x^{2} - 2 x$ .

				$2 x^{2}$	-	$2 x$
$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	-	$1$
			-	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$3 x$
					+	$2 x^{2}$	+	$2 x$

Paso 5.2.2.1.5.10

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$2 x^{2}$	-	$2 x$
$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	-	$1$
			-	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$3 x$
					+	$2 x^{2}$	+	$2 x$
							-	$x$

Paso 5.2.2.1.5.11

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

				$2 x^{2}$	-	$2 x$
$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	-	$1$
			-	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$3 x$
					+	$2 x^{2}$	+	$2 x$
							-	$x$	-	$1$

Paso 5.2.2.1.5.12

Divide el término de mayor orden en el dividendo $- x$ por el término de mayor orden en el divisor $x$ .

				$2 x^{2}$	-	$2 x$	-	$1$
$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	-	$1$
			-	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$3 x$
					+	$2 x^{2}$	+	$2 x$
							-	$x$	-	$1$

Paso 5.2.2.1.5.13

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$2 x^{2}$	-	$2 x$	-	$1$
$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	-	$1$
			-	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$3 x$
					+	$2 x^{2}$	+	$2 x$
							-	$x$	-	$1$
							-	$x$	-	$1$

Paso 5.2.2.1.5.14

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $- x - 1$ .

				$2 x^{2}$	-	$2 x$	-	$1$
$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	-	$1$
			-	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$3 x$
					+	$2 x^{2}$	+	$2 x$
							-	$x$	-	$1$
							+	$x$	+	$1$

Paso 5.2.2.1.5.15

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$2 x^{2}$	-	$2 x$	-	$1$
$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	-	$1$
			-	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$3 x$
					+	$2 x^{2}$	+	$2 x$
							-	$x$	-	$1$
							+	$x$	+	$1$
										$0$

Paso 5.2.2.1.5.16

Como el resto es $0$ , la respuesta final es el cociente.

$2 x^{2} - 2 x - 1$

Paso 5.2.2.1.6

Escribe $2 x^{3} - 3 x - 1$ como un conjunto de factores.

$- 2 ((x + 1) (2 x^{2} - 2 x - 1)) = 0$

Paso 5.2.2.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$- 2 (x + 1) (2 x^{2} - 2 x - 1) = 0$

Paso 5.3

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x + 1 = 0$

$2 x^{2} - 2 x - 1 = 0$

Paso 5.4

Establece $x + 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 5.4.1

Establece $x + 1$ igual a $0$ .

$x + 1 = 0$

Paso 5.4.2

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 1$

Paso 5.5

Establece $2 x^{2} - 2 x - 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 5.5.1

Establece $2 x^{2} - 2 x - 1$ igual a $0$ .

$2 x^{2} - 2 x - 1 = 0$

Paso 5.5.2

Resuelve $2 x^{2} - 2 x - 1 = 0$ en $x$ .

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Paso 5.5.2.1

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 5.5.2.2

Sustituye los valores $a = 2$ , $b = - 2$ y $c = - 1$ en la fórmula cuadrática y resuelve $x$ .

$\frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (2 \cdot - 1)}}{2 \cdot 2}$

Paso 5.5.2.3

Simplifica.

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Paso 5.5.2.3.1

Simplifica el numerador.

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Paso 5.5.2.3.1.1

Eleva $- 2$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 2 \cdot - 1}}{2 \cdot 2}$

Paso 5.5.2.3.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 2 \cdot - 1$ .

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Paso 5.5.2.3.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 8 \cdot - 1}}{2 \cdot 2}$

Paso 5.5.2.3.1.2.2

Multiplica $- 8$ por $- 1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 8}}{2 \cdot 2}$

Paso 5.5.2.3.1.3

Suma $4$ y $8$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{12}}{2 \cdot 2}$

Paso 5.5.2.3.1.4

Reescribe $12$ como $2^{2} \cdot 3$ .

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Paso 5.5.2.3.1.4.1

Factoriza $4$ de $12$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 2}$

Paso 5.5.2.3.1.4.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 2}$

Paso 5.5.2.3.1.5

Retira los términos de abajo del radical.

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{3}}{2 \cdot 2}$

Paso 5.5.2.3.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{3}}{4}$

Paso 5.5.2.3.3

Simplifica $\frac{2 \pm 2 \sqrt{3}}{4}$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{3}}{2}$

Paso 5.5.2.4

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $+$ de $\pm$ .

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Paso 5.5.2.4.1

Simplifica el numerador.

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Paso 5.5.2.4.1.1

Eleva $- 2$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 2 \cdot - 1}}{2 \cdot 2}$

Paso 5.5.2.4.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 2 \cdot - 1$ .

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Paso 5.5.2.4.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 8 \cdot - 1}}{2 \cdot 2}$

Paso 5.5.2.4.1.2.2

Multiplica $- 8$ por $- 1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 8}}{2 \cdot 2}$

Paso 5.5.2.4.1.3

Suma $4$ y $8$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{12}}{2 \cdot 2}$

Paso 5.5.2.4.1.4

Reescribe $12$ como $2^{2} \cdot 3$ .

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Paso 5.5.2.4.1.4.1

Factoriza $4$ de $12$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 2}$

Paso 5.5.2.4.1.4.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 2}$

Paso 5.5.2.4.1.5

Retira los términos de abajo del radical.

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{3}}{2 \cdot 2}$

Paso 5.5.2.4.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{3}}{4}$

Paso 5.5.2.4.3

Simplifica $\frac{2 \pm 2 \sqrt{3}}{4}$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{3}}{2}$

Paso 5.5.2.4.4

Cambia $\pm$ a $+$ .

$x = \frac{1 + \sqrt{3}}{2}$

Paso 5.5.2.5

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $-$ de $\pm$ .

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Paso 5.5.2.5.1

Simplifica el numerador.

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Paso 5.5.2.5.1.1

Eleva $- 2$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 2 \cdot - 1}}{2 \cdot 2}$

Paso 5.5.2.5.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 2 \cdot - 1$ .

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Paso 5.5.2.5.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 8 \cdot - 1}}{2 \cdot 2}$

Paso 5.5.2.5.1.2.2

Multiplica $- 8$ por $- 1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 8}}{2 \cdot 2}$

Paso 5.5.2.5.1.3

Suma $4$ y $8$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{12}}{2 \cdot 2}$

Paso 5.5.2.5.1.4

Reescribe $12$ como $2^{2} \cdot 3$ .

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Paso 5.5.2.5.1.4.1

Factoriza $4$ de $12$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 2}$

Paso 5.5.2.5.1.4.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 2}$

Paso 5.5.2.5.1.5

Retira los términos de abajo del radical.

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{3}}{2 \cdot 2}$

Paso 5.5.2.5.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{3}}{4}$

Paso 5.5.2.5.3

Simplifica $\frac{2 \pm 2 \sqrt{3}}{4}$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{3}}{2}$

Paso 5.5.2.5.4

Cambia $\pm$ a $-$ .

$x = \frac{1 - \sqrt{3}}{2}$

Paso 5.5.2.6

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$x = \frac{1 + \sqrt{3}}{2}, \frac{1 - \sqrt{3}}{2}$

Paso 5.6

La solución final comprende todos los valores que hacen $- 2 (x + 1) (2 x^{2} - 2 x - 1) = 0$ verdadera.

$x = - 1, \frac{1 + \sqrt{3}}{2}, \frac{1 - \sqrt{3}}{2}$

Paso 6

Obtén los valores en el lugar donde la derivada es indefinida.

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Paso 6.1

El dominio de la expresión son todos números reales, excepto cuando la expresión no está definida. En ese caso, no hay ningún número real que haga que la expresión sea indefinida.

Paso 7

Puntos críticos para evaluar.

$x = - 1, \frac{1 + \sqrt{3}}{2}, \frac{1 - \sqrt{3}}{2}$

Paso 8

Evalúa la segunda derivada en $x = - 1$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.

$- 12 {(- 1)}^{2} + 6$

Paso 9

Evalúa la segunda derivada.

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Paso 9.1

Simplifica cada término.

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Paso 9.1.1

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$- 12 \cdot 1 + 6$

Paso 9.1.2

Multiplica $- 12$ por $1$ .

$- 12 + 6$

Paso 9.2

Suma $- 12$ y $6$ .

$- 6$

Paso 10

$x = - 1$ es un máximo local porque el valor de la segunda derivada es negativo. Esto se conoce como prueba de la segunda derivada

$x = - 1$ es un máximo local

Paso 11

Obtén el valor de y cuando $x = - 1$ .

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Paso 11.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 1$ en la expresión.

$f (- 1) = - {(- 1)}^{4} + 3 {(- 1)}^{2} + 2 (- 1)$

Paso 11.2

Simplifica el resultado.

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Paso 11.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 11.2.1.1

Multiplica $- 1$ por ${(- 1)}^{4}$ sumando los exponentes.

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Paso 11.2.1.1.1

Multiplica $- 1$ por ${(- 1)}^{4}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 11.2.1.1.1.1

Eleva $- 1$ a la potencia de $1$ .

$f (- 1) = (- 1) {(- 1)}^{4} + 3 {(- 1)}^{2} + 2 (- 1)$

Paso 11.2.1.1.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f (- 1) = {(- 1)}^{1 + 4} + 3 {(- 1)}^{2} + 2 (- 1)$

Paso 11.2.1.1.2

Suma $1$ y $4$ .

