Cálculo Ejemplos

$\int_{4}^{8} \frac{1}{x \ln (x^{2})} d x$

Paso 1

Reescribe $\frac{1}{x \ln (x^{2})}$ como $\frac{1}{x (2 \ln (x))}$ .

$\int_{4}^{8} \frac{1}{x (2 \ln (x))} d x$

Paso 2

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $x$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{2} \int_{4}^{8} \frac{1}{x (\ln (x))} d x$

Paso 3

Sea $u = \ln (x)$ . Entonces $d u = \frac{1}{x} d x$ , de modo que $x d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 3.1

Deja $u = \ln (x)$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 3.1.1

Diferencia $\ln (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Paso 3.1.2

La derivada de $\ln (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x}$

Paso 3.2

Sustituye el límite inferior por $x$ en $u = \ln (x)$ .

$u_{lower} = \ln (4)$

Paso 3.3

Sustituye el límite superior por $x$ en $u = \ln (x)$ .

$u_{upper} = \ln (8)$

Paso 3.4

Los valores obtenidos para $u_{lower}$ y $u_{upper}$ se usarán para evaluar la integral definida.

$u_{lower} = \ln (4)$

$u_{upper} = \ln (8)$

Paso 3.5

Reescribe el problema mediante $u$ , $d u$ y los nuevos límites de integración.

$\frac{1}{2} \int_{\ln (4)}^{\ln (8)} \frac{1}{u} d u$

Paso 4

La integral de $\frac{1}{u}$ con respecto a $u$ es $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{2} \ln (| u |)]_{\ln (4)}^{\ln (8)}$

Paso 5

Evalúa $\ln (| u |)$ en $\ln (8)$ y en $\ln (4)$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| \ln (8) |) - \ln (| \ln (4) |))$

Paso 6

Simplifica.

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Paso 6.1

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\frac{1}{2} \ln (\frac{| \ln (8) |}{| \ln (4) |})$

Paso 6.2

Combina $\frac{1}{2}$ y $\ln (\frac{| \ln (8) |}{| \ln (4) |})$ .

$\frac{\ln (\frac{| \ln (8) |}{| \ln (4) |})}{2}$

Paso 7

Simplifica.

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Paso 7.1

$\ln (8)$ es aproximadamente $2.07944154$ , que es positivo, así es que elimina el valor absoluto

$\frac{\ln (\frac{\ln (8)}{| \ln (4) |})}{2}$

Paso 7.2

$\ln (4)$ es aproximadamente $1.38629436$ , que es positivo, así es que elimina el valor absoluto

$\frac{\ln (\frac{\ln (8)}{\ln (4)})}{2}$

Paso 7.3

Reescribe $\ln (8)$ como $\ln (2^{3})$ .

$\frac{\ln (\frac{\ln (2^{3})}{\ln (4)})}{2}$

Paso 7.4

Expande $\ln (2^{3})$ ; para ello, mueve $3$ fuera del logaritmo.

$\frac{\ln (\frac{3 \ln (2)}{\ln (4)})}{2}$

Paso 7.5

Reescribe $\ln (4)$ como $\ln (2^{2})$ .

$\frac{\ln (\frac{3 \ln (2)}{\ln (2^{2})})}{2}$

Paso 7.6

Expande $\ln (2^{2})$ ; para ello, mueve $2$ fuera del logaritmo.

$\frac{\ln (\frac{3 \ln (2)}{2 \ln (2)})}{2}$

Paso 7.7

Cancela el factor común de $\ln (2)$ .

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Paso 7.7.1

Cancela el factor común.

$\frac{\ln (\frac{3 \ln (2)}{2 \ln (2)})}{2}$

Paso 7.7.2

Reescribe la expresión.

$\frac{\ln (\frac{3}{2})}{2}$

Paso 8

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{\ln (\frac{3}{2})}{2}$

Forma decimal:

$0.20273255 \dots$