Cálculo Ejemplos

$\ln (\sec (2 x) + 6 \tan (x))$

Paso 1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \ln (x)$ y $g (x) = \sec (2 x) + 6 \tan (x)$ .

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Paso 1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $\sec (2 x) + 6 \tan (x)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [\sec (2 x) + 6 \tan (x)]$

Paso 1.2

La derivada de $\ln (u_{1})$ con respecto a $u_{1}$ es $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [\sec (2 x) + 6 \tan (x)]$

Paso 1.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $\sec (2 x) + 6 \tan (x)$ .

$\frac{1}{\sec (2 x) + 6 \tan (x)} \frac{d}{d x} [\sec (2 x) + 6 \tan (x)]$

Paso 2

Según la regla de la suma, la derivada de $\sec (2 x) + 6 \tan (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [\sec (2 x)] + \frac{d}{d x} [6 \tan (x)]$ .

$\frac{1}{\sec (2 x) + 6 \tan (x)} (\frac{d}{d x} [\sec (2 x)] + \frac{d}{d x} [6 \tan (x)])$

Paso 3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \sec (x)$ y $g (x) = 2 x$ .

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Paso 3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $2 x$ .

$\frac{1}{\sec (2 x) + 6 \tan (x)} (\frac{d}{d u_{2}} [\sec (u_{2})] \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [6 \tan (x)])$

Paso 3.2

La derivada de $\sec (u_{2})$ con respecto a $u_{2}$ es $\sec (u_{2}) \tan (u_{2})$ .

$\frac{1}{\sec (2 x) + 6 \tan (x)} (\sec (u_{2}) \tan (u_{2}) \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [6 \tan (x)])$

Paso 3.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $2 x$ .

$\frac{1}{\sec (2 x) + 6 \tan (x)} (\sec (2 x) \tan (2 x) \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [6 \tan (x)])$

Paso 4

Diferencia.

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Paso 4.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{\sec (2 x) + 6 \tan (x)} (\sec (2 x) \tan (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [6 \tan (x)])$

Paso 4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{1}{\sec (2 x) + 6 \tan (x)} (\sec (2 x) \tan (2 x) (2 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [6 \tan (x)])$

Paso 4.3

Simplifica la expresión.

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Paso 4.3.1

Multiplica $2$ por $1$ .

$\frac{1}{\sec (2 x) + 6 \tan (x)} (\sec (2 x) \tan (2 x) \cdot 2 + \frac{d}{d x} [6 \tan (x)])$

Paso 4.3.2

Mueve $2$ a la izquierda de $\sec (2 x) \tan (2 x)$ .

$\frac{1}{\sec (2 x) + 6 \tan (x)} (2 \cdot (\sec (2 x) \tan (2 x)) + \frac{d}{d x} [6 \tan (x)])$

Paso 4.4

Como $6$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $6 \tan (x)$ con respecto a $x$ es $6 \frac{d}{d x} [\tan (x)]$ .

$\frac{1}{\sec (2 x) + 6 \tan (x)} (2 \sec (2 x) \tan (2 x) + 6 \frac{d}{d x} [\tan (x)])$

Paso 5

La derivada de $\tan (x)$ con respecto a $x$ es $\sec^{2} (x)$ .

$\frac{1}{\sec (2 x) + 6 \tan (x)} (2 \sec (2 x) \tan (2 x) + 6 \sec^{2} (x))$

Paso 6

Simplifica.

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Paso 6.1

Reordena los factores de $\frac{1}{\sec (2 x) + 6 \tan (x)} (2 \sec (2 x) \tan (2 x) + 6 \sec^{2} (x))$ .

$(2 \sec (2 x) \tan (2 x) + 6 \sec^{2} (x)) \frac{1}{\sec (2 x) + 6 \tan (x)}$

Paso 6.2

Aplica la propiedad distributiva.

$2 \sec (2 x) \tan (2 x) \frac{1}{\sec (2 x) + 6 \tan (x)} + 6 \sec^{2} (x) \frac{1}{\sec (2 x) + 6 \tan (x)}$

Paso 6.3

Multiplica $2 \sec (2 x) \tan (2 x) \frac{1}{\sec (2 x) + 6 \tan (x)}$ .

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Paso 6.3.1

Combina $\frac{1}{\sec (2 x) + 6 \tan (x)}$ y $2$ .

$\frac{2}{\sec (2 x) + 6 \tan (x)} \sec (2 x) \tan (2 x) + 6 \sec^{2} (x) \frac{1}{\sec (2 x) + 6 \tan (x)}$

Paso 6.3.2

Combina $\frac{2}{\sec (2 x) + 6 \tan (x)}$ y $\sec (2 x)$ .

$\frac{2 \sec (2 x)}{\sec (2 x) + 6 \tan (x)} \tan (2 x) + 6 \sec^{2} (x) \frac{1}{\sec (2 x) + 6 \tan (x)}$

Paso 6.3.3

Combina $\frac{2 \sec (2 x)}{\sec (2 x) + 6 \tan (x)}$ y $\tan (2 x)$ .

$\frac{2 \sec (2 x) \tan (2 x)}{\sec (2 x) + 6 \tan (x)} + 6 \sec^{2} (x) \frac{1}{\sec (2 x) + 6 \tan (x)}$

Paso 6.4

Multiplica $6 \sec^{2} (x) \frac{1}{\sec (2 x) + 6 \tan (x)}$ .

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Paso 6.4.1

Combina $\frac{1}{\sec (2 x) + 6 \tan (x)}$ y $6$ .

$\frac{2 \sec (2 x) \tan (2 x)}{\sec (2 x) + 6 \tan (x)} + \frac{6}{\sec (2 x) + 6 \tan (x)} \sec^{2} (x)$

Paso 6.4.2

Combina $\frac{6}{\sec (2 x) + 6 \tan (x)}$ y $\sec^{2} (x)$ .

$\frac{2 \sec (2 x) \tan (2 x)}{\sec (2 x) + 6 \tan (x)} + \frac{6 \sec^{2} (x)}{\sec (2 x) + 6 \tan (x)}$

Paso 6.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{2 \sec (2 x) \tan (2 x) + 6 \sec^{2} (x)}{\sec (2 x) + 6 \tan (x)}$

Paso 6.6

Factoriza $2$ de $2 \sec (2 x) \tan (2 x) + 6 \sec^{2} (x)$ .

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Paso 6.6.1

Factoriza $2$ de $2 \sec (2 x) \tan (2 x)$ .

$\frac{2 (\sec (2 x) \tan (2 x)) + 6 \sec^{2} (x)}{\sec (2 x) + 6 \tan (x)}$

Paso 6.6.2

Factoriza $2$ de $6 \sec^{2} (x)$ .

$\frac{2 (\sec (2 x) \tan (2 x)) + 2 (3 \sec^{2} (x))}{\sec (2 x) + 6 \tan (x)}$

Paso 6.6.3

Factoriza $2$ de $2 (\sec (2 x) \tan (2 x)) + 2 (3 \sec^{2} (x))$ .

$\frac{2 (\sec (2 x) \tan (2 x) + 3 \sec^{2} (x))}{\sec (2 x) + 6 \tan (x)}$