Cálculo Ejemplos

$f (x) = \sqrt{x + 2} - 1$

Paso 1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $\sqrt{x + 2} - 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [\sqrt{x + 2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [\sqrt{x + 2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 1.1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [\sqrt{x + 2}]$ .

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Paso 1.1.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x + 2}$ como ${(x + 2)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(x + 2)}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 1.1.2.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ y $g (x) = x + 2$ .

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Paso 1.1.2.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x + 2$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x + 2] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 1.1.2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 2] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 1.1.2.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x + 2$ .

$\frac{1}{2} {(x + 2)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 2] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 1.1.2.3

Según la regla de la suma, la derivada de $x + 2$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{1}{2} {(x + 2)}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]) + \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 1.1.2.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{1}{2} {(x + 2)}^{\frac{1}{2} - 1} (1 + \frac{d}{d x} [2]) + \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 1.1.2.5

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{1}{2} {(x + 2)}^{\frac{1}{2} - 1} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 1.1.2.6

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(x + 2)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 1.1.2.7

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(x + 2)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 1.1.2.8

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1}{2} {(x + 2)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 1.1.2.9

Simplifica el numerador.

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Paso 1.1.2.9.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{1}{2} {(x + 2)}^{\frac{1 - 2}{2}} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 1.1.2.9.2

Resta $2$ de $1$ .

$\frac{1}{2} {(x + 2)}^{\frac{- 1}{2}} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 1.1.2.10

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{1}{2} {(x + 2)}^{- \frac{1}{2}} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 1.1.2.11

Suma $1$ y $0$ .

$\frac{1}{2} {(x + 2)}^{- \frac{1}{2}} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 1.1.2.12

Combina $\frac{1}{2}$ y ${(x + 2)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(x + 2)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 1.1.2.13

Multiplica $\frac{{(x + 2)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ por $1$ .

$\frac{{(x + 2)}^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 1.1.2.14

Mueve ${(x + 2)}^{- \frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 1.1.3

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 1.1.3.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{1}{2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}} + 0$

Paso 1.1.3.2

Suma $\frac{1}{2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$ y $0$ .

$f' (x) = \frac{1}{2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 1.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 2

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $\frac{1}{2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}} = 0$ .

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Paso 2.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$\frac{1}{2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

Paso 2.2

Establece el numerador igual a cero.

$1 = 0$

Paso 2.3

Como $1 \neq 0$ , no hay soluciones.

No hay solución

Paso 3

Obtén los valores en el lugar donde la derivada es indefinida.

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Paso 3.1

Convierte las expresiones con exponentes fraccionarios en radicales.

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Paso 3.1.1

Aplica la regla $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ para reescribir la exponenciación como un radical.

$\frac{1}{2 \sqrt{{(x + 2)}^{1}}}$

Paso 3.1.2

Cualquier número elevado a la potencia de $1$ es la misma base.

$\frac{1}{2 \sqrt{x + 2}}$

Paso 3.2

Establece el denominador en $\frac{1}{2 \sqrt{x + 2}}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$2 \sqrt{x + 2} = 0$

Paso 3.3

Resuelve $x$

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Paso 3.3.1

Para eliminar el radical en el lazo izquierdo de la ecuación, eleva al cuadrado ambos lados de la ecuación.

${(2 \sqrt{x + 2})}^{2} = 0^{2}$

Paso 3.3.2

Simplifica cada lado de la ecuación.

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Paso 3.3.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x + 2}$ como ${(x + 2)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Paso 3.3.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.3.2.2.1

Simplifica ${(2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 3.3.2.2.1.1

Aplica la regla del producto a $2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}$ .

$2^{2} {({(x + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Paso 3.3.2.2.1.2

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$4 {({(x + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Paso 3.3.2.2.1.3

Multiplica los exponentes en ${({(x + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 3.3.2.2.1.3.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 {(x + 2)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Paso 3.3.2.2.1.3.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.3.2.2.1.3.2.1

Cancela el factor común.

$4 {(x + 2)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Paso 3.3.2.2.1.3.2.2

Reescribe la expresión.

$4 {(x + 2)}^{1} = 0^{2}$

Paso 3.3.2.2.1.4

Simplifica.

$4 (x + 2) = 0^{2}$

Paso 3.3.2.2.1.5

Aplica la propiedad distributiva.

$4 x + 4 \cdot 2 = 0^{2}$

Paso 3.3.2.2.1.6

Multiplica $4$ por $2$ .

$4 x + 8 = 0^{2}$

Paso 3.3.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.3.2.3.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$4 x + 8 = 0$

Paso 3.3.3

Resuelve $x$

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Paso 3.3.3.1

Resta $8$ de ambos lados de la ecuación.

$4 x = - 8$

Paso 3.3.3.2

Divide cada término en $4 x = - 8$ por $4$ y simplifica.

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Paso 3.3.3.2.1

Divide cada término en $4 x = - 8$ por $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{- 8}{4}$

Paso 3.3.3.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.3.3.2.2.1

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 3.3.3.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{4 x}{4} = \frac{- 8}{4}$

Paso 3.3.3.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 8}{4}$

Paso 3.3.3.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.3.3.2.3.1

Divide $- 8$ por $4$ .

$x = - 2$

Paso 3.4

Establece el radicando en $\sqrt{x + 2}$ menor que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$x + 2 < 0$

Paso 3.5

Resta $2$ de ambos lados de la desigualdad.

$x < - 2$

Paso 3.6

La ecuación es indefinida cuando el denominador es igual a $0$ , el argumento de una raíz cuadrada es menor que $0$ o el argumento de un logaritmo es menor o igual que $0$ .

$x \leq - 2$

$(- \infty, - 2]$

$x \leq - 2$

$(- \infty, - 2]$

Paso 4

Evalúa $\sqrt{x + 2} - 1$ en cada valor $x$ donde la derivada sea $0$ o indefinida.

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Paso 4.1

Evalúa en $x = - 2$ .

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Paso 4.1.1

Sustituye $- 2$ por $x$ .

$\sqrt{(- 2) + 2} - 1$

Paso 4.1.2

Simplifica.

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Paso 4.1.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.1.2.1.1

Suma $- 2$ y $2$ .

$\sqrt{0} - 1$

Paso 4.1.2.1.2

Reescribe $0$ como $0^{2}$ .

$\sqrt{0^{2}} - 1$

Paso 4.1.2.1.3

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$0 - 1$

Paso 4.1.2.2

Resta $1$ de $0$ .

$- 1$

Paso 4.2

Enumera todos los puntos.

$(- 2, - 1)$

Paso 5