$f (- 1) = {(- 1)}^{5} + 3 {(- 1)}^{2} + 2 (- 1)$

Paso 11.2.1.2

Eleva $- 1$ a la potencia de $5$ .

$f (- 1) = - 1 + 3 {(- 1)}^{2} + 2 (- 1)$

Paso 11.2.1.3

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$f (- 1) = - 1 + 3 \cdot 1 + 2 (- 1)$

Paso 11.2.1.4

Multiplica $3$ por $1$ .

$f (- 1) = - 1 + 3 + 2 (- 1)$

Paso 11.2.1.5

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$f (- 1) = - 1 + 3 - 2$

Paso 11.2.2

Simplifica mediante suma y resta.

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Paso 11.2.2.1

Suma $- 1$ y $3$ .

$f (- 1) = 2 - 2$

Paso 11.2.2.2

Resta $2$ de $2$ .

$f (- 1) = 0$

Paso 11.2.3

La respuesta final es $0$ .

$y = 0$

Paso 12

Evalúa la segunda derivada en $x = \frac{1 + \sqrt{3}}{2}$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.

$- 12 {(\frac{1 + \sqrt{3}}{2})}^{2} + 6$

Paso 13

Evalúa la segunda derivada.

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Paso 13.1

Simplifica cada término.

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Paso 13.1.1

Aplica la regla del producto a $\frac{1 + \sqrt{3}}{2}$ .

$- 12 \frac{{(1 + \sqrt{3})}^{2}}{2^{2}} + 6$

Paso 13.1.2

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$- 12 \frac{{(1 + \sqrt{3})}^{2}}{4} + 6$

Paso 13.1.3

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 13.1.3.1

Factoriza $4$ de $- 12$ .

$4 (- 3) \frac{{(1 + \sqrt{3})}^{2}}{4} + 6$

Paso 13.1.3.2

Cancela el factor común.

$4 \cdot - 3 \frac{{(1 + \sqrt{3})}^{2}}{4} + 6$

Paso 13.1.3.3

Reescribe la expresión.

$- 3 {(1 + \sqrt{3})}^{2} + 6$

Paso 13.1.4

Reescribe ${(1 + \sqrt{3})}^{2}$ como $(1 + \sqrt{3}) (1 + \sqrt{3})$ .

$- 3 ((1 + \sqrt{3}) (1 + \sqrt{3})) + 6$

Paso 13.1.5

Expande $(1 + \sqrt{3}) (1 + \sqrt{3})$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 13.1.5.1

Aplica la propiedad distributiva.

$- 3 (1 (1 + \sqrt{3}) + \sqrt{3} (1 + \sqrt{3})) + 6$

Paso 13.1.5.2

Aplica la propiedad distributiva.

$- 3 (1 \cdot 1 + 1 \sqrt{3} + \sqrt{3} (1 + \sqrt{3})) + 6$

Paso 13.1.5.3

Aplica la propiedad distributiva.

$- 3 (1 \cdot 1 + 1 \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 1 + \sqrt{3} \sqrt{3}) + 6$

Paso 13.1.6

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 13.1.6.1

Simplifica cada término.

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Paso 13.1.6.1.1

Multiplica $1$ por $1$ .

$- 3 (1 + 1 \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 1 + \sqrt{3} \sqrt{3}) + 6$

Paso 13.1.6.1.2

Multiplica $\sqrt{3}$ por $1$ .

$- 3 (1 + \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 1 + \sqrt{3} \sqrt{3}) + 6$

Paso 13.1.6.1.3

Multiplica $\sqrt{3}$ por $1$ .

$- 3 (1 + \sqrt{3} + \sqrt{3} + \sqrt{3} \sqrt{3}) + 6$

Paso 13.1.6.1.4

Combina con la regla del producto para radicales.

$- 3 (1 + \sqrt{3} + \sqrt{3} + \sqrt{3 \cdot 3}) + 6$

Paso 13.1.6.1.5

Multiplica $3$ por $3$ .

$- 3 (1 + \sqrt{3} + \sqrt{3} + \sqrt{9}) + 6$

Paso 13.1.6.1.6

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$- 3 (1 + \sqrt{3} + \sqrt{3} + \sqrt{3^{2}}) + 6$

Paso 13.1.6.1.7

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$- 3 (1 + \sqrt{3} + \sqrt{3} + 3) + 6$

Paso 13.1.6.2

Suma $1$ y $3$ .

$- 3 (4 + \sqrt{3} + \sqrt{3}) + 6$

Paso 13.1.6.3

Suma $\sqrt{3}$ y $\sqrt{3}$ .

$- 3 (4 + 2 \sqrt{3}) + 6$

Paso 13.1.7

Aplica la propiedad distributiva.

$- 3 \cdot 4 - 3 (2 \sqrt{3}) + 6$

Paso 13.1.8

Multiplica $- 3$ por $4$ .

$- 12 - 3 (2 \sqrt{3}) + 6$

Paso 13.1.9

Multiplica $2$ por $- 3$ .

$- 12 - 6 \sqrt{3} + 6$

Paso 13.2

Suma $- 12$ y $6$ .

$- 6 - 6 \sqrt{3}$

Paso 14

$x = \frac{1 + \sqrt{3}}{2}$ es un máximo local porque el valor de la segunda derivada es negativo. Esto se conoce como prueba de la segunda derivada

$x = \frac{1 + \sqrt{3}}{2}$ es un máximo local

Paso 15

Obtén el valor de y cuando $x = \frac{1 + \sqrt{3}}{2}$ .

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Paso 15.1

Reemplaza la variable $x$ con $\frac{1 + \sqrt{3}}{2}$ en la expresión.

$f (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = - {(\frac{1 + \sqrt{3}}{2})}^{4} + 3 {(\frac{1 + \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (\frac{1 + \sqrt{3}}{2})$

Paso 15.2

Simplifica el resultado.

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Paso 15.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 15.2.1.1

Aplica la regla del producto a $\frac{1 + \sqrt{3}}{2}$ .

$f (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = - \frac{{(1 + \sqrt{3})}^{4}}{2^{4}} + 3 {(\frac{1 + \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (\frac{1 + \sqrt{3}}{2})$

Paso 15.2.1.2

Eleva $2$ a la potencia de $4$ .

$f (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = - \frac{{(1 + \sqrt{3})}^{4}}{16} + 3 {(\frac{1 + \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (\frac{1 + \sqrt{3}}{2})$

Paso 15.2.1.3

Usa el teorema del binomio.

$f (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = - \frac{1^{4} + 4 \cdot (1^{3} \sqrt{3}) + 6 \cdot (1^{2} {\sqrt{3}}^{2}) + 4 \cdot (1 {\sqrt{3}}^{3}) + {\sqrt{3}}^{4}}{16} + 3 {(\frac{1 + \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (\frac{1 + \sqrt{3}}{2})$

Paso 15.2.1.4

Simplifica cada término.

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Paso 15.2.1.4.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$f (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = - \frac{1 + 4 \cdot (1^{3} \sqrt{3}) + 6 \cdot (1^{2} {\sqrt{3}}^{2}) + 4 \cdot (1 {\sqrt{3}}^{3}) + {\sqrt{3}}^{4}}{16} + 3 {(\frac{1 + \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (\frac{1 + \sqrt{3}}{2})$

Paso 15.2.1.4.2

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$f (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = - \frac{1 + 4 \cdot (1 \sqrt{3}) + 6 \cdot (1^{2} {\sqrt{3}}^{2}) + 4 \cdot (1 {\sqrt{3}}^{3}) + {\sqrt{3}}^{4}}{16} + 3 {(\frac{1 + \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (\frac{1 + \sqrt{3}}{2})$

Paso 15.2.1.4.3

Multiplica $4$ por $1$ .

$f (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = - \frac{1 + 4 \sqrt{3} + 6 \cdot (1^{2} {\sqrt{3}}^{2}) + 4 \cdot (1 {\sqrt{3}}^{3}) + {\sqrt{3}}^{4}}{16} + 3 {(\frac{1 + \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (\frac{1 + \sqrt{3}}{2})$

Paso 15.2.1.4.4

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$f (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = - \frac{1 + 4 \sqrt{3} + 6 \cdot (1 {\sqrt{3}}^{2}) + 4 \cdot (1 {\sqrt{3}}^{3}) + {\sqrt{3}}^{4}}{16} + 3 {(\frac{1 + \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (\frac{1 + \sqrt{3}}{2})$

Paso 15.2.1.4.5

Multiplica $6$ por $1$ .

$f (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = - \frac{1 + 4 \sqrt{3} + 6 {\sqrt{3}}^{2} + 4 \cdot (1 {\sqrt{3}}^{3}) + {\sqrt{3}}^{4}}{16} + 3 {(\frac{1 + \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (\frac{1 + \sqrt{3}}{2})$

Paso 15.2.1.4.6

Reescribe ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

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Paso 15.2.1.4.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = - \frac{1 + 4 \sqrt{3} + 6 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2} + 4 \cdot (1 {\sqrt{3}}^{3}) + {\sqrt{3}}^{4}}{16} + 3 {(\frac{1 + \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (\frac{1 + \sqrt{3}}{2})$

Paso 15.2.1.4.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = - \frac{1 + 4 \sqrt{3} + 6 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 4 \cdot (1 {\sqrt{3}}^{3}) + {\sqrt{3}}^{4}}{16} + 3 {(\frac{1 + \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (\frac{1 + \sqrt{3}}{2})$

Paso 15.2.1.4.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$f (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = - \frac{1 + 4 \sqrt{3} + 6 \cdot 3^{\frac{2}{2}} + 4 \cdot (1 {\sqrt{3}}^{3}) + {\sqrt{3}}^{4}}{16} + 3 {(\frac{1 + \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (\frac{1 + \sqrt{3}}{2})$

Paso 15.2.1.4.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 15.2.1.4.6.4.1

Cancela el factor común.

