Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos (x) + \tan (5 x)}{1 - \cos (x) - \tan (x)}$

Paso 1

Aplica la regla de l'Hôpital

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Paso 1.1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 1.1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$\frac{lim_{x \to 0} 1 - \cos (x) + \tan (5 x)}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (x) - \tan (x)}$

Paso 1.1.2

Evalúa el límite del numerador.

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Paso 1.1.2.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} 1 - lim_{x \to 0} \cos (x) + lim_{x \to 0} \tan (5 x)}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (x) - \tan (x)}$

Paso 1.1.2.2

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $0$ .

$\frac{1 - lim_{x \to 0} \cos (x) + lim_{x \to 0} \tan (5 x)}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (x) - \tan (x)}$

Paso 1.1.2.3

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque el coseno es continuo.

$\frac{1 - \cos (lim_{x \to 0} x) + lim_{x \to 0} \tan (5 x)}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (x) - \tan (x)}$

Paso 1.1.2.4

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque la tangente es continua.

$\frac{1 - \cos (lim_{x \to 0} x) + \tan (lim_{x \to 0} 5 x)}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (x) - \tan (x)}$

Paso 1.1.2.5

Mueve el término $5$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{1 - \cos (lim_{x \to 0} x) + \tan (5 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (x) - \tan (x)}$

Paso 1.1.2.6

Evalúa los límites mediante el ingreso de $0$ para todos los casos de $x$ .

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Paso 1.1.2.6.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{1 - \cos (0) + \tan (5 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (x) - \tan (x)}$

Paso 1.1.2.6.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{1 - \cos (0) + \tan (5 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (x) - \tan (x)}$

Paso 1.1.2.7

Simplifica la respuesta.

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Paso 1.1.2.7.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.2.7.1.1

El valor exacto de $\cos (0)$ es $1$ .

$\frac{1 - 1 \cdot 1 + \tan (5 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (x) - \tan (x)}$

Paso 1.1.2.7.1.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{1 - 1 + \tan (5 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (x) - \tan (x)}$

Paso 1.1.2.7.1.3

Multiplica $5$ por $0$ .

$\frac{1 - 1 + \tan (0)}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (x) - \tan (x)}$

Paso 1.1.2.7.1.4

El valor exacto de $\tan (0)$ es $0$ .

$\frac{1 - 1 + 0}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (x) - \tan (x)}$

Paso 1.1.2.7.2

Resta $1$ de $1$ .

$\frac{0 + 0}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (x) - \tan (x)}$

Paso 1.1.2.7.3

Suma $0$ y $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (x) - \tan (x)}$

Paso 1.1.3

Evalúa el límite del denominador.

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Paso 1.1.3.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} 1 - lim_{x \to 0} \cos (x) - lim_{x \to 0} \tan (x)}$

Paso 1.1.3.2

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $0$ .

$\frac{0}{1 - lim_{x \to 0} \cos (x) - lim_{x \to 0} \tan (x)}$

Paso 1.1.3.3

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque el coseno es continuo.

$\frac{0}{1 - \cos (lim_{x \to 0} x) - lim_{x \to 0} \tan (x)}$

Paso 1.1.3.4

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque la tangente es continua.

$\frac{0}{1 - \cos (lim_{x \to 0} x) - \tan (lim_{x \to 0} x)}$

Paso 1.1.3.5

Evalúa los límites mediante el ingreso de $0$ para todos los casos de $x$ .

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Paso 1.1.3.5.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{0}{1 - \cos (0) - \tan (lim_{x \to 0} x)}$

Paso 1.1.3.5.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{0}{1 - \cos (0) - \tan (0)}$

Paso 1.1.3.6

Simplifica la respuesta.

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Paso 1.1.3.6.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.3.6.1.1

El valor exacto de $\cos (0)$ es $1$ .

$\frac{0}{1 - 1 \cdot 1 - \tan (0)}$

Paso 1.1.3.6.1.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{0}{1 - 1 - \tan (0)}$

Paso 1.1.3.6.1.3

El valor exacto de $\tan (0)$ es $0$ .

$\frac{0}{1 - 1 - 0}$

Paso 1.1.3.6.1.4

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$\frac{0}{1 - 1 + 0}$

Paso 1.1.3.6.2

Resta $1$ de $1$ .

