Cálculo Ejemplos

$y' = 3 x^{2}$ , $y = x^{3} - 4 + c$ , $y (0) = 5$

Paso 1

Verifica que la solución dada satisfaga la ecuación diferencial.

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Paso 1.1

Obtén $y'$ .

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Paso 1.1.1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (x^{3} - 4 + c)$

Paso 1.1.2

La derivada de $y$ con respecto a $x$ es $y'$ .

$y'$

Paso 1.1.3

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 1.1.3.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{3} - 4 + c$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4] + \frac{d}{d x} [c]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4] + \frac{d}{d x} [c]$

Paso 1.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 4] + \frac{d}{d x} [c]$

Paso 1.1.3.3

Como $- 4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 4$ con respecto a $x$ es $0$ .

$3 x^{2} + 0 + \frac{d}{d x} [c]$

Paso 1.1.3.4

Como $c$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $c$ con respecto a $x$ es $0$ .

$3 x^{2} + 0 + 0$

Paso 1.1.3.5

Combina los términos.

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Paso 1.1.3.5.1

Suma $3 x^{2}$ y $0$ .

$3 x^{2} + 0$

Paso 1.1.3.5.2

Suma $3 x^{2}$ y $0$ .

$3 x^{2}$

Paso 1.1.4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$y' = 3 x^{2}$

Paso 1.2

Sustituye en la ecuación diferencial dada.

$3 x^{2} = 3 x^{2}$

Paso 1.3

La solución dada satisface la ecuación diferencial dada.

$y = x^{3} - 4 + c$ es una solución para $y' = 3 x^{2}$

Paso 2

Sustituye en la condición inicial.

$5 = 0^{3} - 4 + c$

Paso 3

Resuelve $c$

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Paso 3.1

Reescribe la ecuación como $0^{3} - 4 + c = 5$ .

$0^{3} - 4 + c = 5$

Paso 3.2

Simplifica $0^{3} - 4 + c$ .

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Paso 3.2.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$0 - 4 + c = 5$

Paso 3.2.2

Resta $4$ de $0$ .

$- 4 + c = 5$

Paso 3.3

Mueve todos los términos que no contengan $c$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.3.1

Suma $4$ a ambos lados de la ecuación.

$c = 5 + 4$

Paso 3.3.2

Suma $5$ y $4$ .

$c = 9$