Cálculo Ejemplos

$f (x) = 6 x^{\frac{7}{2}} + 4 x^{\frac{5}{2}} + 2 x$

Paso 1

Obtén la primera derivada.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $6 x^{\frac{7}{2}} + 4 x^{\frac{5}{2}} + 2 x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [6 x^{\frac{7}{2}}] + \frac{d}{d x} [4 x^{\frac{5}{2}}] + \frac{d}{d x} [2 x]$ .

$\frac{d}{d x} [6 x^{\frac{7}{2}}] + \frac{d}{d x} [4 x^{\frac{5}{2}}] + \frac{d}{d x} [2 x]$

Paso 1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [6 x^{\frac{7}{2}}]$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.1

Como $6$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $6 x^{\frac{7}{2}}$ con respecto a $x$ es $6 \frac{d}{d x} [x^{\frac{7}{2}}]$ .

$6 \frac{d}{d x} [x^{\frac{7}{2}}] + \frac{d}{d x} [4 x^{\frac{5}{2}}] + \frac{d}{d x} [2 x]$

Paso 1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = \frac{7}{2}$ .

$6 (\frac{7}{2} x^{\frac{7}{2} - 1}) + \frac{d}{d x} [4 x^{\frac{5}{2}}] + \frac{d}{d x} [2 x]$

Paso 1.2.3

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$6 (\frac{7}{2} x^{\frac{7}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d x} [4 x^{\frac{5}{2}}] + \frac{d}{d x} [2 x]$

Paso 1.2.4

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$6 (\frac{7}{2} x^{\frac{7}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [4 x^{\frac{5}{2}}] + \frac{d}{d x} [2 x]$

Paso 1.2.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$6 (\frac{7}{2} x^{\frac{7 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [4 x^{\frac{5}{2}}] + \frac{d}{d x} [2 x]$

Paso 1.2.6

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.6.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$6 (\frac{7}{2} x^{\frac{7 - 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [4 x^{\frac{5}{2}}] + \frac{d}{d x} [2 x]$

Paso 1.2.6.2

Resta $2$ de $7$ .

$6 (\frac{7}{2} x^{\frac{5}{2}}) + \frac{d}{d x} [4 x^{\frac{5}{2}}] + \frac{d}{d x} [2 x]$

Paso 1.2.7

Combina $\frac{7}{2}$ y $x^{\frac{5}{2}}$ .

$6 \frac{7 x^{\frac{5}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [4 x^{\frac{5}{2}}] + \frac{d}{d x} [2 x]$

Paso 1.2.8

Combina $6$ y $\frac{7 x^{\frac{5}{2}}}{2}$ .

$\frac{6 (7 x^{\frac{5}{2}})}{2} + \frac{d}{d x} [4 x^{\frac{5}{2}}] + \frac{d}{d x} [2 x]$

Paso 1.2.9

Multiplica $7$ por $6$ .

$\frac{42 x^{\frac{5}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [4 x^{\frac{5}{2}}] + \frac{d}{d x} [2 x]$

Paso 1.2.10

Factoriza $2$ de $42 x^{\frac{5}{2}}$ .

$\frac{2 (21 x^{\frac{5}{2}})}{2} + \frac{d}{d x} [4 x^{\frac{5}{2}}] + \frac{d}{d x} [2 x]$

Paso 1.2.11

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.11.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$\frac{2 (21 x^{\frac{5}{2}})}{2 (1)} + \frac{d}{d x} [4 x^{\frac{5}{2}}] + \frac{d}{d x} [2 x]$

Paso 1.2.11.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 (21 x^{\frac{5}{2}})}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [4 x^{\frac{5}{2}}] + \frac{d}{d x} [2 x]$

Paso 1.2.11.3

Reescribe la expresión.

$\frac{21 x^{\frac{5}{2}}}{1} + \frac{d}{d x} [4 x^{\frac{5}{2}}] + \frac{d}{d x} [2 x]$

Paso 1.2.11.4

Divide $21 x^{\frac{5}{2}}$ por $1$ .