$f (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = - \frac{1 + 4 \sqrt{3} + 6 \cdot 3^{\frac{2}{2}} + 4 \cdot (1 {\sqrt{3}}^{3}) + {\sqrt{3}}^{4}}{16} + 3 {(\frac{1 + \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (\frac{1 + \sqrt{3}}{2})$

Paso 15.2.1.4.6.4.2

Reescribe la expresión.

$f (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = - \frac{1 + 4 \sqrt{3} + 6 \cdot 3 + 4 \cdot (1 {\sqrt{3}}^{3}) + {\sqrt{3}}^{4}}{16} + 3 {(\frac{1 + \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (\frac{1 + \sqrt{3}}{2})$

Paso 15.2.1.4.6.5

Evalúa el exponente.

$f (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = - \frac{1 + 4 \sqrt{3} + 6 \cdot 3 + 4 \cdot (1 {\sqrt{3}}^{3}) + {\sqrt{3}}^{4}}{16} + 3 {(\frac{1 + \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (\frac{1 + \sqrt{3}}{2})$

Paso 15.2.1.4.7

Multiplica $6$ por $3$ .

$f (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = - \frac{1 + 4 \sqrt{3} + 18 + 4 \cdot (1 {\sqrt{3}}^{3}) + {\sqrt{3}}^{4}}{16} + 3 {(\frac{1 + \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (\frac{1 + \sqrt{3}}{2})$

Paso 15.2.1.4.8

Multiplica $4$ por $1$ .

$f (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = - \frac{1 + 4 \sqrt{3} + 18 + 4 {\sqrt{3}}^{3} + {\sqrt{3}}^{4}}{16} + 3 {(\frac{1 + \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (\frac{1 + \sqrt{3}}{2})$

Paso 15.2.1.4.9

Reescribe ${\sqrt{3}}^{3}$ como $\sqrt{3^{3}}$ .

$f (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = - \frac{1 + 4 \sqrt{3} + 18 + 4 \sqrt{3^{3}} + {\sqrt{3}}^{4}}{16} + 3 {(\frac{1 + \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (\frac{1 + \sqrt{3}}{2})$

Paso 15.2.1.4.10

Eleva $3$ a la potencia de $3$ .

$f (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = - \frac{1 + 4 \sqrt{3} + 18 + 4 \sqrt{27} + {\sqrt{3}}^{4}}{16} + 3 {(\frac{1 + \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (\frac{1 + \sqrt{3}}{2})$

Paso 15.2.1.4.11

Reescribe $27$ como $3^{2} \cdot 3$ .

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Paso 15.2.1.4.11.1

Factoriza $9$ de $27$ .

$f (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = - \frac{1 + 4 \sqrt{3} + 18 + 4 \sqrt{9 (3)} + {\sqrt{3}}^{4}}{16} + 3 {(\frac{1 + \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (\frac{1 + \sqrt{3}}{2})$

Paso 15.2.1.4.11.2

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$f (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = - \frac{1 + 4 \sqrt{3} + 18 + 4 \sqrt{3^{2} \cdot 3} + {\sqrt{3}}^{4}}{16} + 3 {(\frac{1 + \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (\frac{1 + \sqrt{3}}{2})$

Paso 15.2.1.4.12

Retira los términos de abajo del radical.

$f (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = - \frac{1 + 4 \sqrt{3} + 18 + 4 (3 \sqrt{3}) + {\sqrt{3}}^{4}}{16} + 3 {(\frac{1 + \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (\frac{1 + \sqrt{3}}{2})$

Paso 15.2.1.4.13

Multiplica $3$ por $4$ .

$f (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = - \frac{1 + 4 \sqrt{3} + 18 + 12 \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{4}}{16} + 3 {(\frac{1 + \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (\frac{1 + \sqrt{3}}{2})$

Paso 15.2.1.4.14

Reescribe ${\sqrt{3}}^{4}$ como $3^{2}$ .

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Paso 15.2.1.4.14.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = - \frac{1 + 4 \sqrt{3} + 18 + 12 \sqrt{3} + {(3^{\frac{1}{2}})}^{4}}{16} + 3 {(\frac{1 + \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (\frac{1 + \sqrt{3}}{2})$

Paso 15.2.1.4.14.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = - \frac{1 + 4 \sqrt{3} + 18 + 12 \sqrt{3} + 3^{\frac{1}{2} \cdot 4}}{16} + 3 {(\frac{1 + \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (\frac{1 + \sqrt{3}}{2})$

Paso 15.2.1.4.14.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $4$ .

$f (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = - \frac{1 + 4 \sqrt{3} + 18 + 12 \sqrt{3} + 3^{\frac{4}{2}}}{16} + 3 {(\frac{1 + \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (\frac{1 + \sqrt{3}}{2})$

Paso 15.2.1.4.14.4

Cancela el factor común de $4$ y $2$ .

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Paso 15.2.1.4.14.4.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$f (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = - \frac{1 + 4 \sqrt{3} + 18 + 12 \sqrt{3} + 3^{\frac{2 \cdot 2}{2}}}{16} + 3 {(\frac{1 + \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (\frac{1 + \sqrt{3}}{2})$

Paso 15.2.1.4.14.4.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 15.2.1.4.14.4.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$f (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = - \frac{1 + 4 \sqrt{3} + 18 + 12 \sqrt{3} + 3^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}}}{16} + 3 {(\frac{1 + \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (\frac{1 + \sqrt{3}}{2})$

Paso 15.2.1.4.14.4.2.2

Cancela el factor común.

$f (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = - \frac{1 + 4 \sqrt{3} + 18 + 12 \sqrt{3} + 3^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}}}{16} + 3 {(\frac{1 + \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (\frac{1 + \sqrt{3}}{2})$

Paso 15.2.1.4.14.4.2.3

Reescribe la expresión.

$f (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = - \frac{1 + 4 \sqrt{3} + 18 + 12 \sqrt{3} + 3^{\frac{2}{1}}}{16} + 3 {(\frac{1 + \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (\frac{1 + \sqrt{3}}{2})$

Paso 15.2.1.4.14.4.2.4

Divide $2$ por $1$ .

$f (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = - \frac{1 + 4 \sqrt{3} + 18 + 12 \sqrt{3} + 3^{2}}{16} + 3 {(\frac{1 + \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (\frac{1 + \sqrt{3}}{2})$

Paso 15.2.1.4.15

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$f (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = - \frac{1 + 4 \sqrt{3} + 18 + 12 \sqrt{3} + 9}{16} + 3 {(\frac{1 + \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (\frac{1 + \sqrt{3}}{2})$

Paso 15.2.1.5

Suma $1$ y $18$ .

$f (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = - \frac{19 + 4 \sqrt{3} + 12 \sqrt{3} + 9}{16} + 3 {(\frac{1 + \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (\frac{1 + \sqrt{3}}{2})$

Paso 15.2.1.6

Suma $19$ y $9$ .

$f (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = - \frac{28 + 4 \sqrt{3} + 12 \sqrt{3}}{16} + 3 {(\frac{1 + \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (\frac{1 + \sqrt{3}}{2})$

Paso 15.2.1.7

Suma $4 \sqrt{3}$ y $12 \sqrt{3}$ .

$f (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = - \frac{28 + 16 \sqrt{3}}{16} + 3 {(\frac{1 + \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (\frac{1 + \sqrt{3}}{2})$

Paso 15.2.1.8

Cancela el factor común de $28 + 16 \sqrt{3}$ y $16$ .

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Paso 15.2.1.8.1

Factoriza $4$ de $28$ .

$f (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = - \frac{4 (7) + 16 \sqrt{3}}{16} + 3 {(\frac{1 + \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (\frac{1 + \sqrt{3}}{2})$

Paso 15.2.1.8.2

Factoriza $4$ de $16 \sqrt{3}$ .

$f (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = - \frac{4 (7) + 4 (4 \sqrt{3})}{16} + 3 {(\frac{1 + \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (\frac{1 + \sqrt{3}}{2})$

Paso 15.2.1.8.3

Factoriza $4$ de $4 (7) + 4 (4 \sqrt{3})$ .

$f (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = - \frac{4 (7 + 4 \sqrt{3})}{16} + 3 {(\frac{1 + \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (\frac{1 + \sqrt{3}}{2})$

Paso 15.2.1.8.4

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 15.2.1.8.4.1

Factoriza $4$ de $16$ .

$f (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = - \frac{4 (7 + 4 \sqrt{3})}{4 \cdot 4} + 3 {(\frac{1 + \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (\frac{1 + \sqrt{3}}{2})$

Paso 15.2.1.8.4.2

Cancela el factor común.

