Cálculo Ejemplos

$\int 2 x (4 x + 5) (2 x + 1) d x$

Paso 1

Dado que $2$ es constante con respecto a $x$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$2 \int (x (4 x + 5)) (2 x + 1) d x$

Paso 2

Sea $u = 2 x + 1$ . Entonces $d u = 2 d x$ , de modo que $\frac{1}{2} d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 2.1

Deja $u = 2 x + 1$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 2.1.1

Diferencia $2 x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [2 x + 1]$

Paso 2.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $2 x + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 2.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Paso 2.1.3.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 2.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 2.1.3.3

Multiplica $2$ por $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [1]$

$2 + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 2.1.4

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 2.1.4.1

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$2 + 0$

Paso 2.1.4.2

Suma $2$ y $0$ .

$2$

$2$

$2$

Paso 2.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$2 \int (\frac{u}{2} - \frac{1}{2}) (4 (\frac{u}{2} - \frac{1}{2}) + 5) u \frac{1}{2} d u$

$2 \int (\frac{u}{2} - \frac{1}{2}) (4 (\frac{u}{2} - \frac{1}{2}) + 5) u \frac{1}{2} d u$

Paso 3

Combina $\frac{1}{2}$ y $u$ .

$2 \int (\frac{u}{2} - \frac{1}{2}) (4 (\frac{u}{2} - \frac{1}{2}) + 5) \frac{u}{2} d u$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$2 \int (\frac{u}{2} - \frac{1}{2}) (4 \frac{u}{2} + 4 (- \frac{1}{2}) + 5) \frac{u}{2} d u$

Paso 4.2

Aplica la propiedad distributiva.

$2 \int (\frac{u}{2} (4 \frac{u}{2} + 4 (- \frac{1}{2}) + 5) - \frac{1}{2} (4 \frac{u}{2} + 4 (- \frac{1}{2}) + 5)) \frac{u}{2} d u$

Paso 4.3

Aplica la propiedad distributiva.

$2 \int (\frac{u}{2} (4 \frac{u}{2} + 4 (- \frac{1}{2})) + \frac{u}{2} \cdot 5 - \frac{1}{2} (4 \frac{u}{2} + 4 (- \frac{1}{2}) + 5)) \frac{u}{2} d u$

Paso 4.4

Aplica la propiedad distributiva.

$2 \int (\frac{u}{2} (4 \frac{u}{2}) + \frac{u}{2} (4 (- \frac{1}{2})) + \frac{u}{2} \cdot 5 - \frac{1}{2} (4 \frac{u}{2} + 4 (- \frac{1}{2}) + 5)) \frac{u}{2} d u$

Paso 4.5

Aplica la propiedad distributiva.

$2 \int (\frac{u}{2} (4 \frac{u}{2}) + \frac{u}{2} (4 (- \frac{1}{2})) + \frac{u}{2} \cdot 5 - \frac{1}{2} (4 \frac{u}{2} + 4 (- \frac{1}{2})) - \frac{1}{2} \cdot 5) \frac{u}{2} d u$

Paso 4.6

Aplica la propiedad distributiva.

$2 \int (\frac{u}{2} (4 \frac{u}{2}) + \frac{u}{2} (4 (- \frac{1}{2})) + \frac{u}{2} \cdot 5 - \frac{1}{2} (4 \frac{u}{2}) - \frac{1}{2} (4 (- \frac{1}{2})) - \frac{1}{2} \cdot 5) \frac{u}{2} d u$

Paso 4.7

Aplica la propiedad distributiva.

$2 \int (\frac{u}{2} (4 \frac{u}{2}) + \frac{u}{2} (4 (- \frac{1}{2})) + \frac{u}{2} \cdot 5) \frac{u}{2} + (- \frac{1}{2} (4 \frac{u}{2}) - \frac{1}{2} (4 (- \frac{1}{2})) - \frac{1}{2} \cdot 5) \frac{u}{2} d u$

Paso 4.8

Aplica la propiedad distributiva.

