Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{3 \cos (x)}{2 x - π}$

Paso 1

Mueve el término $3$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$3 lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\cos (x)}{2 x - π}$

Paso 2

Aplica la regla de l'Hôpital

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Paso 2.1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 2.1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$3 \frac{lim_{x \to \frac{π}{2}} \cos (x)}{lim_{x \to \frac{π}{2}} 2 x - π}$

Paso 2.1.2

Evalúa el límite del numerador.

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Paso 2.1.2.1

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque el coseno es continuo.

$3 \frac{\cos (lim_{x \to \frac{π}{2}} x)}{lim_{x \to \frac{π}{2}} 2 x - π}$

Paso 2.1.2.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $\frac{π}{2}$ para $x$ .

$3 \frac{\cos (\frac{π}{2})}{lim_{x \to \frac{π}{2}} 2 x - π}$

Paso 2.1.2.3

El valor exacto de $\cos (\frac{π}{2})$ es $0$ .

$3 \frac{0}{lim_{x \to \frac{π}{2}} 2 x - π}$

Paso 2.1.3

Evalúa el límite del denominador.

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Paso 2.1.3.1

Evalúa el límite.

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Paso 2.1.3.1.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $\frac{π}{2}$ .

$3 \frac{0}{lim_{x \to \frac{π}{2}} 2 x - lim_{x \to \frac{π}{2}} π}$

Paso 2.1.3.1.2

Mueve el término $2$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$3 \frac{0}{2 lim_{x \to \frac{π}{2}} x - lim_{x \to \frac{π}{2}} π}$

Paso 2.1.3.1.3

Evalúa el límite de $π$ que es constante cuando $x$ se acerca a $\frac{π}{2}$ .

$3 \frac{0}{2 lim_{x \to \frac{π}{2}} x - π}$

Paso 2.1.3.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $\frac{π}{2}$ para $x$ .

$3 \frac{0}{2 \frac{π}{2} - π}$

Paso 2.1.3.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 2.1.3.3.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.1.3.3.1.1

Cancela el factor común.

$3 \frac{0}{2 \frac{π}{2} - π}$

Paso 2.1.3.3.1.2

Reescribe la expresión.

$3 \frac{0}{π - π}$

Paso 2.1.3.3.2

Resta $π$ de $π$ .

$3 (\frac{0}{0})$

Paso 2.1.3.3.3

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$3 (\frac{0}{0})$

Paso 2.1.3.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$3 (\frac{0}{0})$

Paso 2.1.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$3 (\frac{0}{0})$

Paso 2.2

Como $\frac{0}{0}$ es de forma indeterminada, aplica la regla de l'Hôpital. La regla de l'Hôpital establece que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas.

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\cos (x)}{2 x - π} = lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\frac{d}{d x} [2 x - π]}$

Paso 2.3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 2.3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$3 lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\frac{d}{d x} [2 x - π]}$

Paso 2.3.2

La derivada de $\cos (x)$ con respecto a $x$ es $- \sin (x)$ .

$3 lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{- \sin (x)}{\frac{d}{d x} [2 x - π]}$

Paso 2.3.3

Según la regla de la suma, la derivada de $2 x - π$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- π]$ .

$3 lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{- \sin (x)}{\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- π]}$

Paso 2.3.4

Evalúa $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Paso 2.3.4.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{- \sin (x)}{2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- π]}$

Paso 2.3.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$3 lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{- \sin (x)}{2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- π]}$

Paso 2.3.4.3

Multiplica $2$ por $1$ .

$3 lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{- \sin (x)}{2 + \frac{d}{d x} [- π]}$

Paso 2.3.5

Como $- π$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- π$ con respecto a $x$ es $0$ .

$3 lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{- \sin (x)}{2 + 0}$

Paso 2.3.6

Suma $2$ y $0$ .

$3 lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{- \sin (x)}{2}$

Paso 3

Evalúa el límite.

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Paso 3.1

Mueve el término $\frac{1}{2}$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$3 (\frac{1}{2}) lim_{x \to \frac{π}{2}} - \sin (x)$

Paso 3.2

Mueve el término $- 1$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$3 (\frac{1}{2}) \cdot - 1 lim_{x \to \frac{π}{2}} \sin (x)$

Paso 3.3

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque el seno es continuo.

$3 (\frac{1}{2}) \cdot - 1 \sin (lim_{x \to \frac{π}{2}} x)$

Paso 4

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $\frac{π}{2}$ para $x$ .

$3 (\frac{1}{2}) \cdot - 1 \sin (\frac{π}{2})$

Paso 5

Simplifica la respuesta.

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Paso 5.1

Combina $3$ y $\frac{1}{2}$ .

$\frac{3}{2} \cdot - 1 \sin (\frac{π}{2})$

Paso 5.2

Multiplica $\frac{3}{2} \cdot - 1$ .

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Paso 5.2.1

Combina $\frac{3}{2}$ y $- 1$ .

$\frac{3 \cdot - 1}{2} \sin (\frac{π}{2})$

Paso 5.2.2

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$\frac{- 3}{2} \sin (\frac{π}{2})$

Paso 5.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{3}{2} \sin (\frac{π}{2})$

Paso 5.4

El valor exacto de $\sin (\frac{π}{2})$ es $1$ .

$- \frac{3}{2} \cdot 1$

Paso 5.5

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$- \frac{3}{2}$

Paso 6

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$- \frac{3}{2}$

Forma decimal:

$- 1.5$