Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to \infty} \frac{x + 5}{2 x^{2} + 1}$

Paso 1

Divide el numerador y denominador por la potencia más alta de $x$ en el denominador, que es $x^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x^{2}} + \frac{5}{x^{2}}}{\frac{2 x^{2}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}}$

Paso 2

Evalúa el límite.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1

Cancela el factor común de $x$ y $x^{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^{1}}{x^{2}} + \frac{5}{x^{2}}}{\frac{2 x^{2}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}}$

Paso 2.1.2

Factoriza $x$ de $x^{1}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x \cdot 1}{x^{2}} + \frac{5}{x^{2}}}{\frac{2 x^{2}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}}$

Paso 2.1.3

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.3.1

Factoriza $x$ de $x^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x \cdot 1}{x \cdot x} + \frac{5}{x^{2}}}{\frac{2 x^{2}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}}$

Paso 2.1.3.2

Cancela el factor común.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x \cdot 1}{x \cdot x} + \frac{5}{x^{2}}}{\frac{2 x^{2}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}}$

Paso 2.1.3.3

Reescribe la expresión.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x} + \frac{5}{x^{2}}}{\frac{2 x^{2}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}}$

Paso 2.2

Cancela el factor común de $x^{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.1

Cancela el factor común.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x} + \frac{5}{x^{2}}}{\frac{2 x^{2}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}}$

Paso 2.2.2

Divide $2$ por $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x} + \frac{5}{x^{2}}}{2 + \frac{1}{x^{2}}}$

Paso 2.3

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} + \frac{5}{x^{2}}}{lim_{x \to \infty} 2 + \frac{1}{x^{2}}}$

Paso 2.4

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} + lim_{x \to \infty} \frac{5}{x^{2}}}{lim_{x \to \infty} 2 + \frac{1}{x^{2}}}$

Paso 3

Como su numerador se acerca a un número real mientras que su denominador no está acotado, la fracción $\frac{1}{x}$ se acerca a $0$ .

$\frac{0 + lim_{x \to \infty} \frac{5}{x^{2}}}{lim_{x \to \infty} 2 + \frac{1}{x^{2}}}$

Paso 4

Mueve el término $5$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{0 + 5 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}}{lim_{x \to \infty} 2 + \frac{1}{x^{2}}}$

Paso 5

Como su numerador se acerca a un número real mientras que su denominador no está acotado, la fracción $\frac{1}{x^{2}}$ se acerca a $0$ .

$\frac{0 + 5 \cdot 0}{lim_{x \to \infty} 2 + \frac{1}{x^{2}}}$

Paso 6

Evalúa el límite.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $\infty$ .

$\frac{0 + 5 \cdot 0}{lim_{x \to \infty} 2 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}}$

Paso 6.2

Evalúa el límite de $2$ que es constante cuando $x$ se acerca a $\infty$ .

$\frac{0 + 5 \cdot 0}{2 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}}$

Paso 7

Como su numerador se acerca a un número real mientras que su denominador no está acotado, la fracción $\frac{1}{x^{2}}$ se acerca a $0$ .

$\frac{0 + 5 \cdot 0}{2 + 0}$

Paso 8

Simplifica la respuesta.

Toca para ver más pasos...

Paso 8.1

Cancela el factor común de $0 + 5 \cdot 0$ y $2 + 0$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 8.1.1

Reordena los términos.

$\frac{0 + 0 \cdot 5}{2 + 0}$

Paso 8.1.2

Factoriza $2$ de $0$ .

$\frac{2 (0) + 0 \cdot 5}{2 + 0}$

Paso 8.1.3

Factoriza $2$ de $0 \cdot 5$ .

$\frac{2 (0) + 2 (0 \cdot 5)}{2 + 0}$

Paso 8.1.4

Factoriza $2$ de $2 (0) + 2 (0 \cdot 5)$ .

$\frac{2 (0 + 0 \cdot 5)}{2 + 0}$

Paso 8.1.5

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 8.1.5.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$\frac{2 (0 + 0 \cdot 5)}{2 \cdot 1 + 0}$

Paso 8.1.5.2

Factoriza $2$ de $0$ .

$\frac{2 (0 + 0 \cdot 5)}{2 \cdot 1 + 2 \cdot 0}$

Paso 8.1.5.3

Factoriza $2$ de $2 \cdot 1 + 2 \cdot 0$ .

$\frac{2 (0 + 0 \cdot 5)}{2 \cdot (1 + 0)}$

Paso 8.1.5.4

Cancela el factor común.

$\frac{2 (0 + 0 \cdot 5)}{2 \cdot (1 + 0)}$

Paso 8.1.5.5

Reescribe la expresión.

$\frac{0 + 0 \cdot 5}{1 + 0}$

Paso 8.2

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 8.2.1

Multiplica $0$ por $5$ .

$\frac{0 + 0}{1 + 0}$

Paso 8.2.2

Suma $0$ y $0$ .

$\frac{0}{1 + 0}$

Paso 8.3

Suma $1$ y $0$ .

$\frac{0}{1}$

Paso 8.4

Divide $0$ por $1$ .

$0$