Cálculo Ejemplos

$\frac{70 x}{{(3 x^{2} + 8)}^{2}}$

Paso 1

Como $70$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{70 x}{{(3 x^{2} + 8)}^{2}}$ con respecto a $x$ es $70 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(3 x^{2} + 8)}^{2}}]$ .

$70 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(3 x^{2} + 8)}^{2}}]$

Paso 2

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = {(3 x^{2} + 8)}^{2}$ .

$70 \frac{{(3 x^{2} + 8)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(3 x^{2} + 8)}^{2}]}{{({(3 x^{2} + 8)}^{2})}^{2}}$

Paso 3

Diferencia con la regla de la potencia.

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Paso 3.1

Multiplica los exponentes en ${({(3 x^{2} + 8)}^{2})}^{2}$ .

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Paso 3.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$70 \frac{{(3 x^{2} + 8)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(3 x^{2} + 8)}^{2}]}{{(3 x^{2} + 8)}^{2 \cdot 2}}$

Paso 3.1.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$70 \frac{{(3 x^{2} + 8)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(3 x^{2} + 8)}^{2}]}{{(3 x^{2} + 8)}^{4}}$

Paso 3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$70 \frac{{(3 x^{2} + 8)}^{2} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [{(3 x^{2} + 8)}^{2}]}{{(3 x^{2} + 8)}^{4}}$

Paso 3.3

Multiplica ${(3 x^{2} + 8)}^{2}$ por $1$ .

$70 \frac{{(3 x^{2} + 8)}^{2} - x \frac{d}{d x} [{(3 x^{2} + 8)}^{2}]}{{(3 x^{2} + 8)}^{4}}$

Paso 4

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = 3 x^{2} + 8$ .

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Paso 4.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $3 x^{2} + 8$ .

$70 \frac{{(3 x^{2} + 8)}^{2} - x (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 8])}{{(3 x^{2} + 8)}^{4}}$

Paso 4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$70 \frac{{(3 x^{2} + 8)}^{2} - x (2 u \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 8])}{{(3 x^{2} + 8)}^{4}}$

Paso 4.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $3 x^{2} + 8$ .

$70 \frac{{(3 x^{2} + 8)}^{2} - x (2 (3 x^{2} + 8) \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 8])}{{(3 x^{2} + 8)}^{4}}$

Paso 5

Simplifica con la obtención del factor común.

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Paso 5.1

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$70 \frac{{(3 x^{2} + 8)}^{2} - 2 x ((3 x^{2} + 8) \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 8])}{{(3 x^{2} + 8)}^{4}}$

Paso 5.2

Factoriza $3 x^{2} + 8$ de ${(3 x^{2} + 8)}^{2} - 2 x ((3 x^{2} + 8) \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 8])$ .

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Paso 5.2.1

Factoriza $3 x^{2} + 8$ de ${(3 x^{2} + 8)}^{2}$ .

$70 \frac{(3 x^{2} + 8) (3 x^{2} + 8) - 2 x ((3 x^{2} + 8) \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 8])}{{(3 x^{2} + 8)}^{4}}$

Paso 5.2.2

Factoriza $3 x^{2} + 8$ de $- 2 x ((3 x^{2} + 8) \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 8])$ .

$70 \frac{(3 x^{2} + 8) (3 x^{2} + 8) + (3 x^{2} + 8) (- 2 x (\frac{d}{d x} [3 x^{2} + 8]))}{{(3 x^{2} + 8)}^{4}}$

Paso 5.2.3

Factoriza $3 x^{2} + 8$ de $(3 x^{2} + 8) (3 x^{2} + 8) + (3 x^{2} + 8) (- 2 x (\frac{d}{d x} [3 x^{2} + 8]))$ .

$70 \frac{(3 x^{2} + 8) (3 x^{2} + 8 - 2 x (\frac{d}{d x} [3 x^{2} + 8]))}{{(3 x^{2} + 8)}^{4}}$

Paso 6

Cancela los factores comunes.

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Paso 6.1

Factoriza $3 x^{2} + 8$ de ${(3 x^{2} + 8)}^{4}$ .

$70 \frac{(3 x^{2} + 8) (3 x^{2} + 8 - 2 x (\frac{d}{d x} [3 x^{2} + 8]))}{(3 x^{2} + 8) {(3 x^{2} + 8)}^{3}}$

Paso 6.2

Cancela el factor común.

$70 \frac{(3 x^{2} + 8) (3 x^{2} + 8 - 2 x (\frac{d}{d x} [3 x^{2} + 8]))}{(3 x^{2} + 8) {(3 x^{2} + 8)}^{3}}$

Paso 6.3

Reescribe la expresión.

$70 \frac{3 x^{2} + 8 - 2 x (\frac{d}{d x} [3 x^{2} + 8])}{{(3 x^{2} + 8)}^{3}}$

Paso 7

Según la regla de la suma, la derivada de $3 x^{2} + 8$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [8]$ .