$21 x^{\frac{5}{2}} + \frac{d}{d x} [4 x^{\frac{5}{2}}] + \frac{d}{d x} [2 x]$

Paso 1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [4 x^{\frac{5}{2}}]$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.3.1

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 x^{\frac{5}{2}}$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{2}}]$ .

$21 x^{\frac{5}{2}} + 4 \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{2}}] + \frac{d}{d x} [2 x]$

Paso 1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = \frac{5}{2}$ .

$21 x^{\frac{5}{2}} + 4 (\frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} - 1}) + \frac{d}{d x} [2 x]$

Paso 1.3.3

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$21 x^{\frac{5}{2}} + 4 (\frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d x} [2 x]$

Paso 1.3.4

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$21 x^{\frac{5}{2}} + 4 (\frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [2 x]$

Paso 1.3.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$21 x^{\frac{5}{2}} + 4 (\frac{5}{2} x^{\frac{5 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [2 x]$

Paso 1.3.6

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.3.6.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$21 x^{\frac{5}{2}} + 4 (\frac{5}{2} x^{\frac{5 - 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [2 x]$

Paso 1.3.6.2

Resta $2$ de $5$ .

$21 x^{\frac{5}{2}} + 4 (\frac{5}{2} x^{\frac{3}{2}}) + \frac{d}{d x} [2 x]$

Paso 1.3.7

Combina $\frac{5}{2}$ y $x^{\frac{3}{2}}$ .

$21 x^{\frac{5}{2}} + 4 \frac{5 x^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [2 x]$

Paso 1.3.8

Combina $4$ y $\frac{5 x^{\frac{3}{2}}}{2}$ .

$21 x^{\frac{5}{2}} + \frac{4 (5 x^{\frac{3}{2}})}{2} + \frac{d}{d x} [2 x]$

Paso 1.3.9

Multiplica $5$ por $4$ .

$21 x^{\frac{5}{2}} + \frac{20 x^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [2 x]$

Paso 1.3.10

Factoriza $2$ de $20 x^{\frac{3}{2}}$ .

$21 x^{\frac{5}{2}} + \frac{2 (10 x^{\frac{3}{2}})}{2} + \frac{d}{d x} [2 x]$

Paso 1.3.11

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.3.11.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$21 x^{\frac{5}{2}} + \frac{2 (10 x^{\frac{3}{2}})}{2 (1)} + \frac{d}{d x} [2 x]$

Paso 1.3.11.2

Cancela el factor común.

$21 x^{\frac{5}{2}} + \frac{2 (10 x^{\frac{3}{2}})}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [2 x]$

Paso 1.3.11.3

Reescribe la expresión.

$21 x^{\frac{5}{2}} + \frac{10 x^{\frac{3}{2}}}{1} + \frac{d}{d x} [2 x]$

Paso 1.3.11.4

Divide $10 x^{\frac{3}{2}}$ por $1$ .

$21 x^{\frac{5}{2}} + 10 x^{\frac{3}{2}} + \frac{d}{d x} [2 x]$

Paso 1.4

Evalúa $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.4.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$21 x^{\frac{5}{2}} + 10 x^{\frac{3}{2}} + 2 \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$21 x^{\frac{5}{2}} + 10 x^{\frac{3}{2}} + 2 \cdot 1$

Paso 1.4.3

Multiplica $2$ por $1$ .

$f' (x) = 21 x^{\frac{5}{2}} + 10 x^{\frac{3}{2}} + 2$

Paso 2

Obtener la segunda derivada.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $21 x^{\frac{5}{2}} + 10 x^{\frac{3}{2}} + 2$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [21 x^{\frac{5}{2}}] + \frac{d}{d x} [10 x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [21 x^{\frac{5}{2}}] + \frac{d}{d x} [10 x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [2]$

Paso 2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [21 x^{\frac{5}{2}}]$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.1

Como $21$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $21 x^{\frac{5}{2}}$ con respecto a $x$ es $21 \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{2}}]$ .

$21 \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{2}}] + \frac{d}{d x} [10 x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [2]$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = \frac{5}{2}$ .

