Cálculo Ejemplos

$\int_{- 2}^{3} [y - (y^{2} - 6)] d y$

Paso 1

Elimina los paréntesis.

$\int_{- 2}^{3} y - (y^{2} - 6) d y$

Paso 2

Divide la única integral en varias integrales.

$\int_{- 2}^{3} y d y + \int_{- 2}^{3} - (y^{2} - 6) d y$

Paso 3

Según la regla de la potencia, la integral de $y$ con respecto a $y$ es $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2}]_{- 2}^{3} + \int_{- 2}^{3} - (y^{2} - 6) d y$

Paso 4

Multiplica $- (y^{2} - 6)$ .

$\frac{1}{2} y^{2}]_{- 2}^{3} + \int_{- 2}^{3} - y^{2} - - 6 d y$

Paso 5

Multiplica $- 1$ por $- 6$ .

$\frac{1}{2} y^{2}]_{- 2}^{3} + \int_{- 2}^{3} - y^{2} + 6 d y$

Paso 6

Divide la única integral en varias integrales.

$\frac{1}{2} y^{2}]_{- 2}^{3} + \int_{- 2}^{3} - y^{2} d y + \int_{- 2}^{3} 6 d y$

Paso 7

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $y$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$\frac{1}{2} y^{2}]_{- 2}^{3} - \int_{- 2}^{3} y^{2} d y + \int_{- 2}^{3} 6 d y$

Paso 8

Según la regla de la potencia, la integral de $y^{2}$ con respecto a $y$ es $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$\frac{1}{2} y^{2}]_{- 2}^{3} - (\frac{1}{3} y^{3}]_{- 2}^{3}) + \int_{- 2}^{3} 6 d y$

Paso 9

Combina $\frac{1}{3}$ y $y^{3}$ .

$\frac{1}{2} y^{2}]_{- 2}^{3} - (\frac{y^{3}}{3}]_{- 2}^{3}) + \int_{- 2}^{3} 6 d y$

Paso 10

Aplica la regla de la constante.

$\frac{1}{2} y^{2}]_{- 2}^{3} - (\frac{y^{3}}{3}]_{- 2}^{3}) + 6 y]_{- 2}^{3}$

Paso 11

Simplifica la respuesta.

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Paso 11.1

Combina $\frac{1}{2} y^{2}]_{- 2}^{3}$ y $6 y]_{- 2}^{3}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + 6 y]_{- 2}^{3} - (\frac{y^{3}}{3}]_{- 2}^{3})$

Paso 11.2

Sustituye y simplifica.

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Paso 11.2.1

Evalúa $\frac{1}{2} y^{2} + 6 y$ en $3$ y en $- 2$ .

$(\frac{1}{2} \cdot 3^{2} + 6 \cdot 3) - (\frac{1}{2} {(- 2)}^{2} + 6 \cdot - 2) - (\frac{y^{3}}{3}]_{- 2}^{3})$

Paso 11.2.2

Evalúa $\frac{y^{3}}{3}$ en $3$ y en $- 2$ .

$(\frac{1}{2} \cdot 3^{2} + 6 \cdot 3) - (\frac{1}{2} {(- 2)}^{2} + 6 \cdot - 2) - ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3})$

Paso 11.2.3

Simplifica.

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Paso 11.2.3.1

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$\frac{1}{2} \cdot 9 + 6 \cdot 3 - (\frac{1}{2} {(- 2)}^{2} + 6 \cdot - 2) - ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3})$

Paso 11.2.3.2

Combina $\frac{1}{2}$ y $9$ .

$\frac{9}{2} + 6 \cdot 3 - (\frac{1}{2} {(- 2)}^{2} + 6 \cdot - 2) - ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3})$

Paso 11.2.3.3

Multiplica $6$ por $3$ .

$\frac{9}{2} + 18 - (\frac{1}{2} {(- 2)}^{2} + 6 \cdot - 2) - ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3})$

Paso 11.2.3.4

Para escribir $18$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{9}{2} + 18 \cdot \frac{2}{2} - (\frac{1}{2} {(- 2)}^{2} + 6 \cdot - 2) - ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3})$

Paso 11.2.3.5

Combina $18$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{9}{2} + \frac{18 \cdot 2}{2} - (\frac{1}{2} {(- 2)}^{2} + 6 \cdot - 2) - ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3})$

Paso 11.2.3.6

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{9 + 18 \cdot 2}{2} - (\frac{1}{2} {(- 2)}^{2} + 6 \cdot - 2) - ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3})$

Paso 11.2.3.7

Simplifica el numerador.

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Paso 11.2.3.7.1

Multiplica $18$ por $2$ .

$\frac{9 + 36}{2} - (\frac{1}{2} {(- 2)}^{2} + 6 \cdot - 2) - ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3})$

Paso 11.2.3.7.2

Suma $9$ y $36$ .

$\frac{45}{2} - (\frac{1}{2} {(- 2)}^{2} + 6 \cdot - 2) - ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3})$

Paso 11.2.3.8

Eleva $- 2$ a la potencia de $2$ .

$\frac{45}{2} - (\frac{1}{2} \cdot 4 + 6 \cdot - 2) - ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3})$

Paso 11.2.3.9

Combina $\frac{1}{2}$ y $4$ .

$\frac{45}{2} - (\frac{4}{2} + 6 \cdot - 2) - ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3})$

Paso 11.2.3.10

Cancela el factor común de $4$ y $2$ .

