Cálculo Ejemplos

$\int \frac{2 x^{3} \ln ({(3 + x^{4})}^{4})}{3 + x^{4}} d x$

Paso 1

Reescribe $\frac{2 x^{3} \ln ({(3 + x^{4})}^{4})}{3 + x^{4}}$ como $\frac{2 x^{3} (4 \ln (3 + x^{4}))}{3 + x^{4}}$ .

$\int \frac{2 x^{3} (4 \ln (3 + x^{4}))}{3 + x^{4}} d x$

Paso 2

Dado que $2 \cdot 4$ es constante con respecto a $x$ , mueve $2 \cdot 4$ fuera de la integral.

$2 \cdot 4 \int \frac{x^{3} (\ln (3 + x^{4}))}{3 + x^{4}} d x$

Paso 3

Multiplica $2$ por $4$ .

$8 \int \frac{x^{3} (\ln (3 + x^{4}))}{3 + x^{4}} d x$

Paso 4

Sea $u_{1} = 3 + x^{4}$ . Entonces $d u_{1} = 4 x^{3} d x$ , de modo que $\frac{1}{4} d u_{1} = x^{3} d x$ . Reescribe mediante $u_{1}$ y $d$ $u_{1}$ .

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Paso 4.1

Deja $u_{1} = 3 + x^{4}$ . Obtén $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Paso 4.1.1

Diferencia $3 + x^{4}$ .

$\frac{d}{d x} [3 + x^{4}]$

Paso 4.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $3 + x^{4}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Paso 4.1.3

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3$ con respecto a $x$ es $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Paso 4.1.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$0 + 4 x^{3}$

Paso 4.1.5

Suma $0$ y $4 x^{3}$ .

$4 x^{3}$

Paso 4.2

Reescribe el problema mediante $u_{1}$ y $d u_{1}$ .

$8 \int \frac{\ln (u_{1})}{u_{1}} \cdot \frac{1}{4} d u_{1}$

Paso 5

Simplifica.

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Paso 5.1

Multiplica $\frac{\ln (u_{1})}{u_{1}}$ por $\frac{1}{4}$ .

$8 \int \frac{\ln (u_{1})}{u_{1} \cdot 4} d u_{1}$

Paso 5.2

Mueve $4$ a la izquierda de $u_{1}$ .

$8 \int \frac{\ln (u_{1})}{4 u_{1}} d u_{1}$

Paso 6

Dado que $\frac{1}{4}$ es constante con respecto a $u_{1}$ , mueve $\frac{1}{4}$ fuera de la integral.

$8 (\frac{1}{4} \int \frac{\ln (u_{1})}{u_{1}} d u_{1})$

Paso 7

Simplifica.

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Paso 7.1

Combina $\frac{1}{4}$ y $8$ .

$\frac{8}{4} \int \frac{\ln (u_{1})}{u_{1}} d u_{1}$

Paso 7.2

Cancela el factor común de $8$ y $4$ .

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Paso 7.2.1

Factoriza $4$ de $8$ .

$\frac{4 \cdot 2}{4} \int \frac{\ln (u_{1})}{u_{1}} d u_{1}$

Paso 7.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 7.2.2.1

Factoriza $4$ de $4$ .

$\frac{4 \cdot 2}{4 (1)} \int \frac{\ln (u_{1})}{u_{1}} d u_{1}$

Paso 7.2.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{4 \cdot 2}{4 \cdot 1} \int \frac{\ln (u_{1})}{u_{1}} d u_{1}$

Paso 7.2.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{2}{1} \int \frac{\ln (u_{1})}{u_{1}} d u_{1}$

Paso 7.2.2.4

Divide $2$ por $1$ .

$2 \int \frac{\ln (u_{1})}{u_{1}} d u_{1}$

Paso 8

Sea $u_{2} = \ln (u_{1})$ . Entonces $d u_{2} = \frac{1}{u_{1}} d u_{1}$ , de modo que $u_{1} d u_{2} = d u_{1}$ . Reescribe mediante $u_{2}$ y $d$ $u_{2}$ .

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Paso 8.1

Deja $u_{2} = \ln (u_{1})$ . Obtén $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

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Paso 8.1.1

Diferencia $\ln (u_{1})$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})]$

Paso 8.1.2

La derivada de $\ln (u_{1})$ con respecto a $u_{1}$ es $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}}$

Paso 8.2

Reescribe el problema mediante $u_{2}$ y $d u_{2}$ .

$2 \int u_{2} d u_{2}$

Paso 9

Según la regla de la potencia, la integral de $u_{2}$ con respecto a $u_{2}$ es $\frac{1}{2} {u_{2}}^{2}$ .

$2 (\frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C)$

Paso 10

Simplifica.

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Paso 10.1

Reescribe $2 (\frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C)$ como $2 (\frac{1}{2}) {u_{2}}^{2} + C$ .

$2 (\frac{1}{2}) {u_{2}}^{2} + C$

Paso 10.2

Simplifica.

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Paso 10.2.1

Combina $2$ y $\frac{1}{2}$ .

$\frac{2}{2} {u_{2}}^{2} + C$

Paso 10.2.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 10.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{2}{2} {u_{2}}^{2} + C$

Paso 10.2.2.2

Reescribe la expresión.

$1 {u_{2}}^{2} + C$

Paso 10.2.3

Multiplica ${u_{2}}^{2}$ por $1$ .

${u_{2}}^{2} + C$

Paso 11

Vuelve a sustituir para cada variable de sustitución de la integración.

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Paso 11.1

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $\ln (u_{1})$ .

$\ln^{2} (u_{1}) + C$

Paso 11.2

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $3 + x^{4}$ .

$\ln^{2} (3 + x^{4}) + C$