$\frac{0}{0 + 0}$

Paso 1.1.3.6.3

Suma $0$ y $0$ .

$\frac{0}{0}$

Paso 1.1.3.6.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.1.3.7

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.1.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.2

Como $\frac{0}{0}$ es de forma indeterminada, aplica la regla de l'Hôpital. La regla de l'Hôpital establece que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas.

$lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos (x) + \tan (5 x)}{1 - \cos (x) - \tan (x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x) + \tan (5 x)]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x) - \tan (x)]}$

Paso 1.3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 1.3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x) + \tan (5 x)]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x) - \tan (x)]}$

Paso 1.3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $1 - \cos (x) + \tan (5 x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)] + \frac{d}{d x} [\tan (5 x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)] + \frac{d}{d x} [\tan (5 x)]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x) - \tan (x)]}$

Paso 1.3.3

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 + \frac{d}{d x} [- \cos (x)] + \frac{d}{d x} [\tan (5 x)]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x) - \tan (x)]}$

Paso 1.3.4

Evalúa $\frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

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Paso 1.3.4.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \cos (x)$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [\tan (5 x)]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x) - \tan (x)]}$

Paso 1.3.4.2

La derivada de $\cos (x)$ con respecto a $x$ es $- \sin (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - - \sin (x) + \frac{d}{d x} [\tan (5 x)]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x) - \tan (x)]}$

Paso 1.3.4.3

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 + 1 \sin (x) + \frac{d}{d x} [\tan (5 x)]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x) - \tan (x)]}$

Paso 1.3.4.4

Multiplica $\sin (x)$ por $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 + \sin (x) + \frac{d}{d x} [\tan (5 x)]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x) - \tan (x)]}$

Paso 1.3.5

Evalúa $\frac{d}{d x} [\tan (5 x)]$ .

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Paso 1.3.5.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \tan (x)$ y $g (x) = 5 x$ .

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Paso 1.3.5.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $5 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 + \sin (x) + \frac{d}{d u} [\tan (u)] \frac{d}{d x} [5 x]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x) - \tan (x)]}$

Paso 1.3.5.1.2

La derivada de $\tan (u)$ con respecto a $u$ es $\sec^{2} (u)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 + \sin (x) + \sec^{2} (u) \frac{d}{d x} [5 x]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x) - \tan (x)]}$

Paso 1.3.5.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $5 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 + \sin (x) + \sec^{2} (5 x) \frac{d}{d x} [5 x]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x) - \tan (x)]}$

Paso 1.3.5.2

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5 x$ con respecto a $x$ es $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 + \sin (x) + \sec^{2} (5 x) (5 \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x) - \tan (x)]}$

Paso 1.3.5.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 + \sin (x) + \sec^{2} (5 x) (5 \cdot 1)}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x) - \tan (x)]}$

Paso 1.3.5.4

Multiplica $5$ por $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 + \sin (x) + \sec^{2} (5 x) \cdot 5}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x) - \tan (x)]}$

Paso 1.3.5.5

Mueve $5$ a la izquierda de $\sec^{2} (5 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 + \sin (x) + 5 \sec^{2} (5 x)}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x) - \tan (x)]}$

Paso 1.3.6

Simplifica.

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Paso 1.3.6.1

Suma $0$ y $\sin (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) + 5 \sec^{2} (5 x)}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x) - \tan (x)]}$

Paso 1.3.6.2

Simplifica cada término.

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Paso 1.3.6.2.1

Reescribe $\sec (5 x)$ en términos de senos y cosenos.

