Cálculo Ejemplos

$\frac{x}{y^{3}} = 1$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d y} (\frac{x}{y^{3}}) = \frac{d}{d y} (1)$

Paso 2

Diferencia el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d y} [\frac{f (y)}{g (y)}]$ es $\frac{g (y) \frac{d}{d y} [f (y)] - f (y) \frac{d}{d y} [g (y)]}{{g (y)}^{2}}$ donde $f (y) = x$ y $g (y) = y^{3}$ .

$\frac{y^{3} \frac{d}{d y} [x] - x \frac{d}{d y} [y^{3}]}{{(y^{3})}^{2}}$

Paso 2.2

Multiplica los exponentes en ${(y^{3})}^{2}$ .

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Paso 2.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{y^{3} \frac{d}{d y} [x] - x \frac{d}{d y} [y^{3}]}{y^{3 \cdot 2}}$

Paso 2.2.2

Multiplica $3$ por $2$ .

$\frac{y^{3} \frac{d}{d y} [x] - x \frac{d}{d y} [y^{3}]}{y^{6}}$

Paso 2.3

Reescribe $\frac{d}{d y} [x]$ como $x'$ .

$\frac{y^{3} x' - x \frac{d}{d y} [y^{3}]}{y^{6}}$

Paso 2.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$\frac{y^{3} x' - x (3 y^{2})}{y^{6}}$

Paso 2.5

Simplifica con la obtención del factor común.

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Paso 2.5.1

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$\frac{y^{3} x' - 3 x y^{2}}{y^{6}}$

Paso 2.5.2

Factoriza $y^{2}$ de $y^{3} x' - 3 x y^{2}$ .

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Paso 2.5.2.1

Factoriza $y^{2}$ de $y^{3} x'$ .

$\frac{y^{2} (y x') - 3 x y^{2}}{y^{6}}$

Paso 2.5.2.2

Factoriza $y^{2}$ de $- 3 x y^{2}$ .

$\frac{y^{2} (y x') + y^{2} (- 3 x)}{y^{6}}$

Paso 2.5.2.3

Factoriza $y^{2}$ de $y^{2} (y x') + y^{2} (- 3 x)$ .

$\frac{y^{2} (y x' - 3 x)}{y^{6}}$

Paso 2.6

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.6.1

Factoriza $y^{2}$ de $y^{6}$ .

$\frac{y^{2} (y x' - 3 x)}{y^{2} y^{4}}$

Paso 2.6.2

Cancela el factor común.

$\frac{y^{2} (y x' - 3 x)}{y^{2} y^{4}}$

Paso 2.6.3

Reescribe la expresión.

$\frac{y x' - 3 x}{y^{4}}$

Paso 3

Como $1$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $1$ con respecto a $y$ es $0$ .

$0$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$\frac{y x' - 3 x}{y^{4}} = 0$

Paso 5

Resuelve $x'$

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Paso 5.1

Establece el numerador igual a cero.

$y x' - 3 x = 0$

Paso 5.2

Resuelve la ecuación en $x'$ .

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Paso 5.2.1

Suma $3 x$ a ambos lados de la ecuación.

$y x' = 3 x$

Paso 5.2.2

Divide cada término en $y x' = 3 x$ por $y$ y simplifica.

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Paso 5.2.2.1

Divide cada término en $y x' = 3 x$ por $y$ .

$\frac{y x'}{y} = \frac{3 x}{y}$

Paso 5.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.2.2.2.1

Cancela el factor común de $y$ .

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Paso 5.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{y x'}{y} = \frac{3 x}{y}$

Paso 5.2.2.2.1.2

Divide $x'$ por $1$ .

$x' = \frac{3 x}{y}$

Paso 6

Reemplaza $x'$ con $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = \frac{3 x}{y}$