Cálculo Ejemplos

$\frac{3}{10} x^{5} + 5 x^{4}$

Paso 1

Escribe $\frac{3}{10} x^{5} + 5 x^{4}$ como una función.

$f (x) = \frac{3}{10} x^{5} + 5 x^{4}$

Paso 2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 2.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 2.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $\frac{3}{10} x^{5} + 5 x^{4}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [\frac{3}{10} x^{5}] + \frac{d}{d x} [5 x^{4}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{3}{10} x^{5}] + \frac{d}{d x} [5 x^{4}]$

Paso 2.1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [\frac{3}{10} x^{5}]$ .

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Paso 2.1.2.1

Como $\frac{3}{10}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{3}{10} x^{5}$ con respecto a $x$ es $\frac{3}{10} \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$\frac{3}{10} \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [5 x^{4}]$

Paso 2.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 5$ .

$\frac{3}{10} (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [5 x^{4}]$

Paso 2.1.2.3

Combina $5$ y $\frac{3}{10}$ .

$\frac{5 \cdot 3}{10} x^{4} + \frac{d}{d x} [5 x^{4}]$

Paso 2.1.2.4

Multiplica $5$ por $3$ .

$\frac{15}{10} x^{4} + \frac{d}{d x} [5 x^{4}]$

Paso 2.1.2.5

Combina $\frac{15}{10}$ y $x^{4}$ .

$\frac{15 x^{4}}{10} + \frac{d}{d x} [5 x^{4}]$

Paso 2.1.2.6

Cancela el factor común de $15$ y $10$ .

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Paso 2.1.2.6.1

Factoriza $5$ de $15 x^{4}$ .

$\frac{5 (3 x^{4})}{10} + \frac{d}{d x} [5 x^{4}]$

Paso 2.1.2.6.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.1.2.6.2.1

Factoriza $5$ de $10$ .

$\frac{5 (3 x^{4})}{5 (2)} + \frac{d}{d x} [5 x^{4}]$

Paso 2.1.2.6.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{5 (3 x^{4})}{5 \cdot 2} + \frac{d}{d x} [5 x^{4}]$

Paso 2.1.2.6.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{3 x^{4}}{2} + \frac{d}{d x} [5 x^{4}]$

Paso 2.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [5 x^{4}]$ .

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Paso 2.1.3.1

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5 x^{4}$ con respecto a $x$ es $5 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$\frac{3 x^{4}}{2} + 5 \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Paso 2.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$\frac{3 x^{4}}{2} + 5 (4 x^{3})$

Paso 2.1.3.3

Multiplica $4$ por $5$ .

$f' (x) = \frac{3 x^{4}}{2} + 20 x^{3}$

Paso 2.2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 2.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $\frac{3 x^{4}}{2} + 20 x^{3}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [\frac{3 x^{4}}{2}] + \frac{d}{d x} [20 x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{3 x^{4}}{2}] + \frac{d}{d x} [20 x^{3}]$

Paso 2.2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [\frac{3 x^{4}}{2}]$ .

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Paso 2.2.2.1

Como $\frac{3}{2}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{3 x^{4}}{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{3}{2} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$\frac{3}{2} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [20 x^{3}]$

Paso 2.2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$\frac{3}{2} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [20 x^{3}]$

Paso 2.2.2.3

Combina $4$ y $\frac{3}{2}$ .

$\frac{4 \cdot 3}{2} x^{3} + \frac{d}{d x} [20 x^{3}]$

Paso 2.2.2.4

Multiplica $4$ por $3$ .

$\frac{12}{2} x^{3} + \frac{d}{d x} [20 x^{3}]$

Paso 2.2.2.5

Combina $\frac{12}{2}$ y $x^{3}$ .

$\frac{12 x^{3}}{2} + \frac{d}{d x} [20 x^{3}]$

Paso 2.2.2.6

Cancela el factor común de $12$ y $2$ .