$f (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = - \frac{4 (7 + 4 \sqrt{3})}{4 \cdot 4} + 3 {(\frac{1 + \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (\frac{1 + \sqrt{3}}{2})$

Paso 15.2.1.8.4.3

Reescribe la expresión.

$f (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = - \frac{7 + 4 \sqrt{3}}{4} + 3 {(\frac{1 + \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (\frac{1 + \sqrt{3}}{2})$

Paso 15.2.1.9

Aplica la regla del producto a $\frac{1 + \sqrt{3}}{2}$ .

$f (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = - \frac{7 + 4 \sqrt{3}}{4} + 3 (\frac{{(1 + \sqrt{3})}^{2}}{2^{2}}) + 2 (\frac{1 + \sqrt{3}}{2})$

Paso 15.2.1.10

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$f (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = - \frac{7 + 4 \sqrt{3}}{4} + 3 (\frac{{(1 + \sqrt{3})}^{2}}{4}) + 2 (\frac{1 + \sqrt{3}}{2})$

Paso 15.2.1.11

Reescribe ${(1 + \sqrt{3})}^{2}$ como $(1 + \sqrt{3}) (1 + \sqrt{3})$ .

$f (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = - \frac{7 + 4 \sqrt{3}}{4} + 3 (\frac{(1 + \sqrt{3}) (1 + \sqrt{3})}{4}) + 2 (\frac{1 + \sqrt{3}}{2})$

Paso 15.2.1.12

Expande $(1 + \sqrt{3}) (1 + \sqrt{3})$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

Toca para ver más pasos...

Paso 15.2.1.12.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = - \frac{7 + 4 \sqrt{3}}{4} + 3 (\frac{1 (1 + \sqrt{3}) + \sqrt{3} (1 + \sqrt{3})}{4}) + 2 (\frac{1 + \sqrt{3}}{2})$

Paso 15.2.1.12.2

Aplica la propiedad distributiva.

$f (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = - \frac{7 + 4 \sqrt{3}}{4} + 3 (\frac{1 \cdot 1 + 1 \sqrt{3} + \sqrt{3} (1 + \sqrt{3})}{4}) + 2 (\frac{1 + \sqrt{3}}{2})$

Paso 15.2.1.12.3

Aplica la propiedad distributiva.

$f (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = - \frac{7 + 4 \sqrt{3}}{4} + 3 (\frac{1 \cdot 1 + 1 \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 1 + \sqrt{3} \sqrt{3}}{4}) + 2 (\frac{1 + \sqrt{3}}{2})$

Paso 15.2.1.13

Simplifica y combina los términos similares.

Toca para ver más pasos...

Paso 15.2.1.13.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 15.2.1.13.1.1

Multiplica $1$ por $1$ .

$f (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = - \frac{7 + 4 \sqrt{3}}{4} + 3 (\frac{1 + 1 \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 1 + \sqrt{3} \sqrt{3}}{4}) + 2 (\frac{1 + \sqrt{3}}{2})$

Paso 15.2.1.13.1.2

Multiplica $\sqrt{3}$ por $1$ .

$f (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = - \frac{7 + 4 \sqrt{3}}{4} + 3 (\frac{1 + \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 1 + \sqrt{3} \sqrt{3}}{4}) + 2 (\frac{1 + \sqrt{3}}{2})$

Paso 15.2.1.13.1.3

Multiplica $\sqrt{3}$ por $1$ .

$f (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = - \frac{7 + 4 \sqrt{3}}{4} + 3 (\frac{1 + \sqrt{3} + \sqrt{3} + \sqrt{3} \sqrt{3}}{4}) + 2 (\frac{1 + \sqrt{3}}{2})$

Paso 15.2.1.13.1.4

Combina con la regla del producto para radicales.

$f (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = - \frac{7 + 4 \sqrt{3}}{4} + 3 (\frac{1 + \sqrt{3} + \sqrt{3} + \sqrt{3 \cdot 3}}{4}) + 2 (\frac{1 + \sqrt{3}}{2})$

Paso 15.2.1.13.1.5

Multiplica $3$ por $3$ .

$f (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = - \frac{7 + 4 \sqrt{3}}{4} + 3 (\frac{1 + \sqrt{3} + \sqrt{3} + \sqrt{9}}{4}) + 2 (\frac{1 + \sqrt{3}}{2})$

Paso 15.2.1.13.1.6

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$f (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = - \frac{7 + 4 \sqrt{3}}{4} + 3 (\frac{1 + \sqrt{3} + \sqrt{3} + \sqrt{3^{2}}}{4}) + 2 (\frac{1 + \sqrt{3}}{2})$

Paso 15.2.1.13.1.7

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$f (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = - \frac{7 + 4 \sqrt{3}}{4} + 3 (\frac{1 + \sqrt{3} + \sqrt{3} + 3}{4}) + 2 (\frac{1 + \sqrt{3}}{2})$

Paso 15.2.1.13.2

Suma $1$ y $3$ .

$f (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = - \frac{7 + 4 \sqrt{3}}{4} + 3 (\frac{4 + \sqrt{3} + \sqrt{3}}{4}) + 2 (\frac{1 + \sqrt{3}}{2})$

Paso 15.2.1.13.3

Suma $\sqrt{3}$ y $\sqrt{3}$ .

$f (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = - \frac{7 + 4 \sqrt{3}}{4} + 3 (\frac{4 + 2 \sqrt{3}}{4}) + 2 (\frac{1 + \sqrt{3}}{2})$

Paso 15.2.1.14

Cancela el factor común de $4 + 2 \sqrt{3}$ y $4$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 15.2.1.14.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$f (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = - \frac{7 + 4 \sqrt{3}}{4} + 3 (\frac{2 \cdot 2 + 2 \sqrt{3}}{4}) + 2 (\frac{1 + \sqrt{3}}{2})$

Paso 15.2.1.14.2

Factoriza $2$ de $2 \sqrt{3}$ .

$f (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = - \frac{7 + 4 \sqrt{3}}{4} + 3 (\frac{2 \cdot 2 + 2 (\sqrt{3})}{4}) + 2 (\frac{1 + \sqrt{3}}{2})$

Paso 15.2.1.14.3

Factoriza $2$ de $2 \cdot 2 + 2 (\sqrt{3})$ .

$f (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = - \frac{7 + 4 \sqrt{3}}{4} + 3 (\frac{2 \cdot (2 + \sqrt{3})}{4}) + 2 (\frac{1 + \sqrt{3}}{2})$

Paso 15.2.1.14.4

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 15.2.1.14.4.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$f (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = - \frac{7 + 4 \sqrt{3}}{4} + 3 (\frac{2 \cdot (2 + \sqrt{3})}{2 (2)}) + 2 (\frac{1 + \sqrt{3}}{2})$

Paso 15.2.1.14.4.2

Cancela el factor común.

$f (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = - \frac{7 + 4 \sqrt{3}}{4} + 3 (\frac{2 \cdot (2 + \sqrt{3})}{2 \cdot 2}) + 2 (\frac{1 + \sqrt{3}}{2})$

Paso 15.2.1.14.4.3

Reescribe la expresión.

$f (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = - \frac{7 + 4 \sqrt{3}}{4} + 3 (\frac{2 + \sqrt{3}}{2}) + 2 (\frac{1 + \sqrt{3}}{2})$

Paso 15.2.1.15

Combina $3$ y $\frac{2 + \sqrt{3}}{2}$ .

$f (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = - \frac{7 + 4 \sqrt{3}}{4} + \frac{3 (2 + \sqrt{3})}{2} + 2 (\frac{1 + \sqrt{3}}{2})$

Paso 15.2.1.16

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 15.2.1.16.1

Cancela el factor común.

$f (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = - \frac{7 + 4 \sqrt{3}}{4} + \frac{3 (2 + \sqrt{3})}{2} + 2 (\frac{1 + \sqrt{3}}{2})$

Paso 15.2.1.16.2

Reescribe la expresión.

$f (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = - \frac{7 + 4 \sqrt{3}}{4} + \frac{3 (2 + \sqrt{3})}{2} + 1 + \sqrt{3}$

Paso 15.2.2

Para escribir $\frac{3 (2 + \sqrt{3})}{2}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = - \frac{7 + 4 \sqrt{3}}{4} + \frac{3 (2 + \sqrt{3})}{2} \cdot \frac{2}{2} + 1 + \sqrt{3}$

Paso 15.2.3

Escribe cada expresión con un denominador común de $4$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 15.2.3.1

Multiplica $\frac{3 (2 + \sqrt{3})}{2}$ por $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = - \frac{7 + 4 \sqrt{3}}{4} + \frac{3 (2 + \sqrt{3}) \cdot 2}{2 \cdot 2} + 1 + \sqrt{3}$

Paso 15.2.3.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$f (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = - \frac{7 + 4 \sqrt{3}}{4} + \frac{3 (2 + \sqrt{3}) \cdot 2}{4} + 1 + \sqrt{3}$

Paso 15.2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = \frac{- (7 + 4 \sqrt{3}) + 3 (2 + \sqrt{3}) \cdot 2}{4} + 1 + \sqrt{3}$

Paso 15.2.5

Simplifica el numerador.

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Paso 15.2.5.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = \frac{- 1 \cdot 7 - (4 \sqrt{3}) + 3 (2 + \sqrt{3}) \cdot 2}{4} + 1 + \sqrt{3}$

Paso 15.2.5.2

Multiplica $- 1$ por $7$ .