$2 \int (\frac{u}{2} (4 \frac{u}{2}) + \frac{u}{2} (4 (- \frac{1}{2}))) \frac{u}{2} + \frac{u}{2} \cdot 5 \frac{u}{2} + (- \frac{1}{2} (4 \frac{u}{2}) - \frac{1}{2} (4 (- \frac{1}{2})) - \frac{1}{2} \cdot 5) \frac{u}{2} d u$

Paso 4.9

Aplica la propiedad distributiva.

$2 \int \frac{u}{2} (4 \frac{u}{2}) \frac{u}{2} + \frac{u}{2} (4 (- \frac{1}{2})) \frac{u}{2} + \frac{u}{2} \cdot 5 \frac{u}{2} + (- \frac{1}{2} (4 \frac{u}{2}) - \frac{1}{2} (4 (- \frac{1}{2})) - \frac{1}{2} \cdot 5) \frac{u}{2} d u$

Paso 4.10

Aplica la propiedad distributiva.

$2 \int \frac{u}{2} (4 \frac{u}{2}) \frac{u}{2} + \frac{u}{2} (4 (- \frac{1}{2})) \frac{u}{2} + \frac{u}{2} \cdot 5 \frac{u}{2} + (- \frac{1}{2} (4 \frac{u}{2}) - \frac{1}{2} (4 (- \frac{1}{2}))) \frac{u}{2} - \frac{1}{2} \cdot 5 \frac{u}{2} d u$

Paso 4.11

Aplica la propiedad distributiva.

$2 \int \frac{u}{2} (4 \frac{u}{2}) \frac{u}{2} + \frac{u}{2} (4 (- \frac{1}{2})) \frac{u}{2} + \frac{u}{2} \cdot 5 \frac{u}{2} - \frac{1}{2} (4 \frac{u}{2}) \frac{u}{2} - \frac{1}{2} (4 (- \frac{1}{2})) \frac{u}{2} - \frac{1}{2} \cdot 5 \frac{u}{2} d u$

Paso 4.12

Reordena $\frac{u}{2}$ y $4$ .

$2 \int 4 \cdot \frac{u}{2} \frac{u}{2} \frac{u}{2} + \frac{u}{2} (4 (- \frac{1}{2})) \frac{u}{2} + \frac{u}{2} \cdot 5 \frac{u}{2} - \frac{1}{2} (4 \frac{u}{2}) \frac{u}{2} - \frac{1}{2} (4 (- \frac{1}{2})) \frac{u}{2} - \frac{1}{2} \cdot 5 \frac{u}{2} d u$

Paso 4.13

Mueve los paréntesis.

$2 \int 4 \cdot \frac{u}{2} \frac{u}{2} \frac{u}{2} + \frac{u}{2} (4 \cdot - 1) \frac{1}{2} \frac{u}{2} + \frac{u}{2} \cdot 5 \frac{u}{2} - \frac{1}{2} (4 \frac{u}{2}) \frac{u}{2} - \frac{1}{2} (4 (- \frac{1}{2})) \frac{u}{2} - \frac{1}{2} \cdot 5 \frac{u}{2} d u$

Paso 4.14

Mueve $\frac{u}{2}$ .

$2 \int 4 \cdot \frac{u}{2} \frac{u}{2} \frac{u}{2} + 4 \cdot - 1 \frac{u}{2} \frac{1}{2} \frac{u}{2} + \frac{u}{2} \cdot 5 \frac{u}{2} - \frac{1}{2} (4 \frac{u}{2}) \frac{u}{2} - \frac{1}{2} (4 (- \frac{1}{2})) \frac{u}{2} - \frac{1}{2} \cdot 5 \frac{u}{2} d u$

Paso 4.15

Reordena $\frac{u}{2}$ y $5$ .

