Cálculo Ejemplos

$\frac{1}{4} x^{4} + 5 x^{3} + \frac{75}{2} x^{2}$

Paso 1

Escribe $\frac{1}{4} x^{4} + 5 x^{3} + \frac{75}{2} x^{2}$ como una función.

$f (x) = \frac{1}{4} x^{4} + 5 x^{3} + \frac{75}{2} x^{2}$

Paso 2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 2.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 2.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $\frac{1}{4} x^{4} + 5 x^{3} + \frac{75}{2} x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{4}] + \frac{d}{d x} [5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{75}{2} x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{4}] + \frac{d}{d x} [5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{75}{2} x^{2}]$

Paso 2.1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{4}]$ .

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Paso 2.1.2.1

Como $\frac{1}{4}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{1}{4} x^{4}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{75}{2} x^{2}]$

Paso 2.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$\frac{1}{4} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{75}{2} x^{2}]$

Paso 2.1.2.3

Combina $4$ y $\frac{1}{4}$ .

$\frac{4}{4} x^{3} + \frac{d}{d x} [5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{75}{2} x^{2}]$

Paso 2.1.2.4

Combina $\frac{4}{4}$ y $x^{3}$ .

$\frac{4 x^{3}}{4} + \frac{d}{d x} [5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{75}{2} x^{2}]$

Paso 2.1.2.5

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 2.1.2.5.1

Cancela el factor común.

$\frac{4 x^{3}}{4} + \frac{d}{d x} [5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{75}{2} x^{2}]$

Paso 2.1.2.5.2

Divide $x^{3}$ por $1$ .

$x^{3} + \frac{d}{d x} [5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{75}{2} x^{2}]$

Paso 2.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [5 x^{3}]$ .

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Paso 2.1.3.1

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5 x^{3}$ con respecto a $x$ es $5 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$x^{3} + 5 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{75}{2} x^{2}]$

Paso 2.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$x^{3} + 5 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [\frac{75}{2} x^{2}]$

Paso 2.1.3.3

Multiplica $3$ por $5$ .

$x^{3} + 15 x^{2} + \frac{d}{d x} [\frac{75}{2} x^{2}]$

Paso 2.1.4

Evalúa $\frac{d}{d x} [\frac{75}{2} x^{2}]$ .

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Paso 2.1.4.1

Como $\frac{75}{2}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{75}{2} x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{75}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$x^{3} + 15 x^{2} + \frac{75}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 2.1.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$x^{3} + 15 x^{2} + \frac{75}{2} (2 x)$

Paso 2.1.4.3

Combina $2$ y $\frac{75}{2}$ .

$x^{3} + 15 x^{2} + \frac{2 \cdot 75}{2} x$

Paso 2.1.4.4

Multiplica $2$ por $75$ .

$x^{3} + 15 x^{2} + \frac{150}{2} x$

Paso 2.1.4.5

Combina $\frac{150}{2}$ y $x$ .

$x^{3} + 15 x^{2} + \frac{150 x}{2}$

Paso 2.1.4.6

Cancela el factor común de $150$ y $2$ .

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Paso 2.1.4.6.1

Factoriza $2$ de $150 x$ .

$x^{3} + 15 x^{2} + \frac{2 (75 x)}{2}$

Paso 2.1.4.6.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.1.4.6.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$x^{3} + 15 x^{2} + \frac{2 (75 x)}{2 (1)}$

Paso 2.1.4.6.2.2

Cancela el factor común.

$x^{3} + 15 x^{2} + \frac{2 (75 x)}{2 \cdot 1}$

Paso 2.1.4.6.2.3

Reescribe la expresión.

$x^{3} + 15 x^{2} + \frac{75 x}{1}$

Paso 2.1.4.6.2.4

Divide $75 x$ por $1$ .

$f' (x) = x^{3} + 15 x^{2} + 75 x$

Paso 2.2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 2.2.1

Diferencia.

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Paso 2.2.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{3} + 15 x^{2} + 75 x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [15 x^{2}] + \frac{d}{d x} [75 x]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [15 x^{2}] + \frac{d}{d x} [75 x]$

Paso 2.2.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [15 x^{2}] + \frac{d}{d x} [75 x]$

Paso 2.2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [15 x^{2}]$ .

