Cálculo Ejemplos

$\int x {(2 x - 1)}^{7} d x$

Paso 1

Esta integral no pudo completarse mediante la integración por partes. Mathway usará otro método.

Paso 2

Sea $u = 2 x - 1$ . Entonces $d u = 2 d x$ , de modo que $\frac{1}{2} d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 2.1

Deja $u = 2 x - 1$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 2.1.1

Diferencia $2 x - 1$ .

$\frac{d}{d x} [2 x - 1]$

Paso 2.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $2 x - 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 2.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Paso 2.1.3.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 2.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 2.1.3.3

Multiplica $2$ por $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 2.1.4

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 2.1.4.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$2 + 0$

Paso 2.1.4.2

Suma $2$ y $0$ .

$2$

Paso 2.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\int (\frac{u}{2} + \frac{1}{2}) u^{7} \frac{1}{2} d u$

Paso 3

Combina $\frac{1}{2}$ y $u^{7}$ .

$\int (\frac{u}{2} + \frac{1}{2}) \frac{u^{7}}{2} d u$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\int \frac{u}{2} \cdot \frac{u^{7}}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{u^{7}}{2} d u$

Paso 4.2

Multiplica $\frac{u}{2}$ por $\frac{u^{7}}{2}$ .

$\int \frac{u \cdot u^{7}}{2 \cdot 2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{u^{7}}{2} d u$

Paso 4.3

Eleva $u$ a la potencia de $1$ .

$\int \frac{u^{1} u^{7}}{2 \cdot 2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{u^{7}}{2} d u$

Paso 4.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\int \frac{u^{1 + 7}}{2 \cdot 2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{u^{7}}{2} d u$

Paso 4.5

Suma $1$ y $7$ .

$\int \frac{u^{8}}{2 \cdot 2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{u^{7}}{2} d u$

Paso 4.6

Multiplica $2$ por $2$ .

$\int \frac{u^{8}}{4} + \frac{1}{2} \cdot \frac{u^{7}}{2} d u$

Paso 4.7

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{u^{7}}{2}$ .

$\int \frac{u^{8}}{4} + \frac{u^{7}}{2 \cdot 2} d u$

Paso 4.8

Multiplica $2$ por $2$ .

$\int \frac{u^{8}}{4} + \frac{u^{7}}{4} d u$

Paso 5

Divide la única integral en varias integrales.

$\int \frac{u^{8}}{4} d u + \int \frac{u^{7}}{4} d u$

Paso 6

Dado que $\frac{1}{4}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{4}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{4} \int u^{8} d u + \int \frac{u^{7}}{4} d u$

Paso 7

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{8}$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{9} u^{9}$ .

$\frac{1}{4} (\frac{1}{9} u^{9} + C) + \int \frac{u^{7}}{4} d u$

Paso 8

Dado que $\frac{1}{4}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{4}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{4} (\frac{1}{9} u^{9} + C) + \frac{1}{4} \int u^{7} d u$

Paso 9

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{7}$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{8} u^{8}$ .

$\frac{1}{4} (\frac{1}{9} u^{9} + C) + \frac{1}{4} (\frac{1}{8} u^{8} + C)$

Paso 10

Simplifica.

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Paso 10.1

Simplifica.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{9} u^{9} + \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{8} u^{8} + C$

Paso 10.2

Simplifica.

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Paso 10.2.1

Multiplica $\frac{1}{4}$ por $\frac{1}{9}$ .

$\frac{1}{4 \cdot 9} u^{9} + \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{8} u^{8} + C$

Paso 10.2.2

Multiplica $4$ por $9$ .

$\frac{1}{36} u^{9} + \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{8} u^{8} + C$

Paso 10.2.3

Multiplica $\frac{1}{4}$ por $\frac{1}{8}$ .

$\frac{1}{36} u^{9} + \frac{1}{4 \cdot 8} u^{8} + C$

Paso 10.2.4

Multiplica $4$ por $8$ .

$\frac{1}{36} u^{9} + \frac{1}{32} u^{8} + C$

Paso 11

Reemplaza todos los casos de $u$ con $2 x - 1$ .

$\frac{1}{36} {(2 x - 1)}^{9} + \frac{1}{32} {(2 x - 1)}^{8} + C$