$2 \int 4 \cdot \frac{u}{2} \frac{u}{2} \frac{u}{2} + 4 \cdot - 1 \frac{u}{2} \frac{1}{2} \frac{u}{2} + 5 \cdot \frac{u}{2} \frac{u}{2} - \frac{1}{2} (4 \frac{u}{2}) \frac{u}{2} - \frac{1}{2} (4 (- \frac{1}{2})) \frac{u}{2} - \frac{1}{2} \cdot 5 \frac{u}{2} d u$

Paso 4.16

Mueve $\frac{1}{2}$ .

$2 \int 4 \cdot \frac{u}{2} \frac{u}{2} \frac{u}{2} + 4 \cdot - 1 \frac{u}{2} \frac{1}{2} \frac{u}{2} + 5 \cdot \frac{u}{2} \frac{u}{2} - 1 \cdot 4 \frac{1}{2} \frac{u}{2} \frac{u}{2} - \frac{1}{2} (4 (- \frac{1}{2})) \frac{u}{2} - \frac{1}{2} \cdot 5 \frac{u}{2} d u$

Paso 4.17

Mueve los paréntesis.

$2 \int 4 \cdot \frac{u}{2} \frac{u}{2} \frac{u}{2} + 4 \cdot - 1 \frac{u}{2} \frac{1}{2} \frac{u}{2} + 5 \cdot \frac{u}{2} \frac{u}{2} - 1 \cdot 4 \frac{1}{2} \frac{u}{2} \frac{u}{2} - \frac{1}{2} (4 \cdot - 1) \frac{1}{2} \frac{u}{2} - \frac{1}{2} \cdot 5 \frac{u}{2} d u$

Paso 4.18

Mueve $\frac{1}{2}$ .

$2 \int 4 \cdot \frac{u}{2} \frac{u}{2} \frac{u}{2} + 4 \cdot - 1 \frac{u}{2} \frac{1}{2} \frac{u}{2} + 5 \cdot \frac{u}{2} \frac{u}{2} - 1 \cdot 4 \frac{1}{2} \frac{u}{2} \frac{u}{2} - 1 \cdot 4 \cdot - 1 \frac{1}{2} \frac{1}{2} \frac{u}{2} - \frac{1}{2} \cdot 5 \frac{u}{2} d u$

Paso 4.19

Mueve $\frac{1}{2}$ .

$2 \int 4 \cdot \frac{u}{2} \frac{u}{2} \frac{u}{2} + 4 \cdot - 1 \frac{u}{2} \frac{1}{2} \frac{u}{2} + 5 \cdot \frac{u}{2} \frac{u}{2} - 1 \cdot 4 \frac{1}{2} \frac{u}{2} \frac{u}{2} - 1 \cdot 4 \cdot - 1 \frac{1}{2} \frac{1}{2} \frac{u}{2} - 1 \cdot 5 \frac{1}{2} \frac{u}{2} d u$

Paso 4.20

Combina $4$ y $\frac{u}{2}$ .

$2 \int \frac{4 u}{2} \cdot \frac{u}{2} \frac{u}{2} + 4 \cdot - 1 \frac{u}{2} \frac{1}{2} \frac{u}{2} + 5 \frac{u}{2} \frac{u}{2} - 1 \cdot 4 \frac{1}{2} \frac{u}{2} \frac{u}{2} - 1 \cdot 4 \cdot - 1 \frac{1}{2} \frac{1}{2} \frac{u}{2} - 1 \cdot 5 \frac{1}{2} \frac{u}{2} d u$

Paso 4.21

Multiplica $\frac{4 u}{2}$ por $\frac{u}{2}$ .