$21 (\frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} - 1}) + \frac{d}{d x} [10 x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [2]$

Paso 2.2.3

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$21 (\frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d x} [10 x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [2]$

Paso 2.2.4

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$21 (\frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [10 x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [2]$

Paso 2.2.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$21 (\frac{5}{2} x^{\frac{5 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [10 x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [2]$

Paso 2.2.6

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.6.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$21 (\frac{5}{2} x^{\frac{5 - 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [10 x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [2]$

Paso 2.2.6.2

Resta $2$ de $5$ .

$21 (\frac{5}{2} x^{\frac{3}{2}}) + \frac{d}{d x} [10 x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [2]$

Paso 2.2.7

Combina $\frac{5}{2}$ y $x^{\frac{3}{2}}$ .

$21 \frac{5 x^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [10 x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [2]$

Paso 2.2.8

Combina $21$ y $\frac{5 x^{\frac{3}{2}}}{2}$ .

$\frac{21 (5 x^{\frac{3}{2}})}{2} + \frac{d}{d x} [10 x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [2]$

Paso 2.2.9

Multiplica $5$ por $21$ .

$\frac{105 x^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [10 x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [2]$

Paso 2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [10 x^{\frac{3}{2}}]$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.1

Como $10$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $10 x^{\frac{3}{2}}$ con respecto a $x$ es $10 \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$ .

$\frac{105 x^{\frac{3}{2}}}{2} + 10 \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [2]$

Paso 2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = \frac{3}{2}$ .

$\frac{105 x^{\frac{3}{2}}}{2} + 10 (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1}) + \frac{d}{d x} [2]$

Paso 2.3.3

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{105 x^{\frac{3}{2}}}{2} + 10 (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d x} [2]$

Paso 2.3.4

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{105 x^{\frac{3}{2}}}{2} + 10 (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [2]$

Paso 2.3.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{105 x^{\frac{3}{2}}}{2} + 10 (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [2]$

Paso 2.3.6

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.6.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{105 x^{\frac{3}{2}}}{2} + 10 (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [2]$

Paso 2.3.6.2

Resta $2$ de $3$ .

$\frac{105 x^{\frac{3}{2}}}{2} + 10 (\frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} [2]$

Paso 2.3.7

Combina $\frac{3}{2}$ y $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{105 x^{\frac{3}{2}}}{2} + 10 \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [2]$

Paso 2.3.8

Combina $10$ y $\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{105 x^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{10 (3 x^{\frac{1}{2}})}{2} + \frac{d}{d x} [2]$

Paso 2.3.9

Multiplica $3$ por $10$ .

$\frac{105 x^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{30 x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [2]$

Paso 2.3.10

Factoriza $2$ de $30 x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{105 x^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{2 (15 x^{\frac{1}{2}})}{2} + \frac{d}{d x} [2]$

Paso 2.3.11

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.11.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$\frac{105 x^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{2 (15 x^{\frac{1}{2}})}{2 (1)} + \frac{d}{d x} [2]$

Paso 2.3.11.2

Cancela el factor común.

$\frac{105 x^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{2 (15 x^{\frac{1}{2}})}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [2]$

Paso 2.3.11.3

Reescribe la expresión.

$\frac{105 x^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{15 x^{\frac{1}{2}}}{1} + \frac{d}{d x} [2]$

Paso 2.3.11.4

Divide $15 x^{\frac{1}{2}}$ por $1$ .

$\frac{105 x^{\frac{3}{2}}}{2} + 15 x^{\frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [2]$

Paso 2.4

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{105 x^{\frac{3}{2}}}{2} + 15 x^{\frac{1}{2}} + 0$

Paso 2.5

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.5.1

Suma $\frac{105 x^{\frac{3}{2}}}{2} + 15 x^{\frac{1}{2}}$ y $0$ .

$\frac{105 x^{\frac{3}{2}}}{2} + 15 x^{\frac{1}{2}}$

Paso 2.5.2

Reordena los términos.

$f'' (x) = 15 x^{\frac{1}{2}} + \frac{105 x^{\frac{3}{2}}}{2}$

Paso 3

La segunda derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $15 x^{\frac{1}{2}} + \frac{105 x^{\frac{3}{2}}}{2}$ .

$15 x^{\frac{1}{2}} + \frac{105 x^{\frac{3}{2}}}{2}$