Cálculo Ejemplos

$\frac{1}{(x + 1) (x + 2)}$

Paso 1

Escribe $\frac{1}{(x + 1) (x + 2)}$ como una función.

$f (x) = \frac{1}{(x + 1) (x + 2)}$

Paso 2

La función $F (x)$ puede obtenerse mediante el cálculo de la integral indefinida de la derivada $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Paso 3

Establece la integral para resolver.

$F (x) = \int \frac{1}{(x + 1) (x + 2)} d x$

Paso 4

Escribe la fracción mediante la descomposición en fracciones simples.

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Paso 4.1

Descompone la fracción y multiplica por el denominador común.

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Paso 4.1.1

Para cada factor del denominador, crea una nueva fracción con el factor como denominador y un valor desconocido como numerador. Dado que el factor en el denominador es lineal, coloca una sola variable en su lugar $A$ .

$\frac{A}{x + 1}$

Paso 4.1.2

$\frac{A}{x + 1} + \frac{B}{x + 2}$

Paso 4.1.3

Multiplica cada fracción en la ecuación por el denominador de la expresión original. En este caso, el denominador es $(x + 1) (x + 2)$ .

$\frac{1 (x + 1) (x + 2)}{(x + 1) (x + 2)} = \frac{(A) (x + 1) (x + 2)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (x + 2)}{x + 2}$

Paso 4.1.4

Cancela el factor común de $x + 1$ .

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Paso 4.1.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{1 (x + 1) (x + 2)}{(x + 1) (x + 2)} = \frac{(A) (x + 1) (x + 2)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (x + 2)}{x + 2}$

Paso 4.1.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1 (x + 2)}{x + 2} = \frac{(A) (x + 1) (x + 2)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (x + 2)}{x + 2}$

Paso 4.1.5

Cancela el factor común de $x + 2$ .

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Paso 4.1.5.1

Cancela el factor común.

$\frac{1 (x + 2)}{x + 2} = \frac{(A) (x + 1) (x + 2)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (x + 2)}{x + 2}$

Paso 4.1.5.2

Reescribe la expresión.

$1 = \frac{(A) (x + 1) (x + 2)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (x + 2)}{x + 2}$

Paso 4.1.6

Simplifica cada término.

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Paso 4.1.6.1

Cancela el factor común de $x + 1$ .

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Paso 4.1.6.1.1

Cancela el factor común.

$1 = \frac{A (x + 1) (x + 2)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (x + 2)}{x + 2}$

Paso 4.1.6.1.2

Divide $(A) (x + 2)$ por $1$ .

$1 = (A) (x + 2) + \frac{(B) (x + 1) (x + 2)}{x + 2}$

Paso 4.1.6.2

Aplica la propiedad distributiva.

$1 = A x + A \cdot 2 + \frac{(B) (x + 1) (x + 2)}{x + 2}$

Paso 4.1.6.3

Mueve $2$ a la izquierda de $A$ .

$1 = A x + 2 \cdot A + \frac{(B) (x + 1) (x + 2)}{x + 2}$

Paso 4.1.6.4

Cancela el factor común de $x + 2$ .

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Paso 4.1.6.4.1

Cancela el factor común.

$1 = A x + 2 A + \frac{(B) (x + 1) (x + 2)}{x + 2}$

Paso 4.1.6.4.2

Divide $(B) (x + 1)$ por $1$ .

$1 = A x + 2 A + (B) (x + 1)$

Paso 4.1.6.5

Aplica la propiedad distributiva.

$1 = A x + 2 A + B x + B \cdot 1$

Paso 4.1.6.6

Multiplica $B$ por $1$ .

$1 = A x + 2 A + B x + B$

Paso 4.1.7

Mueve $2 A$ .

$1 = A x + B x + 2 A + B$

Paso 4.2

Crea ecuaciones para las variables de fracción simple y úsalas para establecer un sistema de ecuaciones.

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Paso 4.2.1

Crea una ecuación para las variables de fracción simple al igualar los coeficientes de $x$ de cada lado de la ecuación. Para que la ecuación sea igual, los coeficientes equivalentes en cada lado de la ecuación deben ser iguales.

$0 = A + B$

Paso 4.2.2

Crea una ecuación para las variables de fracción simple al igualar los coeficientes de los términos que no contienen $x$ . Para que la ecuación sea igual, los coeficientes equivalentes en cada lado de la ecuación deben ser iguales.

$1 = 2 A + B$

Paso 4.2.3

Establece el sistema de ecuaciones para obtener los coeficientes de las fracciones parciales.

$0 = A + B$

$1 = 2 A + B$

$0 = A + B$

$1 = 2 A + B$

Paso 4.3

Resuelve el sistema de ecuaciones.

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Paso 4.3.1

Resuelve $A$ en $0 = A + B$ .

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Paso 4.3.1.1

Reescribe la ecuación como $A + B = 0$ .

$A + B = 0$

$1 = 2 A + B$

Paso 4.3.1.2

Resta $B$ de ambos lados de la ecuación.

$A = - B$

$1 = 2 A + B$

$A = - B$

$1 = 2 A + B$

Paso 4.3.2

Reemplaza todos los casos de $A$ por $- B$ en cada ecuación.