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Paso 11.2.3.10.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$\frac{45}{2} - (\frac{2 \cdot 2}{2} + 6 \cdot - 2) - ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3})$

Paso 11.2.3.10.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 11.2.3.10.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$\frac{45}{2} - (\frac{2 \cdot 2}{2 (1)} + 6 \cdot - 2) - ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3})$

Paso 11.2.3.10.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{45}{2} - (\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} + 6 \cdot - 2) - ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3})$

Paso 11.2.3.10.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{45}{2} - (\frac{2}{1} + 6 \cdot - 2) - ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3})$

Paso 11.2.3.10.2.4

Divide $2$ por $1$ .

$\frac{45}{2} - (2 + 6 \cdot - 2) - ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3})$

Paso 11.2.3.11

Multiplica $6$ por $- 2$ .

$\frac{45}{2} - (2 - 12) - ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3})$

Paso 11.2.3.12

Resta $12$ de $2$ .

$\frac{45}{2} - - 10 - ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3})$

Paso 11.2.3.13

Multiplica $- 1$ por $- 10$ .

$\frac{45}{2} + 10 - ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3})$

Paso 11.2.3.14

Para escribir $10$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{45}{2} + 10 \cdot \frac{2}{2} - ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3})$

Paso 11.2.3.15

Combina $10$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{45}{2} + \frac{10 \cdot 2}{2} - ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3})$

Paso 11.2.3.16

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{45 + 10 \cdot 2}{2} - ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3})$

Paso 11.2.3.17

Simplifica el numerador.

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Paso 11.2.3.17.1

Multiplica $10$ por $2$ .

$\frac{45 + 20}{2} - ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3})$

Paso 11.2.3.17.2

Suma $45$ y $20$ .

$\frac{65}{2} - ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3})$

Paso 11.2.3.18

Eleva $3$ a la potencia de $3$ .

$\frac{65}{2} - (\frac{27}{3} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3})$

Paso 11.2.3.19

Cancela el factor común de $27$ y $3$ .

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Paso 11.2.3.19.1

Factoriza $3$ de $27$ .

$\frac{65}{2} - (\frac{3 \cdot 9}{3} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3})$

Paso 11.2.3.19.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 11.2.3.19.2.1

Factoriza $3$ de $3$ .

$\frac{65}{2} - (\frac{3 \cdot 9}{3 (1)} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3})$

Paso 11.2.3.19.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{65}{2} - (\frac{3 \cdot 9}{3 \cdot 1} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3})$

Paso 11.2.3.19.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{65}{2} - (\frac{9}{1} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3})$

Paso 11.2.3.19.2.4

Divide $9$ por $1$ .

$\frac{65}{2} - (9 - \frac{{(- 2)}^{3}}{3})$

Paso 11.2.3.20

Eleva $- 2$ a la potencia de $3$ .

$\frac{65}{2} - (9 - \frac{- 8}{3})$

Paso 11.2.3.21

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{65}{2} - (9 - - \frac{8}{3})$

Paso 11.2.3.22

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{65}{2} - (9 + 1 (\frac{8}{3}))$

Paso 11.2.3.23

Multiplica $\frac{8}{3}$ por $1$ .

$\frac{65}{2} - (9 + \frac{8}{3})$

Paso 11.2.3.24

Para escribir $9$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{65}{2} - (9 \cdot \frac{3}{3} + \frac{8}{3})$

Paso 11.2.3.25

Combina $9$ y $\frac{3}{3}$ .

$\frac{65}{2} - (\frac{9 \cdot 3}{3} + \frac{8}{3})$

Paso 11.2.3.26

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{65}{2} - \frac{9 \cdot 3 + 8}{3}$

Paso 11.2.3.27

Simplifica el numerador.

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Paso 11.2.3.27.1

Multiplica $9$ por $3$ .

$\frac{65}{2} - \frac{27 + 8}{3}$

Paso 11.2.3.27.2

Suma $27$ y $8$ .

$\frac{65}{2} - \frac{35}{3}$

Paso 11.2.3.28

Para escribir $\frac{65}{2}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{65}{2} \cdot \frac{3}{3} - \frac{35}{3}$

Paso 11.2.3.29

Para escribir $- \frac{35}{3}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{65}{2} \cdot \frac{3}{3} - \frac{35}{3} \cdot \frac{2}{2}$

Paso 11.2.3.30

Escribe cada expresión con un denominador común de $6$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 11.2.3.30.1

Multiplica $\frac{65}{2}$ por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{65 \cdot 3}{2 \cdot 3} - \frac{35}{3} \cdot \frac{2}{2}$

Paso 11.2.3.30.2

Multiplica $2$ por $3$ .

$\frac{65 \cdot 3}{6} - \frac{35}{3} \cdot \frac{2}{2}$

Paso 11.2.3.30.3

Multiplica $\frac{35}{3}$ por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{65 \cdot 3}{6} - \frac{35 \cdot 2}{3 \cdot 2}$

Paso 11.2.3.30.4

Multiplica $3$ por $2$ .

$\frac{65 \cdot 3}{6} - \frac{35 \cdot 2}{6}$

Paso 11.2.3.31

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{65 \cdot 3 - 35 \cdot 2}{6}$

Paso 11.2.3.32

Simplifica el numerador.

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Paso 11.2.3.32.1

Multiplica $65$ por $3$ .

$\frac{195 - 35 \cdot 2}{6}$

Paso 11.2.3.32.2

Multiplica $- 35$ por $2$ .

$\frac{195 - 70}{6}$

Paso 11.2.3.32.3

Resta $70$ de $195$ .

$\frac{125}{6}$

Paso 12

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{125}{6}$

Forma decimal:

$20.8\overline{3}$

Forma de número mixto:

$20 \frac{5}{6}$

Paso 13