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Paso 2.2.2.6.1

Factoriza $2$ de $12 x^{3}$ .

$\frac{2 (6 x^{3})}{2} + \frac{d}{d x} [20 x^{3}]$

Paso 2.2.2.6.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.2.2.6.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$\frac{2 (6 x^{3})}{2 (1)} + \frac{d}{d x} [20 x^{3}]$

Paso 2.2.2.6.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 (6 x^{3})}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [20 x^{3}]$

Paso 2.2.2.6.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{6 x^{3}}{1} + \frac{d}{d x} [20 x^{3}]$

Paso 2.2.2.6.2.4

Divide $6 x^{3}$ por $1$ .

$6 x^{3} + \frac{d}{d x} [20 x^{3}]$

Paso 2.2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [20 x^{3}]$ .

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Paso 2.2.3.1

Como $20$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $20 x^{3}$ con respecto a $x$ es $20 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$6 x^{3} + 20 \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Paso 2.2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$6 x^{3} + 20 (3 x^{2})$

Paso 2.2.3.3

Multiplica $3$ por $20$ .

$f'' (x) = 6 x^{3} + 60 x^{2}$

Paso 2.3

La segunda derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $6 x^{3} + 60 x^{2}$ .

$6 x^{3} + 60 x^{2}$

Paso 3

Establece la segunda derivada igual a $0$ luego resuelve la ecuación $6 x^{3} + 60 x^{2} = 0$ .

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Paso 3.1

Establece la segunda derivada igual a $0$ .

$6 x^{3} + 60 x^{2} = 0$

Paso 3.2

Factoriza $6 x^{2}$ de $6 x^{3} + 60 x^{2}$ .

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Paso 3.2.1

Factoriza $6 x^{2}$ de $6 x^{3}$ .

$6 x^{2} (x) + 60 x^{2} = 0$

Paso 3.2.2

Factoriza $6 x^{2}$ de $60 x^{2}$ .

$6 x^{2} (x) + 6 x^{2} (10) = 0$

Paso 3.2.3

Factoriza $6 x^{2}$ de $6 x^{2} (x) + 6 x^{2} (10)$ .

$6 x^{2} (x + 10) = 0$

Paso 3.3

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x^{2} = 0$

$x + 10 = 0$

Paso 3.4

Establece $x^{2}$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 3.4.1

Establece $x^{2}$ igual a $0$ .

$x^{2} = 0$

Paso 3.4.2

Resuelve $x^{2} = 0$ en $x$ .

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Paso 3.4.2.1

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$x = \pm \sqrt{0}$

Paso 3.4.2.2

Simplifica $\pm \sqrt{0}$ .

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Paso 3.4.2.2.1

Reescribe $0$ como $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Paso 3.4.2.2.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$x = \pm 0$

Paso 3.4.2.2.3

Más o menos $0$ es $0$ .

$x = 0$

Paso 3.5

Establece $x + 10$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 3.5.1

Establece $x + 10$ igual a $0$ .

$x + 10 = 0$

Paso 3.5.2

Resta $10$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 10$

Paso 3.6

La solución final comprende todos los valores que hacen $6 x^{2} (x + 10) = 0$ verdadera.

$x = 0, - 10$

Paso 4

Obtén los puntos donde la segunda derivada es $0$ .

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Paso 4.1

Sustituye $0$ en $f (x) = \frac{3}{10} x^{5} + 5 x^{4}$ para obtener el valor de $y$ .

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Paso 4.1.1

Reemplaza la variable $x$ con $0$ en la expresión.

$f (0) = \frac{3}{10} \cdot {(0)}^{5} + 5 {(0)}^{4}$

Paso 4.1.2

Simplifica el resultado.

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Paso 4.1.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.1.2.1.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$f (0) = \frac{3}{10} \cdot 0 + 5 {(0)}^{4}$

Paso 4.1.2.1.2

Multiplica $\frac{3}{10}$ por $0$ .

