Cálculo Ejemplos

${(3 - 5 x)}^{5}$

Paso 1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{5}$ y $g (x) = 3 - 5 x$ .

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Paso 1.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $3 - 5 x$ .

$\frac{d}{d u} [u^{5}] \frac{d}{d x} [3 - 5 x]$

Paso 1.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 5$ .

$5 u^{4} \frac{d}{d x} [3 - 5 x]$

Paso 1.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $3 - 5 x$ .

$5 {(3 - 5 x)}^{4} \frac{d}{d x} [3 - 5 x]$

Paso 1.2

Diferencia.

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Paso 1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $3 - 5 x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- 5 x]$ .

$5 {(3 - 5 x)}^{4} (\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- 5 x])$

Paso 1.2.2

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3$ con respecto a $x$ es $0$ .

$5 {(3 - 5 x)}^{4} (0 + \frac{d}{d x} [- 5 x])$

Paso 1.2.3

Suma $0$ y $\frac{d}{d x} [- 5 x]$ .

$5 {(3 - 5 x)}^{4} \frac{d}{d x} [- 5 x]$

Paso 1.2.4

Como $- 5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 5 x$ con respecto a $x$ es $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 {(3 - 5 x)}^{4} (- 5 \frac{d}{d x} [x])$

Paso 1.2.5

Multiplica $- 5$ por $5$ .

$- 25 {(3 - 5 x)}^{4} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.2.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- 25 {(3 - 5 x)}^{4} \cdot 1$

Paso 1.2.7

Multiplica $- 25$ por $1$ .

$f' (x) = - 25 {(3 - 5 x)}^{4}$

Paso 2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 2.1

Como $- 25$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 25 {(3 - 5 x)}^{4}$ con respecto a $x$ es $- 25 \frac{d}{d x} [{(3 - 5 x)}^{4}]$ .

$- 25 \frac{d}{d x} [{(3 - 5 x)}^{4}]$

Paso 2.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{4}$ y $g (x) = 3 - 5 x$ .

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Paso 2.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $3 - 5 x$ .

$- 25 (\frac{d}{d u} [u^{4}] \frac{d}{d x} [3 - 5 x])$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$- 25 (4 u^{3} \frac{d}{d x} [3 - 5 x])$

Paso 2.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $3 - 5 x$ .

$- 25 (4 {(3 - 5 x)}^{3} \frac{d}{d x} [3 - 5 x])$

Paso 2.3

Diferencia.

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Paso 2.3.1

Multiplica $4$ por $- 25$ .

$- 100 ({(3 - 5 x)}^{3} \frac{d}{d x} [3 - 5 x])$

Paso 2.3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $3 - 5 x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- 5 x]$ .

$- 100 {(3 - 5 x)}^{3} (\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- 5 x])$

Paso 2.3.3

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3$ con respecto a $x$ es $0$ .

$- 100 {(3 - 5 x)}^{3} (0 + \frac{d}{d x} [- 5 x])$

Paso 2.3.4

Suma $0$ y $\frac{d}{d x} [- 5 x]$ .

$- 100 {(3 - 5 x)}^{3} \frac{d}{d x} [- 5 x]$

Paso 2.3.5

Como $- 5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 5 x$ con respecto a $x$ es $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 100 {(3 - 5 x)}^{3} (- 5 \frac{d}{d x} [x])$

Paso 2.3.6

Multiplica $- 5$ por $- 100$ .

$500 {(3 - 5 x)}^{3} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.3.7

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$500 {(3 - 5 x)}^{3} \cdot 1$

Paso 2.3.8

Multiplica $500$ por $1$ .

$f'' (x) = 500 {(3 - 5 x)}^{3}$

Paso 3

Obtén la tercera derivada.

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Paso 3.1

Como $500$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $500 {(3 - 5 x)}^{3}$ con respecto a $x$ es $500 \frac{d}{d x} [{(3 - 5 x)}^{3}]$ .

$500 \frac{d}{d x} [{(3 - 5 x)}^{3}]$

Paso 3.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{3}$ y $g (x) = 3 - 5 x$ .

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Paso 3.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $3 - 5 x$ .

$500 (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [3 - 5 x])$

Paso 3.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$500 (3 u^{2} \frac{d}{d x} [3 - 5 x])$

Paso 3.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $3 - 5 x$ .

$500 (3 {(3 - 5 x)}^{2} \frac{d}{d x} [3 - 5 x])$

Paso 3.3

Diferencia.

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Paso 3.3.1

Multiplica $3$ por $500$ .

$1500 ({(3 - 5 x)}^{2} \frac{d}{d x} [3 - 5 x])$

Paso 3.3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $3 - 5 x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- 5 x]$ .

$1500 {(3 - 5 x)}^{2} (\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- 5 x])$

Paso 3.3.3

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3$ con respecto a $x$ es $0$ .

$1500 {(3 - 5 x)}^{2} (0 + \frac{d}{d x} [- 5 x])$

Paso 3.3.4

Suma $0$ y $\frac{d}{d x} [- 5 x]$ .

$1500 {(3 - 5 x)}^{2} \frac{d}{d x} [- 5 x]$

Paso 3.3.5

Como $- 5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 5 x$ con respecto a $x$ es $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$1500 {(3 - 5 x)}^{2} (- 5 \frac{d}{d x} [x])$

Paso 3.3.6

Multiplica $- 5$ por $1500$ .

$- 7500 {(3 - 5 x)}^{2} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 3.3.7

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- 7500 {(3 - 5 x)}^{2} \cdot 1$

Paso 3.3.8

Multiplica $- 7500$ por $1$ .

$f''' (x) = - 7500 {(3 - 5 x)}^{2}$