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Paso 2.2.2.1

Como $15$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $15 x^{2}$ con respecto a $x$ es $15 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 x^{2} + 15 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [75 x]$

Paso 2.2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$3 x^{2} + 15 (2 x) + \frac{d}{d x} [75 x]$

Paso 2.2.2.3

Multiplica $2$ por $15$ .

$3 x^{2} + 30 x + \frac{d}{d x} [75 x]$

Paso 2.2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [75 x]$ .

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Paso 2.2.3.1

Como $75$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $75 x$ con respecto a $x$ es $75 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 x^{2} + 30 x + 75 \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$3 x^{2} + 30 x + 75 \cdot 1$

Paso 2.2.3.3

Multiplica $75$ por $1$ .

$f'' (x) = 3 x^{2} + 30 x + 75$

Paso 2.3

La segunda derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $3 x^{2} + 30 x + 75$ .

$3 x^{2} + 30 x + 75$

Paso 3

Establece la segunda derivada igual a $0$ luego resuelve la ecuación $3 x^{2} + 30 x + 75 = 0$ .

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Paso 3.1

Establece la segunda derivada igual a $0$ .

$3 x^{2} + 30 x + 75 = 0$

Paso 3.2

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 3.2.1

Factoriza $3$ de $3 x^{2} + 30 x + 75$ .

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Paso 3.2.1.1

Factoriza $3$ de $3 x^{2}$ .

$3 (x^{2}) + 30 x + 75 = 0$

Paso 3.2.1.2

Factoriza $3$ de $30 x$ .

$3 (x^{2}) + 3 (10 x) + 75 = 0$

Paso 3.2.1.3

Factoriza $3$ de $75$ .

$3 x^{2} + 3 (10 x) + 3 \cdot 25 = 0$

Paso 3.2.1.4

Factoriza $3$ de $3 x^{2} + 3 (10 x)$ .

$3 (x^{2} + 10 x) + 3 \cdot 25 = 0$

Paso 3.2.1.5

Factoriza $3$ de $3 (x^{2} + 10 x) + 3 \cdot 25$ .

$3 (x^{2} + 10 x + 25) = 0$

Paso 3.2.2

Factoriza con la regla del cuadrado perfecto.

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Paso 3.2.2.1

Reescribe $25$ como $5^{2}$ .

$3 (x^{2} + 10 x + 5^{2}) = 0$

Paso 3.2.2.2

Comprueba que el término medio sea dos veces el producto de los números que se elevan al cuadrado en el primer término y el tercer término.

$10 x = 2 \cdot x \cdot 5$

Paso 3.2.2.3

Reescribe el polinomio.

$3 (x^{2} + 2 \cdot x \cdot 5 + 5^{2}) = 0$

Paso 3.2.2.4

Factoriza con la regla del trinomio cuadrado perfecto $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , donde $a = x$ y $b = 5$ .

$3 {(x + 5)}^{2} = 0$

Paso 3.3

Divide cada término en $3 {(x + 5)}^{2} = 0$ por $3$ y simplifica.

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Paso 3.3.1

Divide cada término en $3 {(x + 5)}^{2} = 0$ por $3$ .

$\frac{3 {(x + 5)}^{2}}{3} = \frac{0}{3}$

Paso 3.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.3.2.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 3.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 {(x + 5)}^{2}}{3} = \frac{0}{3}$

Paso 3.3.2.1.2

Divide ${(x + 5)}^{2}$ por $1$ .

${(x + 5)}^{2} = \frac{0}{3}$

Paso 3.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.3.3.1

Divide $0$ por $3$ .

${(x + 5)}^{2} = 0$

Paso 3.4

Establece $x + 5$ igual a $0$ .

$x + 5 = 0$

Paso 3.5

Resta $5$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 5$

Paso 4

Obtén los puntos donde la segunda derivada es $0$ .

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Paso 4.1

Sustituye $- 5$ en $f (x) = \frac{1}{4} x^{4} + 5 x^{3} + \frac{75}{2} x^{2}$ para obtener el valor de $y$ .