$70 \frac{3 x^{2} + 8 - 2 x (\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [8])}{{(3 x^{2} + 8)}^{3}}$

Paso 8

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x^{2}$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$70 \frac{3 x^{2} + 8 - 2 x (3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [8])}{{(3 x^{2} + 8)}^{3}}$

Paso 9

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$70 \frac{3 x^{2} + 8 - 2 x (3 (2 x) + \frac{d}{d x} [8])}{{(3 x^{2} + 8)}^{3}}$

Paso 10

Multiplica $2$ por $3$ .

$70 \frac{3 x^{2} + 8 - 2 x (6 x + \frac{d}{d x} [8])}{{(3 x^{2} + 8)}^{3}}$

Paso 11

Como $8$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $8$ con respecto a $x$ es $0$ .

$70 \frac{3 x^{2} + 8 - 2 x (6 x + 0)}{{(3 x^{2} + 8)}^{3}}$

Paso 12

Simplifica la expresión.

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Paso 12.1

Suma $6 x$ y $0$ .

$70 \frac{3 x^{2} + 8 - 2 x (6 x)}{{(3 x^{2} + 8)}^{3}}$

Paso 12.2

Multiplica $6$ por $- 2$ .

$70 \frac{3 x^{2} + 8 - 12 x \cdot x}{{(3 x^{2} + 8)}^{3}}$

Paso 13

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$70 \frac{3 x^{2} + 8 - 12 (x^{1} x)}{{(3 x^{2} + 8)}^{3}}$

Paso 14

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$70 \frac{3 x^{2} + 8 - 12 (x^{1} x^{1})}{{(3 x^{2} + 8)}^{3}}$

Paso 15

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$70 \frac{3 x^{2} + 8 - 12 x^{1 + 1}}{{(3 x^{2} + 8)}^{3}}$

Paso 16

Suma $1$ y $1$ .

$70 \frac{3 x^{2} + 8 - 12 x^{2}}{{(3 x^{2} + 8)}^{3}}$

Paso 17

Resta $12 x^{2}$ de $3 x^{2}$ .

$70 \frac{- 9 x^{2} + 8}{{(3 x^{2} + 8)}^{3}}$

Paso 18

Combina $70$ y $\frac{- 9 x^{2} + 8}{{(3 x^{2} + 8)}^{3}}$ .

$\frac{70 (- 9 x^{2} + 8)}{{(3 x^{2} + 8)}^{3}}$

Paso 19

Simplifica.

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Paso 19.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{70 (- 9 x^{2}) + 70 \cdot 8}{{(3 x^{2} + 8)}^{3}}$

Paso 19.2

Simplifica cada término.

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Paso 19.2.1

Multiplica $- 9$ por $70$ .

$\frac{- 630 x^{2} + 70 \cdot 8}{{(3 x^{2} + 8)}^{3}}$

Paso 19.2.2

Multiplica $70$ por $8$ .

$\frac{- 630 x^{2} + 560}{{(3 x^{2} + 8)}^{3}}$

Paso 19.3

Factoriza $70$ de $- 630 x^{2} + 560$ .

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Paso 19.3.1

Factoriza $70$ de $- 630 x^{2}$ .

$\frac{70 (- 9 x^{2}) + 560}{{(3 x^{2} + 8)}^{3}}$

Paso 19.3.2

Factoriza $70$ de $560$ .

$\frac{70 (- 9 x^{2}) + 70 (8)}{{(3 x^{2} + 8)}^{3}}$

Paso 19.3.3

Factoriza $70$ de $70 (- 9 x^{2}) + 70 (8)$ .

$\frac{70 (- 9 x^{2} + 8)}{{(3 x^{2} + 8)}^{3}}$

Paso 19.4

Factoriza $- 1$ de $- 9 x^{2}$ .

$\frac{70 (- (9 x^{2}) + 8)}{{(3 x^{2} + 8)}^{3}}$

Paso 19.5

Reescribe $8$ como $- 1 (- 8)$ .

$\frac{70 (- (9 x^{2}) - 1 (- 8))}{{(3 x^{2} + 8)}^{3}}$

Paso 19.6

Factoriza $- 1$ de $- (9 x^{2}) - 1 (- 8)$ .

$\frac{70 (- (9 x^{2} - 8))}{{(3 x^{2} + 8)}^{3}}$

Paso 19.7

Reescribe $- (9 x^{2} - 8)$ como $- 1 (9 x^{2} - 8)$ .

$\frac{70 (- 1 (9 x^{2} - 8))}{{(3 x^{2} + 8)}^{3}}$

Paso 19.8

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{70 (9 x^{2} - 8)}{{(3 x^{2} + 8)}^{3}}$