$f (0) = 0 + 5 {(0)}^{4}$

Paso 4.1.2.1.3

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$f (0) = 0 + 5 \cdot 0$

Paso 4.1.2.1.4

Multiplica $5$ por $0$ .

$f (0) = 0 + 0$

Paso 4.1.2.2

Suma $0$ y $0$ .

$f (0) = 0$

Paso 4.1.2.3

La respuesta final es $0$ .

$0$

Paso 4.2

El punto que se obtiene mediante la sustitución de $0$ en $f (x) = \frac{3}{10} x^{5} + 5 x^{4}$ es $(0, 0)$ . Este puede ser un punto de inflexión.

$(0, 0)$

Paso 4.3

Sustituye $- 10$ en $f (x) = \frac{3}{10} x^{5} + 5 x^{4}$ para obtener el valor de $y$ .

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Paso 4.3.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 10$ en la expresión.

$f (- 10) = \frac{3}{10} \cdot {(- 10)}^{5} + 5 {(- 10)}^{4}$

Paso 4.3.2

Simplifica el resultado.

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Paso 4.3.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.3.2.1.1

Eleva $- 10$ a la potencia de $5$ .

$f (- 10) = \frac{3}{10} \cdot - 100000 + 5 {(- 10)}^{4}$

Paso 4.3.2.1.2

Cancela el factor común de $10$ .

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Paso 4.3.2.1.2.1

Factoriza $10$ de $- 100000$ .

$f (- 10) = \frac{3}{10} \cdot (10 (- 10000)) + 5 {(- 10)}^{4}$

Paso 4.3.2.1.2.2

Cancela el factor común.

$f (- 10) = \frac{3}{10} \cdot (10 \cdot - 10000) + 5 {(- 10)}^{4}$

Paso 4.3.2.1.2.3

Reescribe la expresión.

$f (- 10) = 3 \cdot - 10000 + 5 {(- 10)}^{4}$

Paso 4.3.2.1.3

Multiplica $3$ por $- 10000$ .

$f (- 10) = - 30000 + 5 {(- 10)}^{4}$

Paso 4.3.2.1.4

Eleva $- 10$ a la potencia de $4$ .

$f (- 10) = - 30000 + 5 \cdot 10000$

Paso 4.3.2.1.5

Multiplica $5$ por $10000$ .

$f (- 10) = - 30000 + 50000$

Paso 4.3.2.2

Suma $- 30000$ y $50000$ .

$f (- 10) = 20000$

Paso 4.3.2.3

La respuesta final es $20000$ .

$20000$

Paso 4.4

El punto que se obtiene mediante la sustitución de $- 10$ en $f (x) = \frac{3}{10} x^{5} + 5 x^{4}$ es $(- 10, 20000)$ . Este puede ser un punto de inflexión.

$(- 10, 20000)$

Paso 4.5

Determinar los puntos que podrían ser puntos de inflexión.

$(0, 0), (- 10, 20000)$

Paso 5

Divide $(- \infty, \infty)$ en intervalos alrededor de los puntos que podrían ser puntos de inflexión.

$(- \infty, - 10) \cup (- 10, 0) \cup (0, \infty)$

Paso 6

Sustituye un valor del intervalo $(- \infty, - 10)$ en la segunda derivada para determinar si está aumentando o disminuyendo.

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Paso 6.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 10.1$ en la expresión.

$f'' (- 10.1) = 6 {(- 10.1)}^{3} + 60 {(- 10.1)}^{2}$

Paso 6.2

Simplifica el resultado.

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Paso 6.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 6.2.1.1

Eleva $- 10.1$ a la potencia de $3$ .

$f'' (- 10.1) = 6 \cdot - 1030.301 + 60 {(- 10.1)}^{2}$

Paso 6.2.1.2

Multiplica $6$ por $- 1030.301$ .

$f'' (- 10.1) = - 6181.806 + 60 {(- 10.1)}^{2}$

Paso 6.2.1.3

Eleva $- 10.1$ a la potencia de $2$ .