$f (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = \frac{- 7 - (4 \sqrt{3}) + 3 (2 + \sqrt{3}) \cdot 2}{4} + 1 + \sqrt{3}$

Paso 15.2.5.3

Multiplica $4$ por $- 1$ .

$f (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = \frac{- 7 - 4 \sqrt{3} + 3 (2 + \sqrt{3}) \cdot 2}{4} + 1 + \sqrt{3}$

Paso 15.2.5.4

Aplica la propiedad distributiva.

$f (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = \frac{- 7 - 4 \sqrt{3} + (3 \cdot 2 + 3 \sqrt{3}) \cdot 2}{4} + 1 + \sqrt{3}$

Paso 15.2.5.5

Multiplica $3$ por $2$ .

$f (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = \frac{- 7 - 4 \sqrt{3} + (6 + 3 \sqrt{3}) \cdot 2}{4} + 1 + \sqrt{3}$

Paso 15.2.5.6

Aplica la propiedad distributiva.

$f (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = \frac{- 7 - 4 \sqrt{3} + 6 \cdot 2 + 3 \sqrt{3} \cdot 2}{4} + 1 + \sqrt{3}$

Paso 15.2.5.7

Multiplica $6$ por $2$ .

$f (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = \frac{- 7 - 4 \sqrt{3} + 12 + 3 \sqrt{3} \cdot 2}{4} + 1 + \sqrt{3}$

Paso 15.2.5.8

Multiplica $2$ por $3$ .

$f (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = \frac{- 7 - 4 \sqrt{3} + 12 + 6 \sqrt{3}}{4} + 1 + \sqrt{3}$

Paso 15.2.5.9

Suma $- 7$ y $12$ .

$f (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = \frac{5 - 4 \sqrt{3} + 6 \sqrt{3}}{4} + 1 + \sqrt{3}$

Paso 15.2.5.10

Suma $- 4 \sqrt{3}$ y $6 \sqrt{3}$ .

$f (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = \frac{5 + 2 \sqrt{3}}{4} + 1 + \sqrt{3}$

Paso 15.2.6

Simplifica la expresión.

Toca para ver más pasos...

Paso 15.2.6.1

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$f (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = \frac{5 + 2 \sqrt{3}}{4} + \frac{4}{4} + \sqrt{3}$

Paso 15.2.6.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = \frac{5 + 2 \sqrt{3} + 4}{4} + \sqrt{3}$

Paso 15.2.6.3

Suma $5$ y $4$ .

$f (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = \frac{9 + 2 \sqrt{3}}{4} + \sqrt{3}$

Paso 15.2.7

Para escribir $\sqrt{3}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{4}{4}$ .

$f (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = \frac{9 + 2 \sqrt{3}}{4} + \sqrt{3} \cdot \frac{4}{4}$

Paso 15.2.8

Combina fracciones.

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Paso 15.2.8.1

Combina $\sqrt{3}$ y $\frac{4}{4}$ .

$f (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = \frac{9 + 2 \sqrt{3}}{4} + \frac{\sqrt{3} \cdot 4}{4}$

Paso 15.2.8.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = \frac{9 + 2 \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 4}{4}$

Paso 15.2.9

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 15.2.9.1

Mueve $4$ a la izquierda de $\sqrt{3}$ .

$f (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = \frac{9 + 2 \sqrt{3} + 4 \cdot \sqrt{3}}{4}$

Paso 15.2.9.2

Suma $2 \sqrt{3}$ y $4 \sqrt{3}$ .

$f (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = \frac{9 + 6 \sqrt{3}}{4}$

Paso 15.2.10

La respuesta final es $\frac{9 + 6 \sqrt{3}}{4}$ .

$y = \frac{9 + 6 \sqrt{3}}{4}$

Paso 16

Evalúa la segunda derivada en $x = \frac{1 - \sqrt{3}}{2}$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.

$- 12 {(\frac{1 - \sqrt{3}}{2})}^{2} + 6$

Paso 17

Evalúa la segunda derivada.

Toca para ver más pasos...

Paso 17.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 17.1.1

Aplica la regla del producto a $\frac{1 - \sqrt{3}}{2}$ .

$- 12 \frac{{(1 - \sqrt{3})}^{2}}{2^{2}} + 6$

Paso 17.1.2

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$- 12 \frac{{(1 - \sqrt{3})}^{2}}{4} + 6$

Paso 17.1.3

Cancela el factor común de $4$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 17.1.3.1

Factoriza $4$ de $- 12$ .

$4 (- 3) \frac{{(1 - \sqrt{3})}^{2}}{4} + 6$

Paso 17.1.3.2

Cancela el factor común.

$4 \cdot - 3 \frac{{(1 - \sqrt{3})}^{2}}{4} + 6$

Paso 17.1.3.3

Reescribe la expresión.

$- 3 {(1 - \sqrt{3})}^{2} + 6$

Paso 17.1.4

Reescribe ${(1 - \sqrt{3})}^{2}$ como $(1 - \sqrt{3}) (1 - \sqrt{3})$ .

$- 3 ((1 - \sqrt{3}) (1 - \sqrt{3})) + 6$

Paso 17.1.5

Expande $(1 - \sqrt{3}) (1 - \sqrt{3})$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

Toca para ver más pasos...

Paso 17.1.5.1

Aplica la propiedad distributiva.

$- 3 (1 (1 - \sqrt{3}) - \sqrt{3} (1 - \sqrt{3})) + 6$

Paso 17.1.5.2

Aplica la propiedad distributiva.

$- 3 (1 \cdot 1 + 1 (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} (1 - \sqrt{3})) + 6$

Paso 17.1.5.3

Aplica la propiedad distributiva.

$- 3 (1 \cdot 1 + 1 (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} \cdot 1 - \sqrt{3} (- \sqrt{3})) + 6$

Paso 17.1.6

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 17.1.6.1

Simplifica cada término.

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Paso 17.1.6.1.1

Multiplica $1$ por $1$ .

$- 3 (1 + 1 (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} \cdot 1 - \sqrt{3} (- \sqrt{3})) + 6$

Paso 17.1.6.1.2

Multiplica $- \sqrt{3}$ por $1$ .

$- 3 (1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} \cdot 1 - \sqrt{3} (- \sqrt{3})) + 6$

Paso 17.1.6.1.3

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$- 3 (1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} - \sqrt{3} (- \sqrt{3})) + 6$

Paso 17.1.6.1.4

Multiplica $- \sqrt{3} (- \sqrt{3})$ .

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Paso 17.1.6.1.4.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$- 3 (1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + 1 \sqrt{3} \sqrt{3}) + 6$

Paso 17.1.6.1.4.2

Multiplica $\sqrt{3}$ por $1$ .

$- 3 (1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + \sqrt{3} \sqrt{3}) + 6$

Paso 17.1.6.1.4.3

Eleva $\sqrt{3}$ a la potencia de $1$ .

$- 3 (1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}) + 6$

Paso 17.1.6.1.4.4

Eleva $\sqrt{3}$ a la potencia de $1$ .

$- 3 (1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}) + 6$

Paso 17.1.6.1.4.5

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$- 3 (1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{1 + 1}) + 6$

Paso 17.1.6.1.4.6

Suma $1$ y $1$ .

$- 3 (1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{2}) + 6$

Paso 17.1.6.1.5

Reescribe ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

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Paso 17.1.6.1.5.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$- 3 (1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}) + 6$

Paso 17.1.6.1.5.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 3 (1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}) + 6$

Paso 17.1.6.1.5.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$- 3 (1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + 3^{\frac{2}{2}}) + 6$

Paso 17.1.6.1.5.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 17.1.6.1.5.4.1

Cancela el factor común.

$- 3 (1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + 3^{\frac{2}{2}}) + 6$

Paso 17.1.6.1.5.4.2

Reescribe la expresión.

$- 3 (1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + 3^{1}) + 6$

Paso 17.1.6.1.5.5

Evalúa el exponente.

$- 3 (1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + 3) + 6$

Paso 17.1.6.2

Suma $1$ y $3$ .

$- 3 (4 - \sqrt{3} - \sqrt{3}) + 6$

Paso 17.1.6.3

Resta $\sqrt{3}$ de $- \sqrt{3}$ .

$- 3 (4 - 2 \sqrt{3}) + 6$

Paso 17.1.7

Aplica la propiedad distributiva.

$- 3 \cdot 4 - 3 (- 2 \sqrt{3}) + 6$

Paso 17.1.8

Multiplica $- 3$ por $4$ .

$- 12 - 3 (- 2 \sqrt{3}) + 6$

Paso 17.1.9

Multiplica $- 2$ por $- 3$ .

$- 12 + 6 \sqrt{3} + 6$

Paso 17.2

Suma $- 12$ y $6$ .

$- 6 + 6 \sqrt{3}$

Paso 18

$x = \frac{1 - \sqrt{3}}{2}$ es un mínimo local porque el valor de la segunda derivada es positivo. Esto se conoce como prueba de la segunda derivada.

$x = \frac{1 - \sqrt{3}}{2}$ es un mínimo local

Paso 19

Obtén el valor de y cuando $x = \frac{1 - \sqrt{3}}{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 19.1

Reemplaza la variable $x$ con $\frac{1 - \sqrt{3}}{2}$ en la expresión.