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Paso 4.1.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 5$ en la expresión.

$f (- 5) = \frac{1}{4} \cdot {(- 5)}^{4} + 5 {(- 5)}^{3} + \frac{75}{2} \cdot {(- 5)}^{2}$

Paso 4.1.2

Simplifica el resultado.

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Paso 4.1.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.1.2.1.1

Eleva $- 5$ a la potencia de $4$ .

$f (- 5) = \frac{1}{4} \cdot 625 + 5 {(- 5)}^{3} + \frac{75}{2} \cdot {(- 5)}^{2}$

Paso 4.1.2.1.2

Combina $\frac{1}{4}$ y $625$ .

$f (- 5) = \frac{625}{4} + 5 {(- 5)}^{3} + \frac{75}{2} \cdot {(- 5)}^{2}$

Paso 4.1.2.1.3

Eleva $- 5$ a la potencia de $3$ .

$f (- 5) = \frac{625}{4} + 5 \cdot - 125 + \frac{75}{2} \cdot {(- 5)}^{2}$

Paso 4.1.2.1.4

Multiplica $5$ por $- 125$ .

$f (- 5) = \frac{625}{4} - 625 + \frac{75}{2} \cdot {(- 5)}^{2}$

Paso 4.1.2.1.5

Eleva $- 5$ a la potencia de $2$ .

$f (- 5) = \frac{625}{4} - 625 + \frac{75}{2} \cdot 25$

Paso 4.1.2.1.6

Multiplica $\frac{75}{2} \cdot 25$ .

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Paso 4.1.2.1.6.1

Combina $\frac{75}{2}$ y $25$ .

$f (- 5) = \frac{625}{4} - 625 + \frac{75 \cdot 25}{2}$

Paso 4.1.2.1.6.2

Multiplica $75$ por $25$ .

$f (- 5) = \frac{625}{4} - 625 + \frac{1875}{2}$

Paso 4.1.2.2

Obtén el denominador común

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Paso 4.1.2.2.1

Escribe $- 625$ como una fracción con el denominador $1$ .

$f (- 5) = \frac{625}{4} + \frac{- 625}{1} + \frac{1875}{2}$

Paso 4.1.2.2.2

Multiplica $\frac{- 625}{1}$ por $\frac{4}{4}$ .

$f (- 5) = \frac{625}{4} + \frac{- 625}{1} \cdot \frac{4}{4} + \frac{1875}{2}$

Paso 4.1.2.2.3

Multiplica $\frac{- 625}{1}$ por $\frac{4}{4}$ .

$f (- 5) = \frac{625}{4} + \frac{- 625 \cdot 4}{4} + \frac{1875}{2}$

Paso 4.1.2.2.4

Multiplica $\frac{1875}{2}$ por $\frac{2}{2}$ .

$f (- 5) = \frac{625}{4} + \frac{- 625 \cdot 4}{4} + \frac{1875}{2} \cdot \frac{2}{2}$

Paso 4.1.2.2.5

Multiplica $\frac{1875}{2}$ por $\frac{2}{2}$ .

$f (- 5) = \frac{625}{4} + \frac{- 625 \cdot 4}{4} + \frac{1875 \cdot 2}{2 \cdot 2}$

Paso 4.1.2.2.6

Multiplica $2$ por $2$ .

$f (- 5) = \frac{625}{4} + \frac{- 625 \cdot 4}{4} + \frac{1875 \cdot 2}{4}$

Paso 4.1.2.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (- 5) = \frac{625 - 625 \cdot 4 + 1875 \cdot 2}{4}$

Paso 4.1.2.4

Simplifica cada término.

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Paso 4.1.2.4.1

Multiplica $- 625$ por $4$ .

$f (- 5) = \frac{625 - 2500 + 1875 \cdot 2}{4}$

Paso 4.1.2.4.2

Multiplica $1875$ por $2$ .

$f (- 5) = \frac{625 - 2500 + 3750}{4}$

Paso 4.1.2.5

Simplifica mediante suma y resta.

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Paso 4.1.2.5.1

Resta $2500$ de $625$ .