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) + 5 {(\frac{1}{\cos (5 x)})}^{2}}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x) - \tan (x)]}$

Paso 1.3.6.2.2

Aplica la regla del producto a $\frac{1}{\cos (5 x)}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) + 5 \frac{1^{2}}{\cos^{2} (5 x)}}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x) - \tan (x)]}$

Paso 1.3.6.2.3

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) + 5 \frac{1}{\cos^{2} (5 x)}}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x) - \tan (x)]}$

Paso 1.3.6.2.4

Combina $5$ y $\frac{1}{\cos^{2} (5 x)}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) + \frac{5}{\cos^{2} (5 x)}}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x) - \tan (x)]}$

Paso 1.3.7

Según la regla de la suma, la derivada de $1 - \cos (x) - \tan (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)] + \frac{d}{d x} [- \tan (x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) + \frac{5}{\cos^{2} (5 x)}}{\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)] + \frac{d}{d x} [- \tan (x)]}$

Paso 1.3.8

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) + \frac{5}{\cos^{2} (5 x)}}{0 + \frac{d}{d x} [- \cos (x)] + \frac{d}{d x} [- \tan (x)]}$

Paso 1.3.9

Evalúa $\frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

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Paso 1.3.9.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \cos (x)$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) + \frac{5}{\cos^{2} (5 x)}}{0 - \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [- \tan (x)]}$

Paso 1.3.9.2

La derivada de $\cos (x)$ con respecto a $x$ es $- \sin (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) + \frac{5}{\cos^{2} (5 x)}}{0 - - \sin (x) + \frac{d}{d x} [- \tan (x)]}$

Paso 1.3.9.3

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) + \frac{5}{\cos^{2} (5 x)}}{0 + 1 \sin (x) + \frac{d}{d x} [- \tan (x)]}$

Paso 1.3.9.4

Multiplica $\sin (x)$ por $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) + \frac{5}{\cos^{2} (5 x)}}{0 + \sin (x) + \frac{d}{d x} [- \tan (x)]}$

Paso 1.3.10

Evalúa $\frac{d}{d x} [- \tan (x)]$ .

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Paso 1.3.10.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \tan (x)$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [\tan (x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) + \frac{5}{\cos^{2} (5 x)}}{0 + \sin (x) - \frac{d}{d x} [\tan (x)]}$

Paso 1.3.10.2

La derivada de $\tan (x)$ con respecto a $x$ es $\sec^{2} (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) + \frac{5}{\cos^{2} (5 x)}}{0 + \sin (x) - \sec^{2} (x)}$

Paso 1.3.11

Simplifica.

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Paso 1.3.11.1

Suma $0$ y $\sin (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) + \frac{5}{\cos^{2} (5 x)}}{\sin (x) - \sec^{2} (x)}$

Paso 1.3.11.2

Simplifica cada término.

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Paso 1.3.11.2.1

Reescribe $\sec (x)$ en términos de senos y cosenos.

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) + \frac{5}{\cos^{2} (5 x)}}{\sin (x) - {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2}}$

Paso 1.3.11.2.2

Aplica la regla del producto a $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) + \frac{5}{\cos^{2} (5 x)}}{\sin (x) - \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)}}$

Paso 1.3.11.2.3

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) + \frac{5}{\cos^{2} (5 x)}}{\sin (x) - \frac{1}{\cos^{2} (x)}}$

Paso 1.4

Combina los términos.

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Paso 1.4.1

Para escribir $\sin (x)$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{\cos^{2} (5 x)}{\cos^{2} (5 x)}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{\sin (x) \cos^{2} (5 x)}{\cos^{2} (5 x)} + \frac{5}{\cos^{2} (5 x)}}{\sin (x) - \frac{1}{\cos^{2} (x)}}$

Paso 1.4.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{\sin (x) \cos^{2} (5 x) + 5}{\cos^{2} (5 x)}}{\sin (x) - \frac{1}{\cos^{2} (x)}}$

Paso 1.4.3

Para escribir $\sin (x)$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{\cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{\sin (x) \cos^{2} (5 x) + 5}{\cos^{2} (5 x)}}{\frac{\sin (x) \cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} - \frac{1}{\cos^{2} (x)}}$

Paso 1.4.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{\sin (x) \cos^{2} (5 x) + 5}{\cos^{2} (5 x)}}{\frac{\sin (x) \cos^{2} (x) - 1}{\cos^{2} (x)}}$

Paso 2

Evalúa el límite.