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = - {(\frac{1 - \sqrt{3}}{2})}^{4} + 3 {(\frac{1 - \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2})$

Paso 19.2

Simplifica el resultado.

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Paso 19.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 19.2.1.1

Aplica la regla del producto a $\frac{1 - \sqrt{3}}{2}$ .

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = - \frac{{(1 - \sqrt{3})}^{4}}{2^{4}} + 3 {(\frac{1 - \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2})$

Paso 19.2.1.2

Eleva $2$ a la potencia de $4$ .

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = - \frac{{(1 - \sqrt{3})}^{4}}{16} + 3 {(\frac{1 - \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2})$

Paso 19.2.1.3

Usa el teorema del binomio.

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = - \frac{1^{4} + 4 \cdot (1^{3} (- \sqrt{3})) + 6 \cdot (1^{2} {(- \sqrt{3})}^{2}) + 4 \cdot (1 {(- \sqrt{3})}^{3}) + {(- \sqrt{3})}^{4}}{16} + 3 {(\frac{1 - \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2})$

Paso 19.2.1.4

Simplifica cada término.

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Paso 19.2.1.4.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = - \frac{1 + 4 \cdot (1^{3} (- \sqrt{3})) + 6 \cdot (1^{2} {(- \sqrt{3})}^{2}) + 4 \cdot (1 {(- \sqrt{3})}^{3}) + {(- \sqrt{3})}^{4}}{16} + 3 {(\frac{1 - \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2})$

Paso 19.2.1.4.2

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = - \frac{1 + 4 \cdot (1 (- \sqrt{3})) + 6 \cdot (1^{2} {(- \sqrt{3})}^{2}) + 4 \cdot (1 {(- \sqrt{3})}^{3}) + {(- \sqrt{3})}^{4}}{16} + 3 {(\frac{1 - \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2})$

Paso 19.2.1.4.3

Multiplica $4$ por $1$ .

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = - \frac{1 + 4 (- \sqrt{3}) + 6 \cdot (1^{2} {(- \sqrt{3})}^{2}) + 4 \cdot (1 {(- \sqrt{3})}^{3}) + {(- \sqrt{3})}^{4}}{16} + 3 {(\frac{1 - \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2})$

Paso 19.2.1.4.4

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = - \frac{1 - 4 \sqrt{3} + 6 \cdot (1^{2} {(- \sqrt{3})}^{2}) + 4 \cdot (1 {(- \sqrt{3})}^{3}) + {(- \sqrt{3})}^{4}}{16} + 3 {(\frac{1 - \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2})$

Paso 19.2.1.4.5

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = - \frac{1 - 4 \sqrt{3} + 6 \cdot (1 {(- \sqrt{3})}^{2}) + 4 \cdot (1 {(- \sqrt{3})}^{3}) + {(- \sqrt{3})}^{4}}{16} + 3 {(\frac{1 - \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2})$

Paso 19.2.1.4.6

Multiplica $6$ por $1$ .

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = - \frac{1 - 4 \sqrt{3} + 6 {(- \sqrt{3})}^{2} + 4 \cdot (1 {(- \sqrt{3})}^{3}) + {(- \sqrt{3})}^{4}}{16} + 3 {(\frac{1 - \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2})$

Paso 19.2.1.4.7

Aplica la regla del producto a $- \sqrt{3}$ .

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = - \frac{1 - 4 \sqrt{3} + 6 ({(- 1)}^{2} {\sqrt{3}}^{2}) + 4 \cdot (1 {(- \sqrt{3})}^{3}) + {(- \sqrt{3})}^{4}}{16} + 3 {(\frac{1 - \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2})$

Paso 19.2.1.4.8

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = - \frac{1 - 4 \sqrt{3} + 6 (1 {\sqrt{3}}^{2}) + 4 \cdot (1 {(- \sqrt{3})}^{3}) + {(- \sqrt{3})}^{4}}{16} + 3 {(\frac{1 - \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2})$

Paso 19.2.1.4.9

Multiplica ${\sqrt{3}}^{2}$ por $1$ .

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = - \frac{1 - 4 \sqrt{3} + 6 {\sqrt{3}}^{2} + 4 \cdot (1 {(- \sqrt{3})}^{3}) + {(- \sqrt{3})}^{4}}{16} + 3 {(\frac{1 - \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2})$

Paso 19.2.1.4.10

Reescribe ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 19.2.1.4.10.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = - \frac{1 - 4 \sqrt{3} + 6 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2} + 4 \cdot (1 {(- \sqrt{3})}^{3}) + {(- \sqrt{3})}^{4}}{16} + 3 {(\frac{1 - \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2})$

Paso 19.2.1.4.10.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = - \frac{1 - 4 \sqrt{3} + 6 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 4 \cdot (1 {(- \sqrt{3})}^{3}) + {(- \sqrt{3})}^{4}}{16} + 3 {(\frac{1 - \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2})$

Paso 19.2.1.4.10.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = - \frac{1 - 4 \sqrt{3} + 6 \cdot 3^{\frac{2}{2}} + 4 \cdot (1 {(- \sqrt{3})}^{3}) + {(- \sqrt{3})}^{4}}{16} + 3 {(\frac{1 - \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2})$

Paso 19.2.1.4.10.4

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 19.2.1.4.10.4.1

Cancela el factor común.

Paso 19.2.1.4.10.4.2

Reescribe la expresión.

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = - \frac{1 - 4 \sqrt{3} + 6 \cdot 3 + 4 \cdot (1 {(- \sqrt{3})}^{3}) + {(- \sqrt{3})}^{4}}{16} + 3 {(\frac{1 - \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2})$

Paso 19.2.1.4.10.5

Evalúa el exponente.

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = - \frac{1 - 4 \sqrt{3} + 6 \cdot 3 + 4 \cdot (1 {(- \sqrt{3})}^{3}) + {(- \sqrt{3})}^{4}}{16} + 3 {(\frac{1 - \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2})$

Paso 19.2.1.4.11

Multiplica $6$ por $3$ .

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = - \frac{1 - 4 \sqrt{3} + 18 + 4 \cdot (1 {(- \sqrt{3})}^{3}) + {(- \sqrt{3})}^{4}}{16} + 3 {(\frac{1 - \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2})$

Paso 19.2.1.4.12

Multiplica $4$ por $1$ .

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = - \frac{1 - 4 \sqrt{3} + 18 + 4 {(- \sqrt{3})}^{3} + {(- \sqrt{3})}^{4}}{16} + 3 {(\frac{1 - \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2})$

Paso 19.2.1.4.13

Aplica la regla del producto a $- \sqrt{3}$ .

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = - \frac{1 - 4 \sqrt{3} + 18 + 4 ({(- 1)}^{3} {\sqrt{3}}^{3}) + {(- \sqrt{3})}^{4}}{16} + 3 {(\frac{1 - \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2})$

Paso 19.2.1.4.14

Eleva $- 1$ a la potencia de $3$ .

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = - \frac{1 - 4 \sqrt{3} + 18 + 4 (- {\sqrt{3}}^{3}) + {(- \sqrt{3})}^{4}}{16} + 3 {(\frac{1 - \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2})$

Paso 19.2.1.4.15

Reescribe ${\sqrt{3}}^{3}$ como $\sqrt{3^{3}}$ .

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = - \frac{1 - 4 \sqrt{3} + 18 + 4 (- \sqrt{3^{3}}) + {(- \sqrt{3})}^{4}}{16} + 3 {(\frac{1 - \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2})$

Paso 19.2.1.4.16

Eleva $3$ a la potencia de $3$ .

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = - \frac{1 - 4 \sqrt{3} + 18 + 4 (- \sqrt{27}) + {(- \sqrt{3})}^{4}}{16} + 3 {(\frac{1 - \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2})$

Paso 19.2.1.4.17

Reescribe $27$ como $3^{2} \cdot 3$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 19.2.1.4.17.1

Factoriza $9$ de $27$ .

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = - \frac{1 - 4 \sqrt{3} + 18 + 4 (- \sqrt{9 (3)}) + {(- \sqrt{3})}^{4}}{16} + 3 {(\frac{1 - \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2})$

Paso 19.2.1.4.17.2

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = - \frac{1 - 4 \sqrt{3} + 18 + 4 (- \sqrt{3^{2} \cdot 3}) + {(- \sqrt{3})}^{4}}{16} + 3 {(\frac{1 - \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2})$

Paso 19.2.1.4.18

Retira los términos de abajo del radical.

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = - \frac{1 - 4 \sqrt{3} + 18 + 4 (- (3 \sqrt{3})) + {(- \sqrt{3})}^{4}}{16} + 3 {(\frac{1 - \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2})$

Paso 19.2.1.4.19

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = - \frac{1 - 4 \sqrt{3} + 18 + 4 (- 3 \sqrt{3}) + {(- \sqrt{3})}^{4}}{16} + 3 {(\frac{1 - \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2})$

Paso 19.2.1.4.20

Multiplica $- 3$ por $4$ .

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = - \frac{1 - 4 \sqrt{3} + 18 - 12 \sqrt{3} + {(- \sqrt{3})}^{4}}{16} + 3 {(\frac{1 - \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2})$

Paso 19.2.1.4.21

Aplica la regla del producto a $- \sqrt{3}$ .

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = - \frac{1 - 4 \sqrt{3} + 18 - 12 \sqrt{3} + {(- 1)}^{4} {\sqrt{3}}^{4}}{16} + 3 {(\frac{1 - \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2})$

Paso 19.2.1.4.22

Eleva $- 1$ a la potencia de $4$ .

