Cálculo Ejemplos

$\ln (2 x + y)$

Paso 1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \ln (x)$ y $g (x) = 2 x + y$ .

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Paso 1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $2 x + y$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [2 x + y]$

Paso 1.2

La derivada de $\ln (u)$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [2 x + y]$

Paso 1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $2 x + y$ .

$\frac{1}{2 x + y} \frac{d}{d x} [2 x + y]$

Paso 2

Diferencia.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $2 x + y$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [y]$ .

$\frac{1}{2 x + y} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [y])$

Paso 2.2

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2 x + y} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y])$

Paso 2.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{1}{2 x + y} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [y])$

Paso 2.4

Multiplica $2$ por $1$ .

$\frac{1}{2 x + y} (2 + \frac{d}{d x} [y])$

Paso 2.5

Como $y$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $y$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{1}{2 x + y} (2 + 0)$

Paso 2.6

Combina fracciones.

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Paso 2.6.1

Suma $2$ y $0$ .

$\frac{1}{2 x + y} \cdot 2$

Paso 2.6.2

Combina $\frac{1}{2 x + y}$ y $2$ .

$\frac{2}{2 x + y}$