$f (- 5) = \frac{- 1875 + 3750}{4}$

Paso 4.1.2.5.2

Suma $- 1875$ y $3750$ .

$f (- 5) = \frac{1875}{4}$

Paso 4.1.2.6

La respuesta final es $\frac{1875}{4}$ .

$\frac{1875}{4}$

Paso 4.2

El punto que se obtiene mediante la sustitución de $- 5$ en $f (x) = \frac{1}{4} x^{4} + 5 x^{3} + \frac{75}{2} x^{2}$ es $(- 5, \frac{1875}{4})$ . Este puede ser un punto de inflexión.

$(- 5, \frac{1875}{4})$

Paso 5

Divide $(- \infty, \infty)$ en intervalos alrededor de los puntos que podrían ser puntos de inflexión.

$(- \infty, - 5) \cup (- 5, \infty)$

Paso 6

Sustituye un valor del intervalo $(- \infty, - 5)$ en la segunda derivada para determinar si está aumentando o disminuyendo.

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Paso 6.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 5.1$ en la expresión.

$f'' (- 5.1) = 3 {(- 5.1)}^{2} + 30 (- 5.1) + 75$

Paso 6.2

Simplifica el resultado.

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Paso 6.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 6.2.1.1

Eleva $- 5.1$ a la potencia de $2$ .

$f'' (- 5.1) = 3 \cdot 26.01 + 30 (- 5.1) + 75$

Paso 6.2.1.2

Multiplica $3$ por $26.01$ .

$f'' (- 5.1) = 78.03 + 30 (- 5.1) + 75$

Paso 6.2.1.3

Multiplica $30$ por $- 5.1$ .

$f'' (- 5.1) = 78.03 - 153 + 75$

Paso 6.2.2

Simplifica mediante suma y resta.

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Paso 6.2.2.1

Resta $153$ de $78.03$ .

$f'' (- 5.1) = - 74.97 + 75$

Paso 6.2.2.2

Suma $- 74.97$ y $75$ .

$f'' (- 5.1) = 0.03$

Paso 6.2.3

La respuesta final es $0.03$ .

$0.03$

Paso 6.3

En $- 5.1$ , la segunda derivada es $0.03$ . Dado que esto es positivo, la segunda derivada aumenta en el intervalo $(- \infty, - 5)$ .

Incremento en $(- \infty, - 5)$ ya que $f'' (x) > 0$

Paso 7

Sustituye un valor del intervalo $(- 5, \infty)$ en la segunda derivada para determinar si está aumentando o disminuyendo.

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Paso 7.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 4.9$ en la expresión.

$f'' (- 4.9) = 3 {(- 4.9)}^{2} + 30 (- 4.9) + 75$

Paso 7.2

Simplifica el resultado.

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Paso 7.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 7.2.1.1

Eleva $- 4.9$ a la potencia de $2$ .

$f'' (- 4.9) = 3 \cdot 24.01 + 30 (- 4.9) + 75$

Paso 7.2.1.2

Multiplica $3$ por $24.01$ .

$f'' (- 4.9) = 72.03 + 30 (- 4.9) + 75$

Paso 7.2.1.3

Multiplica $30$ por $- 4.9$ .

$f'' (- 4.9) = 72.03 - 147 + 75$

Paso 7.2.2

Simplifica mediante suma y resta.

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Paso 7.2.2.1

Resta $147$ de $72.03$ .

$f'' (- 4.9) = - 74.97 + 75$

Paso 7.2.2.2

Suma $- 74.97$ y $75$ .

$f'' (- 4.9) = 0.03$

Paso 7.2.3

La respuesta final es $0.03$ .

$0.03$

Paso 7.3

En $- 4.9$ , la segunda derivada es $0.03$ . Dado que esto es positivo, la segunda derivada aumenta en el intervalo $(- 5, \infty)$ .

Incremento en $(- 5, \infty)$ ya que $f'' (x) > 0$

Paso 8

Un punto de inflexión es un punto en una curva en el que la concavidad cambia de signo de más a menos o de menos a más. No hay puntos en la gráfica que satisfagan estos requisitos.

No hay puntos de inflexión