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = - \frac{1 - 4 \sqrt{3} + 18 - 12 \sqrt{3} + 1 {\sqrt{3}}^{4}}{16} + 3 {(\frac{1 - \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2})$

Paso 19.2.1.4.23

Multiplica ${\sqrt{3}}^{4}$ por $1$ .

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = - \frac{1 - 4 \sqrt{3} + 18 - 12 \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{4}}{16} + 3 {(\frac{1 - \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2})$

Paso 19.2.1.4.24

Reescribe ${\sqrt{3}}^{4}$ como $3^{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 19.2.1.4.24.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = - \frac{1 - 4 \sqrt{3} + 18 - 12 \sqrt{3} + {(3^{\frac{1}{2}})}^{4}}{16} + 3 {(\frac{1 - \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2})$

Paso 19.2.1.4.24.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = - \frac{1 - 4 \sqrt{3} + 18 - 12 \sqrt{3} + 3^{\frac{1}{2} \cdot 4}}{16} + 3 {(\frac{1 - \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2})$

Paso 19.2.1.4.24.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $4$ .

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = - \frac{1 - 4 \sqrt{3} + 18 - 12 \sqrt{3} + 3^{\frac{4}{2}}}{16} + 3 {(\frac{1 - \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2})$

Paso 19.2.1.4.24.4

Cancela el factor común de $4$ y $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 19.2.1.4.24.4.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = - \frac{1 - 4 \sqrt{3} + 18 - 12 \sqrt{3} + 3^{\frac{2 \cdot 2}{2}}}{16} + 3 {(\frac{1 - \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2})$

Paso 19.2.1.4.24.4.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 19.2.1.4.24.4.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = - \frac{1 - 4 \sqrt{3} + 18 - 12 \sqrt{3} + 3^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}}}{16} + 3 {(\frac{1 - \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2})$

Paso 19.2.1.4.24.4.2.2

Cancela el factor común.

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = - \frac{1 - 4 \sqrt{3} + 18 - 12 \sqrt{3} + 3^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}}}{16} + 3 {(\frac{1 - \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2})$

Paso 19.2.1.4.24.4.2.3

Reescribe la expresión.

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = - \frac{1 - 4 \sqrt{3} + 18 - 12 \sqrt{3} + 3^{\frac{2}{1}}}{16} + 3 {(\frac{1 - \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2})$

Paso 19.2.1.4.24.4.2.4

Divide $2$ por $1$ .

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = - \frac{1 - 4 \sqrt{3} + 18 - 12 \sqrt{3} + 3^{2}}{16} + 3 {(\frac{1 - \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2})$

Paso 19.2.1.4.25

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = - \frac{1 - 4 \sqrt{3} + 18 - 12 \sqrt{3} + 9}{16} + 3 {(\frac{1 - \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2})$

Paso 19.2.1.5

Suma $1$ y $18$ .

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = - \frac{19 - 4 \sqrt{3} - 12 \sqrt{3} + 9}{16} + 3 {(\frac{1 - \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2})$

Paso 19.2.1.6

Suma $19$ y $9$ .

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = - \frac{28 - 4 \sqrt{3} - 12 \sqrt{3}}{16} + 3 {(\frac{1 - \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2})$

Paso 19.2.1.7

Resta $12 \sqrt{3}$ de $- 4 \sqrt{3}$ .

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = - \frac{28 - 16 \sqrt{3}}{16} + 3 {(\frac{1 - \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2})$

Paso 19.2.1.8

Cancela el factor común de $28 - 16 \sqrt{3}$ y $16$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 19.2.1.8.1

Factoriza $4$ de $28$ .

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = - \frac{4 (7) - 16 \sqrt{3}}{16} + 3 {(\frac{1 - \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2})$

Paso 19.2.1.8.2

Factoriza $4$ de $- 16 \sqrt{3}$ .

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = - \frac{4 (7) + 4 (- 4 \sqrt{3})}{16} + 3 {(\frac{1 - \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2})$

Paso 19.2.1.8.3

Factoriza $4$ de $4 (7) + 4 (- 4 \sqrt{3})$ .

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = - \frac{4 (7 - 4 \sqrt{3})}{16} + 3 {(\frac{1 - \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2})$

Paso 19.2.1.8.4

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 19.2.1.8.4.1

Factoriza $4$ de $16$ .

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = - \frac{4 (7 - 4 \sqrt{3})}{4 \cdot 4} + 3 {(\frac{1 - \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2})$

Paso 19.2.1.8.4.2

Cancela el factor común.

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = - \frac{4 (7 - 4 \sqrt{3})}{4 \cdot 4} + 3 {(\frac{1 - \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2})$

Paso 19.2.1.8.4.3

Reescribe la expresión.

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = - \frac{7 - 4 \sqrt{3}}{4} + 3 {(\frac{1 - \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2})$

Paso 19.2.1.9

Aplica la regla del producto a $\frac{1 - \sqrt{3}}{2}$ .

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = - \frac{7 - 4 \sqrt{3}}{4} + 3 (\frac{{(1 - \sqrt{3})}^{2}}{2^{2}}) + 2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2})$

Paso 19.2.1.10

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = - \frac{7 - 4 \sqrt{3}}{4} + 3 (\frac{{(1 - \sqrt{3})}^{2}}{4}) + 2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2})$

Paso 19.2.1.11

Reescribe ${(1 - \sqrt{3})}^{2}$ como $(1 - \sqrt{3}) (1 - \sqrt{3})$ .

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = - \frac{7 - 4 \sqrt{3}}{4} + 3 (\frac{(1 - \sqrt{3}) (1 - \sqrt{3})}{4}) + 2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2})$

Paso 19.2.1.12

Expande $(1 - \sqrt{3}) (1 - \sqrt{3})$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

Toca para ver más pasos...

Paso 19.2.1.12.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = - \frac{7 - 4 \sqrt{3}}{4} + 3 (\frac{1 (1 - \sqrt{3}) - \sqrt{3} (1 - \sqrt{3})}{4}) + 2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2})$

Paso 19.2.1.12.2

Aplica la propiedad distributiva.

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = - \frac{7 - 4 \sqrt{3}}{4} + 3 (\frac{1 \cdot 1 + 1 (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} (1 - \sqrt{3})}{4}) + 2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2})$

Paso 19.2.1.12.3

Aplica la propiedad distributiva.

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = - \frac{7 - 4 \sqrt{3}}{4} + 3 (\frac{1 \cdot 1 + 1 (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} \cdot 1 - \sqrt{3} (- \sqrt{3})}{4}) + 2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2})$

Paso 19.2.1.13

Simplifica y combina los términos similares.

Toca para ver más pasos...

Paso 19.2.1.13.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 19.2.1.13.1.1

Multiplica $1$ por $1$ .

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = - \frac{7 - 4 \sqrt{3}}{4} + 3 (\frac{1 + 1 (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} \cdot 1 - \sqrt{3} (- \sqrt{3})}{4}) + 2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2})$

Paso 19.2.1.13.1.2

Multiplica $- \sqrt{3}$ por $1$ .

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = - \frac{7 - 4 \sqrt{3}}{4} + 3 (\frac{1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} \cdot 1 - \sqrt{3} (- \sqrt{3})}{4}) + 2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2})$

Paso 19.2.1.13.1.3

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = - \frac{7 - 4 \sqrt{3}}{4} + 3 (\frac{1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} - \sqrt{3} (- \sqrt{3})}{4}) + 2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2})$

Paso 19.2.1.13.1.4

Multiplica $- \sqrt{3} (- \sqrt{3})$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 19.2.1.13.1.4.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = - \frac{7 - 4 \sqrt{3}}{4} + 3 (\frac{1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + 1 \sqrt{3} \sqrt{3}}{4}) + 2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2})$

Paso 19.2.1.13.1.4.2

Multiplica $\sqrt{3}$ por $1$ .

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = - \frac{7 - 4 \sqrt{3}}{4} + 3 (\frac{1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + \sqrt{3} \sqrt{3}}{4}) + 2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2})$

Paso 19.2.1.13.1.4.3

Eleva $\sqrt{3}$ a la potencia de $1$ .

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = - \frac{7 - 4 \sqrt{3}}{4} + 3 (\frac{1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + \sqrt{3} \sqrt{3}}{4}) + 2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2})$

Paso 19.2.1.13.1.4.4

Eleva $\sqrt{3}$ a la potencia de $1$ .

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = - \frac{7 - 4 \sqrt{3}}{4} + 3 (\frac{1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + \sqrt{3} \sqrt{3}}{4}) + 2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2})$

Paso 19.2.1.13.1.4.5

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = - \frac{7 - 4 \sqrt{3}}{4} + 3 (\frac{1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{1 + 1}}{4}) + 2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2})$

Paso 19.2.1.13.1.4.6

Suma $1$ y $1$ .