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Paso 2.1

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) \cos^{2} (5 x) + 5}{\cos^{2} (5 x)}}{lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) \cos^{2} (x) - 1}{\cos^{2} (x)}}$

Paso 2.2

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$\frac{\frac{lim_{x \to 0} \sin (x) \cos^{2} (5 x) + 5}{lim_{x \to 0} \cos^{2} (5 x)}}{lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) \cos^{2} (x) - 1}{\cos^{2} (x)}}$

Paso 2.3

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$\frac{\frac{lim_{x \to 0} \sin (x) \cos^{2} (5 x) + lim_{x \to 0} 5}{lim_{x \to 0} \cos^{2} (5 x)}}{lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) \cos^{2} (x) - 1}{\cos^{2} (x)}}$

Paso 2.4

Divide el límite mediante la regla del producto de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$\frac{\frac{lim_{x \to 0} \sin (x) \cdot lim_{x \to 0} \cos^{2} (5 x) + lim_{x \to 0} 5}{lim_{x \to 0} \cos^{2} (5 x)}}{lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) \cos^{2} (x) - 1}{\cos^{2} (x)}}$

Paso 2.5

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque el seno es continuo.

$\frac{\frac{\sin (lim_{x \to 0} x) \cdot lim_{x \to 0} \cos^{2} (5 x) + lim_{x \to 0} 5}{lim_{x \to 0} \cos^{2} (5 x)}}{lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) \cos^{2} (x) - 1}{\cos^{2} (x)}}$

Paso 2.6

Mueve el exponente $2$ de $\cos^{2} (5 x)$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$\frac{\frac{\sin (lim_{x \to 0} x) \cdot {(lim_{x \to 0} \cos (5 x))}^{2} + lim_{x \to 0} 5}{lim_{x \to 0} \cos^{2} (5 x)}}{lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) \cos^{2} (x) - 1}{\cos^{2} (x)}}$

Paso 2.7

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque el coseno es continuo.

$\frac{\frac{\sin (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos^{2} (lim_{x \to 0} 5 x) + lim_{x \to 0} 5}{lim_{x \to 0} \cos^{2} (5 x)}}{lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) \cos^{2} (x) - 1}{\cos^{2} (x)}}$

Paso 2.8

Mueve el término $5$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{\frac{\sin (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos^{2} (5 lim_{x \to 0} x) + lim_{x \to 0} 5}{lim_{x \to 0} \cos^{2} (5 x)}}{lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) \cos^{2} (x) - 1}{\cos^{2} (x)}}$

Paso 2.9

Evalúa el límite de $5$ que es constante cuando $x$ se acerca a $0$ .

$\frac{\frac{\sin (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos^{2} (5 lim_{x \to 0} x) + 5}{lim_{x \to 0} \cos^{2} (5 x)}}{lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) \cos^{2} (x) - 1}{\cos^{2} (x)}}$

Paso 2.10

Mueve el exponente $2$ de $\cos^{2} (5 x)$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$\frac{\frac{\sin (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos^{2} (5 lim_{x \to 0} x) + 5}{{(lim_{x \to 0} \cos (5 x))}^{2}}}{lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) \cos^{2} (x) - 1}{\cos^{2} (x)}}$

Paso 2.11

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque el coseno es continuo.

$\frac{\frac{\sin (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos^{2} (5 lim_{x \to 0} x) + 5}{\cos^{2} (lim_{x \to 0} 5 x)}}{lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) \cos^{2} (x) - 1}{\cos^{2} (x)}}$

Paso 2.12

Mueve el término $5$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{\frac{\sin (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos^{2} (5 lim_{x \to 0} x) + 5}{\cos^{2} (5 lim_{x \to 0} x)}}{lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) \cos^{2} (x) - 1}{\cos^{2} (x)}}$

Paso 2.13

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$\frac{\frac{\sin (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos^{2} (5 lim_{x \to 0} x) + 5}{\cos^{2} (5 lim_{x \to 0} x)}}{\frac{lim_{x \to 0} \sin (x) \cos^{2} (x) - 1}{lim_{x \to 0} \cos^{2} (x)}}$

Paso 2.14

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$\frac{\frac{\sin (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos^{2} (5 lim_{x \to 0} x) + 5}{\cos^{2} (5 lim_{x \to 0} x)}}{\frac{lim_{x \to 0} \sin (x) \cos^{2} (x) - lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} \cos^{2} (x)}}$

Paso 2.15

Divide el límite mediante la regla del producto de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$\frac{\frac{\sin (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos^{2} (5 lim_{x \to 0} x) + 5}{\cos^{2} (5 lim_{x \to 0} x)}}{\frac{lim_{x \to 0} \sin (x) \cdot lim_{x \to 0} \cos^{2} (x) - lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} \cos^{2} (x)}}$

Paso 2.16

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque el seno es continuo.

