Cálculo Ejemplos

$y = \frac{x}{2 x + 1}$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{x}{2 x + 1})$

Paso 2

La derivada de $y$ con respecto a $x$ es $y'$ .

$y'$

Paso 3

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = 2 x + 1$ .

$\frac{(2 x + 1) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [2 x + 1]}{{(2 x + 1)}^{2}}$

Paso 3.2

Diferencia.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.2.1

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{(2 x + 1) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [2 x + 1]}{{(2 x + 1)}^{2}}$

Paso 3.2.2

Multiplica $2 x + 1$ por $1$ .

$\frac{2 x + 1 - x \frac{d}{d x} [2 x + 1]}{{(2 x + 1)}^{2}}$

Paso 3.2.3

Según la regla de la suma, la derivada de $2 x + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{2 x + 1 - x (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1])}{{(2 x + 1)}^{2}}$

Paso 3.2.4

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{2 x + 1 - x (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])}{{(2 x + 1)}^{2}}$

Paso 3.2.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{2 x + 1 - x (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1])}{{(2 x + 1)}^{2}}$

Paso 3.2.6

Multiplica $2$ por $1$ .

$\frac{2 x + 1 - x (2 + \frac{d}{d x} [1])}{{(2 x + 1)}^{2}}$

Paso 3.2.7

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{2 x + 1 - x (2 + 0)}{{(2 x + 1)}^{2}}$

Paso 3.2.8

Simplifica mediante la adición de términos.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.2.8.1

Suma $2$ y $0$ .

$\frac{2 x + 1 - x \cdot 2}{{(2 x + 1)}^{2}}$

Paso 3.2.8.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{2 x + 1 - 2 x}{{(2 x + 1)}^{2}}$

Paso 3.2.8.3

Resta $2 x$ de $2 x$ .

$\frac{0 + 1}{{(2 x + 1)}^{2}}$

Paso 3.2.8.4

Suma $0$ y $1$ .

$\frac{1}{{(2 x + 1)}^{2}}$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$y' = \frac{1}{{(2 x + 1)}^{2}}$

Paso 5

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{{(2 x + 1)}^{2}}$