$f'' (- 10.1) = - 6181.806 + 60 \cdot 102.01$

Paso 6.2.1.4

Multiplica $60$ por $102.01$ .

$f'' (- 10.1) = - 6181.806 + 6120.6$

Paso 6.2.2

Suma $- 6181.806$ y $6120.6$ .

$f'' (- 10.1) = - 61.206$

Paso 6.2.3

La respuesta final es $- 61.206$ .

$- 61.206$

Paso 6.3

En $- 10.1$ , la segunda derivada es $- 61.206$ . Dado que esto es negativo, la segunda derivada disminuye en el intervalo $(- \infty, - 10)$ .

Decrecimiento en $(- \infty, - 10)$ desde $f'' (x) < 0$

Paso 7

Sustituye un valor del intervalo $(- 10, 0)$ en la segunda derivada para determinar si está aumentando o disminuyendo.

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Paso 7.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 5$ en la expresión.

$f'' (- 5) = 6 {(- 5)}^{3} + 60 {(- 5)}^{2}$

Paso 7.2

Simplifica el resultado.

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Paso 7.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 7.2.1.1

Eleva $- 5$ a la potencia de $3$ .

$f'' (- 5) = 6 \cdot - 125 + 60 {(- 5)}^{2}$

Paso 7.2.1.2

Multiplica $6$ por $- 125$ .

$f'' (- 5) = - 750 + 60 {(- 5)}^{2}$

Paso 7.2.1.3

Eleva $- 5$ a la potencia de $2$ .

$f'' (- 5) = - 750 + 60 \cdot 25$

Paso 7.2.1.4

Multiplica $60$ por $25$ .

$f'' (- 5) = - 750 + 1500$

Paso 7.2.2

Suma $- 750$ y $1500$ .

$f'' (- 5) = 750$

Paso 7.2.3

La respuesta final es $750$ .

$750$

Paso 7.3

En $- 5$ , la segunda derivada es $750$ . Dado que esto es positivo, la segunda derivada aumenta en el intervalo $(- 10, 0)$ .

Incremento en $(- 10, 0)$ ya que $f'' (x) > 0$

Paso 8

Sustituye un valor del intervalo $(0, \infty)$ en la segunda derivada para determinar si está aumentando o disminuyendo.

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Paso 8.1

Reemplaza la variable $x$ con $0.1$ en la expresión.

$f'' (0.1) = 6 {(0.1)}^{3} + 60 {(0.1)}^{2}$

Paso 8.2

Simplifica el resultado.

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Paso 8.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 8.2.1.1

Eleva $0.1$ a la potencia de $3$ .

$f'' (0.1) = 6 \cdot 0.001 + 60 {(0.1)}^{2}$

Paso 8.2.1.2

Multiplica $6$ por $0.001$ .

$f'' (0.1) = 0.006 + 60 {(0.1)}^{2}$

Paso 8.2.1.3

Eleva $0.1$ a la potencia de $2$ .

$f'' (0.1) = 0.006 + 60 \cdot 0.01$

Paso 8.2.1.4

Multiplica $60$ por $0.01$ .

$f'' (0.1) = 0.006 + 0.6$

Paso 8.2.2

Suma $0.006$ y $0.6$ .

$f'' (0.1) = 0.606$

Paso 8.2.3

La respuesta final es $0.606$ .

$0.606$

Paso 8.3

En $0.1$ , la segunda derivada es $0.606$ . Dado que esto es positivo, la segunda derivada aumenta en el intervalo $(0, \infty)$ .

Incremento en $(0, \infty)$ ya que $f'' (x) > 0$

Paso 9

Un punto de inflexión es un punto en una curva en el que la concavidad cambia de signo de más a menos o de menos a más. El punto de inflexión en este caso es $(- 10, 20000)$ .

$(- 10, 20000)$

Paso 10