$\frac{\frac{\sin (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos^{2} (5 lim_{x \to 0} x) + 5}{\cos^{2} (5 lim_{x \to 0} x)}}{\frac{\sin (lim_{x \to 0} x) \cdot lim_{x \to 0} \cos^{2} (x) - lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} \cos^{2} (x)}}$

Paso 2.17

Mueve el exponente $2$ de $\cos^{2} (x)$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$\frac{\frac{\sin (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos^{2} (5 lim_{x \to 0} x) + 5}{\cos^{2} (5 lim_{x \to 0} x)}}{\frac{\sin (lim_{x \to 0} x) \cdot {(lim_{x \to 0} \cos (x))}^{2} - lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} \cos^{2} (x)}}$

Paso 2.18

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque el coseno es continuo.

$\frac{\frac{\sin (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos^{2} (5 lim_{x \to 0} x) + 5}{\cos^{2} (5 lim_{x \to 0} x)}}{\frac{\sin (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos^{2} (lim_{x \to 0} x) - lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} \cos^{2} (x)}}$

Paso 2.19

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $0$ .

$\frac{\frac{\sin (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos^{2} (5 lim_{x \to 0} x) + 5}{\cos^{2} (5 lim_{x \to 0} x)}}{\frac{\sin (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos^{2} (lim_{x \to 0} x) - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} \cos^{2} (x)}}$

Paso 2.20

Mueve el exponente $2$ de $\cos^{2} (x)$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

Paso 2.21

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque el coseno es continuo.

Paso 3

Evalúa los límites mediante el ingreso de $0$ para todos los casos de $x$ .

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Paso 3.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{\frac{\sin (0) \cdot \cos^{2} (5 lim_{x \to 0} x) + 5}{\cos^{2} (5 lim_{x \to 0} x)}}{\frac{\sin (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos^{2} (lim_{x \to 0} x) - 1 \cdot 1}{\cos^{2} (lim_{x \to 0} x)}}$

Paso 3.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{\frac{\sin (0) \cdot \cos^{2} (5 \cdot 0) + 5}{\cos^{2} (5 lim_{x \to 0} x)}}{\frac{\sin (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos^{2} (lim_{x \to 0} x) - 1 \cdot 1}{\cos^{2} (lim_{x \to 0} x)}}$

Paso 3.3

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{\frac{\sin (0) \cdot \cos^{2} (5 \cdot 0) + 5}{\cos^{2} (5 \cdot 0)}}{\frac{\sin (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos^{2} (lim_{x \to 0} x) - 1 \cdot 1}{\cos^{2} (lim_{x \to 0} x)}}$

Paso 3.4

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{\frac{\sin (0) \cdot \cos^{2} (5 \cdot 0) + 5}{\cos^{2} (5 \cdot 0)}}{\frac{\sin (0) \cdot \cos^{2} (lim_{x \to 0} x) - 1 \cdot 1}{\cos^{2} (lim_{x \to 0} x)}}$

Paso 3.5

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{\frac{\sin (0) \cdot \cos^{2} (5 \cdot 0) + 5}{\cos^{2} (5 \cdot 0)}}{\frac{\sin (0) \cdot \cos^{2} (0) - 1 \cdot 1}{\cos^{2} (lim_{x \to 0} x)}}$

Paso 3.6

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{\frac{\sin (0) \cdot \cos^{2} (5 \cdot 0) + 5}{\cos^{2} (5 \cdot 0)}}{\frac{\sin (0) \cdot \cos^{2} (0) - 1 \cdot 1}{\cos^{2} (0)}}$

Paso 4

Simplifica la respuesta.

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Paso 4.1

Simplifica el numerador.

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Paso 4.1.1

El valor exacto de $\sin (0)$ es $0$ .