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Paso 4.3.2.1

Reemplaza todos los casos de $A$ en $1 = 2 A + B$ por $- B$ .

$1 = 2 (- B) + B$

$A = - B$

Paso 4.3.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.3.2.2.1

Simplifica $2 (- B) + B$ .

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Paso 4.3.2.2.1.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$1 = - 2 B + B$

$A = - B$

Paso 4.3.2.2.1.2

Suma $- 2 B$ y $B$ .

$1 = - B$

$A = - B$

$1 = - B$

$A = - B$

$1 = - B$

$A = - B$

$1 = - B$

$A = - B$

Paso 4.3.3

Resuelve $B$ en $1 = - B$ .

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Paso 4.3.3.1

Reescribe la ecuación como $- B = 1$ .

$- B = 1$

$A = - B$

Paso 4.3.3.2

Divide cada término en $- B = 1$ por $- 1$ y simplifica.

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Paso 4.3.3.2.1

Divide cada término en $- B = 1$ por $- 1$ .

$\frac{- B}{- 1} = \frac{1}{- 1}$

$A = - B$

Paso 4.3.3.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.3.3.2.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{B}{1} = \frac{1}{- 1}$

$A = - B$

Paso 4.3.3.2.2.2

Divide $B$ por $1$ .

$B = \frac{1}{- 1}$

$A = - B$

$B = \frac{1}{- 1}$

$A = - B$

Paso 4.3.3.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.3.3.2.3.1

Divide $1$ por $- 1$ .

$B = - 1$

$A = - B$

$B = - 1$

$A = - B$

$B = - 1$

$A = - B$

$B = - 1$

$A = - B$

Paso 4.3.4

Reemplaza todos los casos de $B$ por $- 1$ en cada ecuación.

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Paso 4.3.4.1

Reemplaza todos los casos de $B$ en $A = - B$ por $- 1$ .

$A = - (- 1)$

$B = - 1$

Paso 4.3.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.3.4.2.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$A = 1$

$B = - 1$

$A = 1$

$B = - 1$

$A = 1$

$B = - 1$

Paso 4.3.5

Enumera todas las soluciones.

$A = 1, B = - 1$

Paso 4.4

Reemplaza cada uno de los coeficientes de fracción simple en $\frac{A}{x + 1} + \frac{B}{x + 2}$ con los valores obtenidos para $A$ y $B$ .

$\frac{1}{x + 1} + \frac{- 1}{x + 2}$

Paso 4.5

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\int \frac{1}{x + 1} - \frac{1}{x + 2} d x$

Paso 5

Divide la única integral en varias integrales.

$\int \frac{1}{x + 1} d x + \int - \frac{1}{x + 2} d x$

Paso 6

Sea $u_{1} = x + 1$ . Entonces $d u_{1} = d x$ . Reescribe mediante $u_{1}$ y $d$ $u_{1}$ .

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Paso 6.1

Deja $u_{1} = x + 1$ . Obtén $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Paso 6.1.1

Diferencia $x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

Paso 6.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 6.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 6.1.4

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$1 + 0$

Paso 6.1.5

Suma $1$ y $0$ .

$1$

Paso 6.2

Reescribe el problema mediante $u_{1}$ y $d u_{1}$ .

$\int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} + \int - \frac{1}{x + 2} d x$

Paso 7

La integral de $\frac{1}{u_{1}}$ con respecto a $u_{1}$ es $\ln (| u_{1} |)$ .

$\ln (| u_{1} |) + C + \int - \frac{1}{x + 2} d x$

Paso 8

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$\ln (| u_{1} |) + C - \int \frac{1}{x + 2} d x$

Paso 9

Sea $u_{2} = x + 2$ . Entonces $d u_{2} = d x$ . Reescribe mediante $u_{2}$ y $d$ $u_{2}$ .

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Paso 9.1

Deja $u_{2} = x + 2$ . Obtén $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Paso 9.1.1

Diferencia $x + 2$ .

$\frac{d}{d x} [x + 2]$

Paso 9.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x + 2$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

Paso 9.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [2]$

Paso 9.1.4

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2$ con respecto a $x$ es $0$ .

$1 + 0$

Paso 9.1.5

Suma $1$ y $0$ .

$1$

Paso 9.2

Reescribe el problema mediante $u_{2}$ y $d u_{2}$ .

$\ln (| u_{1} |) + C - \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Paso 10

La integral de $\frac{1}{u_{2}}$ con respecto a $u_{2}$ es $\ln (| u_{2} |)$ .

$\ln (| u_{1} |) + C - (\ln (| u_{2} |) + C)$

Paso 11

Simplifica.

$\ln (| u_{1} |) - \ln (| u_{2} |) + C$

Paso 12

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| u_{1} |}{| u_{2} |}) + C$

Paso 13

Vuelve a sustituir para cada variable de sustitución de la integración.

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Paso 13.1

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $x + 1$ .

$\ln (\frac{| x + 1 |}{| u_{2} |}) + C$

Paso 13.2

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $x + 2$ .

$\ln (\frac{| x + 1 |}{| x + 2 |}) + C$

Paso 14

La respuesta es la antiderivada de la función $f (x) = \frac{1}{(x + 1) (x + 2)}$ .

$F (x) =$ $\ln (\frac{| x + 1 |}{| x + 2 |}) + C$