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = - \frac{7 - 4 \sqrt{3}}{4} + 3 (\frac{1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{2}}{4}) + 2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2})$

Paso 19.2.1.13.1.5

Reescribe ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 19.2.1.13.1.5.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = - \frac{7 - 4 \sqrt{3}}{4} + 3 (\frac{1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{4}) + 2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2})$

Paso 19.2.1.13.1.5.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = - \frac{7 - 4 \sqrt{3}}{4} + 3 (\frac{1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{4}) + 2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2})$

Paso 19.2.1.13.1.5.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = - \frac{7 - 4 \sqrt{3}}{4} + 3 (\frac{1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + 3^{\frac{2}{2}}}{4}) + 2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2})$

Paso 19.2.1.13.1.5.4

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 19.2.1.13.1.5.4.1

Cancela el factor común.

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = - \frac{7 - 4 \sqrt{3}}{4} + 3 (\frac{1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + 3^{\frac{2}{2}}}{4}) + 2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2})$

Paso 19.2.1.13.1.5.4.2

Reescribe la expresión.

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = - \frac{7 - 4 \sqrt{3}}{4} + 3 (\frac{1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + 3}{4}) + 2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2})$

Paso 19.2.1.13.1.5.5

Evalúa el exponente.

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = - \frac{7 - 4 \sqrt{3}}{4} + 3 (\frac{1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + 3}{4}) + 2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2})$

Paso 19.2.1.13.2

Suma $1$ y $3$ .

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = - \frac{7 - 4 \sqrt{3}}{4} + 3 (\frac{4 - \sqrt{3} - \sqrt{3}}{4}) + 2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2})$

Paso 19.2.1.13.3

Resta $\sqrt{3}$ de $- \sqrt{3}$ .

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = - \frac{7 - 4 \sqrt{3}}{4} + 3 (\frac{4 - 2 \sqrt{3}}{4}) + 2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2})$

Paso 19.2.1.14

Cancela el factor común de $4 - 2 \sqrt{3}$ y $4$ .

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Paso 19.2.1.14.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = - \frac{7 - 4 \sqrt{3}}{4} + 3 (\frac{2 (2) - 2 \sqrt{3}}{4}) + 2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2})$

Paso 19.2.1.14.2

Factoriza $2$ de $- 2 \sqrt{3}$ .

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = - \frac{7 - 4 \sqrt{3}}{4} + 3 (\frac{2 (2) + 2 (- \sqrt{3})}{4}) + 2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2})$

Paso 19.2.1.14.3

Factoriza $2$ de $2 (2) + 2 (- \sqrt{3})$ .

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = - \frac{7 - 4 \sqrt{3}}{4} + 3 (\frac{2 (2 - \sqrt{3})}{4}) + 2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2})$

Paso 19.2.1.14.4

Cancela los factores comunes.

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Paso 19.2.1.14.4.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = - \frac{7 - 4 \sqrt{3}}{4} + 3 (\frac{2 (2 - \sqrt{3})}{2 \cdot 2}) + 2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2})$

Paso 19.2.1.14.4.2

Cancela el factor común.

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = - \frac{7 - 4 \sqrt{3}}{4} + 3 (\frac{2 (2 - \sqrt{3})}{2 \cdot 2}) + 2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2})$

Paso 19.2.1.14.4.3

Reescribe la expresión.

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = - \frac{7 - 4 \sqrt{3}}{4} + 3 (\frac{2 - \sqrt{3}}{2}) + 2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2})$

Paso 19.2.1.15

Combina $3$ y $\frac{2 - \sqrt{3}}{2}$ .

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = - \frac{7 - 4 \sqrt{3}}{4} + \frac{3 (2 - \sqrt{3})}{2} + 2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2})$

Paso 19.2.1.16

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 19.2.1.16.1

Cancela el factor común.

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = - \frac{7 - 4 \sqrt{3}}{4} + \frac{3 (2 - \sqrt{3})}{2} + 2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2})$

Paso 19.2.1.16.2

Reescribe la expresión.

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = - \frac{7 - 4 \sqrt{3}}{4} + \frac{3 (2 - \sqrt{3})}{2} + 1 - \sqrt{3}$

Paso 19.2.2

Para escribir $\frac{3 (2 - \sqrt{3})}{2}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = - \frac{7 - 4 \sqrt{3}}{4} + \frac{3 (2 - \sqrt{3})}{2} \cdot \frac{2}{2} + 1 - \sqrt{3}$

Paso 19.2.3

Escribe cada expresión con un denominador común de $4$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 19.2.3.1

Multiplica $\frac{3 (2 - \sqrt{3})}{2}$ por $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = - \frac{7 - 4 \sqrt{3}}{4} + \frac{3 (2 - \sqrt{3}) \cdot 2}{2 \cdot 2} + 1 - \sqrt{3}$

Paso 19.2.3.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = - \frac{7 - 4 \sqrt{3}}{4} + \frac{3 (2 - \sqrt{3}) \cdot 2}{4} + 1 - \sqrt{3}$

Paso 19.2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = \frac{- (7 - 4 \sqrt{3}) + 3 (2 - \sqrt{3}) \cdot 2}{4} + 1 - \sqrt{3}$

Paso 19.2.5

Simplifica el numerador.

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Paso 19.2.5.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = \frac{- 1 \cdot 7 - (- 4 \sqrt{3}) + 3 (2 - \sqrt{3}) \cdot 2}{4} + 1 - \sqrt{3}$

Paso 19.2.5.2

Multiplica $- 1$ por $7$ .

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = \frac{- 7 - (- 4 \sqrt{3}) + 3 (2 - \sqrt{3}) \cdot 2}{4} + 1 - \sqrt{3}$

Paso 19.2.5.3

Multiplica $- 4$ por $- 1$ .

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = \frac{- 7 + 4 \sqrt{3} + 3 (2 - \sqrt{3}) \cdot 2}{4} + 1 - \sqrt{3}$

Paso 19.2.5.4

Aplica la propiedad distributiva.

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = \frac{- 7 + 4 \sqrt{3} + (3 \cdot 2 + 3 (- \sqrt{3})) \cdot 2}{4} + 1 - \sqrt{3}$

Paso 19.2.5.5

Multiplica $3$ por $2$ .

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = \frac{- 7 + 4 \sqrt{3} + (6 + 3 (- \sqrt{3})) \cdot 2}{4} + 1 - \sqrt{3}$

Paso 19.2.5.6

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = \frac{- 7 + 4 \sqrt{3} + (6 - 3 \sqrt{3}) \cdot 2}{4} + 1 - \sqrt{3}$

Paso 19.2.5.7

Aplica la propiedad distributiva.

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = \frac{- 7 + 4 \sqrt{3} + 6 \cdot 2 - 3 \sqrt{3} \cdot 2}{4} + 1 - \sqrt{3}$

Paso 19.2.5.8

Multiplica $6$ por $2$ .

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = \frac{- 7 + 4 \sqrt{3} + 12 - 3 \sqrt{3} \cdot 2}{4} + 1 - \sqrt{3}$

Paso 19.2.5.9

Multiplica $2$ por $- 3$ .

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = \frac{- 7 + 4 \sqrt{3} + 12 - 6 \sqrt{3}}{4} + 1 - \sqrt{3}$

Paso 19.2.5.10

Suma $- 7$ y $12$ .

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = \frac{5 + 4 \sqrt{3} - 6 \sqrt{3}}{4} + 1 - \sqrt{3}$

Paso 19.2.5.11

Resta $6 \sqrt{3}$ de $4 \sqrt{3}$ .

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = \frac{5 - 2 \sqrt{3}}{4} + 1 - \sqrt{3}$

Paso 19.2.6

Simplifica la expresión.

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Paso 19.2.6.1

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = \frac{5 - 2 \sqrt{3}}{4} + \frac{4}{4} - \sqrt{3}$

Paso 19.2.6.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = \frac{5 - 2 \sqrt{3} + 4}{4} - \sqrt{3}$

Paso 19.2.6.3

Suma $5$ y $4$ .

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = \frac{9 - 2 \sqrt{3}}{4} - \sqrt{3}$

Paso 19.2.7

Para escribir $- \sqrt{3}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{4}{4}$ .

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = \frac{9 - 2 \sqrt{3}}{4} - \sqrt{3} \cdot \frac{4}{4}$

Paso 19.2.8

Combina fracciones.

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Paso 19.2.8.1

Combina $- \sqrt{3}$ y $\frac{4}{4}$ .

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = \frac{9 - 2 \sqrt{3}}{4} + \frac{- \sqrt{3} \cdot 4}{4}$

Paso 19.2.8.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = \frac{9 - 2 \sqrt{3} - \sqrt{3} \cdot 4}{4}$

Paso 19.2.9

Simplifica el numerador.

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Paso 19.2.9.1

Multiplica $4$ por $- 1$ .

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = \frac{9 - 2 \sqrt{3} - 4 \sqrt{3}}{4}$

Paso 19.2.9.2

Resta $4 \sqrt{3}$ de $- 2 \sqrt{3}$ .

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = \frac{9 - 6 \sqrt{3}}{4}$

Paso 19.2.10

La respuesta final es $\frac{9 - 6 \sqrt{3}}{4}$ .

$y = \frac{9 - 6 \sqrt{3}}{4}$

Paso 20

Estos son los extremos locales de $f (x) = - x^{4} + 3 x^{2} + 2 x$ .

$(- 1, 0)$ es un máximo local

$(\frac{1 + \sqrt{3}}{2}, \frac{9 + 6 \sqrt{3}}{4})$ es un máximo local

$(\frac{1 - \sqrt{3}}{2}, \frac{9 - 6 \sqrt{3}}{4})$ es un mínimo local

Paso 21