$\frac{\frac{0 \cdot \cos^{2} (5 \cdot 0) + 5}{\cos^{2} (5 \cdot 0)}}{\frac{\sin (0) \cdot \cos^{2} (0) - 1 \cdot 1}{\cos^{2} (0)}}$

Paso 4.1.2

Multiplica $5$ por $0$ .

$\frac{\frac{0 \cdot \cos^{2} (0) + 5}{\cos^{2} (5 \cdot 0)}}{\frac{\sin (0) \cdot \cos^{2} (0) - 1 \cdot 1}{\cos^{2} (0)}}$

Paso 4.1.3

El valor exacto de $\cos (0)$ es $1$ .

$\frac{\frac{0 \cdot 1^{2} + 5}{\cos^{2} (5 \cdot 0)}}{\frac{\sin (0) \cdot \cos^{2} (0) - 1 \cdot 1}{\cos^{2} (0)}}$

Paso 4.1.4

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\frac{\frac{0 \cdot 1 + 5}{\cos^{2} (5 \cdot 0)}}{\frac{\sin (0) \cdot \cos^{2} (0) - 1 \cdot 1}{\cos^{2} (0)}}$

Paso 4.1.5

Multiplica $0$ por $1$ .

$\frac{\frac{0 + 5}{\cos^{2} (5 \cdot 0)}}{\frac{\sin (0) \cdot \cos^{2} (0) - 1 \cdot 1}{\cos^{2} (0)}}$

Paso 4.1.6

Suma $0$ y $5$ .

$\frac{\frac{5}{\cos^{2} (5 \cdot 0)}}{\frac{\sin (0) \cdot \cos^{2} (0) - 1 \cdot 1}{\cos^{2} (0)}}$

Paso 4.2

Simplifica el denominador.

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Paso 4.2.1

Multiplica $5$ por $0$ .

$\frac{\frac{5}{\cos^{2} (0)}}{\frac{\sin (0) \cdot \cos^{2} (0) - 1 \cdot 1}{\cos^{2} (0)}}$

Paso 4.2.2

El valor exacto de $\cos (0)$ es $1$ .

$\frac{\frac{5}{1^{2}}}{\frac{\sin (0) \cdot \cos^{2} (0) - 1 \cdot 1}{\cos^{2} (0)}}$

Paso 4.2.3

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\frac{\frac{5}{1}}{\frac{\sin (0) \cdot \cos^{2} (0) - 1 \cdot 1}{\cos^{2} (0)}}$

Paso 4.3

Simplifica el numerador.

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Paso 4.3.1

El valor exacto de $\sin (0)$ es $0$ .

$\frac{\frac{5}{1}}{\frac{0 \cdot \cos^{2} (0) - 1 \cdot 1}{\cos^{2} (0)}}$

Paso 4.3.2

El valor exacto de $\cos (0)$ es $1$ .

$\frac{\frac{5}{1}}{\frac{0 \cdot 1^{2} - 1 \cdot 1}{\cos^{2} (0)}}$

Paso 4.3.3

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\frac{\frac{5}{1}}{\frac{0 \cdot 1 - 1 \cdot 1}{\cos^{2} (0)}}$

Paso 4.3.4

Multiplica $0$ por $1$ .

$\frac{\frac{5}{1}}{\frac{0 - 1 \cdot 1}{\cos^{2} (0)}}$

Paso 4.3.5

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{\frac{5}{1}}{\frac{0 - 1}{\cos^{2} (0)}}$

Paso 4.3.6

Resta $1$ de $0$ .

$\frac{\frac{5}{1}}{\frac{- 1}{\cos^{2} (0)}}$

Paso 4.4

Simplifica el denominador.

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Paso 4.4.1

El valor exacto de $\cos (0)$ es $1$ .

$\frac{\frac{5}{1}}{\frac{- 1}{1^{2}}}$

Paso 4.4.2

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\frac{\frac{5}{1}}{\frac{- 1}{1}}$

Paso 4.5

Divide $5$ por $1$ .

$\frac{5}{\frac{- 1}{1}}$

Paso 4.6

Divide $- 1$ por $1$ .

$\frac{5}{- 1}$

Paso 4.7

Mueve el negativo del denominador de $\frac{5}{- 1}$ .

$- 1 \cdot 5$

Paso 4.8

Multiplica $- 1$ por $5$ .

$- 5$