$2 \int \frac{4 u \cdot u}{2 \cdot 2} \cdot \frac{u}{2} + 4 \cdot - 1 \frac{u}{2} \frac{1}{2} \frac{u}{2} + 5 \frac{u}{2} \frac{u}{2} - 1 \cdot 4 \frac{1}{2} \frac{u}{2} \frac{u}{2} - 1 \cdot 4 \cdot - 1 \frac{1}{2} \frac{1}{2} \frac{u}{2} - 1 \cdot 5 \frac{1}{2} \frac{u}{2} d u$

Paso 4.22

Eleva $u$ a la potencia de $1$ .

$2 \int \frac{4 (u^{1} u)}{2 \cdot 2} \cdot \frac{u}{2} + 4 \cdot - 1 \frac{u}{2} \frac{1}{2} \frac{u}{2} + 5 \frac{u}{2} \frac{u}{2} - 1 \cdot 4 \frac{1}{2} \frac{u}{2} \frac{u}{2} - 1 \cdot 4 \cdot - 1 \frac{1}{2} \frac{1}{2} \frac{u}{2} - 1 \cdot 5 \frac{1}{2} \frac{u}{2} d u$

Paso 4.23

Eleva $u$ a la potencia de $1$ .

$2 \int \frac{4 (u^{1} u^{1})}{2 \cdot 2} \cdot \frac{u}{2} + 4 \cdot - 1 \frac{u}{2} \frac{1}{2} \frac{u}{2} + 5 \frac{u}{2} \frac{u}{2} - 1 \cdot 4 \frac{1}{2} \frac{u}{2} \frac{u}{2} - 1 \cdot 4 \cdot - 1 \frac{1}{2} \frac{1}{2} \frac{u}{2} - 1 \cdot 5 \frac{1}{2} \frac{u}{2} d u$

Paso 4.24

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$2 \int \frac{4 u^{1 + 1}}{2 \cdot 2} \cdot \frac{u}{2} + 4 \cdot - 1 \frac{u}{2} \frac{1}{2} \frac{u}{2} + 5 \frac{u}{2} \frac{u}{2} - 1 \cdot 4 \frac{1}{2} \frac{u}{2} \frac{u}{2} - 1 \cdot 4 \cdot - 1 \frac{1}{2} \frac{1}{2} \frac{u}{2} - 1 \cdot 5 \frac{1}{2} \frac{u}{2} d u$

Paso 4.25

Suma $1$ y $1$ .

$2 \int \frac{4 u^{2}}{2 \cdot 2} \cdot \frac{u}{2} + 4 \cdot - 1 \frac{u}{2} \frac{1}{2} \frac{u}{2} + 5 \frac{u}{2} \frac{u}{2} - 1 \cdot 4 \frac{1}{2} \frac{u}{2} \frac{u}{2} - 1 \cdot 4 \cdot - 1 \frac{1}{2} \frac{1}{2} \frac{u}{2} - 1 \cdot 5 \frac{1}{2} \frac{u}{2} d u$

Paso 4.26

Multiplica $2$ por $2$ .

$2 \int \frac{4 u^{2}}{4} \cdot \frac{u}{2} + 4 \cdot - 1 \frac{u}{2} \frac{1}{2} \frac{u}{2} + 5 \frac{u}{2} \frac{u}{2} - 1 \cdot 4 \frac{1}{2} \frac{u}{2} \frac{u}{2} - 1 \cdot 4 \cdot - 1 \frac{1}{2} \frac{1}{2} \frac{u}{2} - 1 \cdot 5 \frac{1}{2} \frac{u}{2} d u$

Paso 4.27

Multiplica $\frac{4 u^{2}}{4}$ por $\frac{u}{2}$ .

$2 \int \frac{4 u^{2} u}{4 \cdot 2} + 4 \cdot - 1 \frac{u}{2} \frac{1}{2} \frac{u}{2} + 5 \frac{u}{2} \frac{u}{2} - 1 \cdot 4 \frac{1}{2} \frac{u}{2} \frac{u}{2} - 1 \cdot 4 \cdot - 1 \frac{1}{2} \frac{1}{2} \frac{u}{2} - 1 \cdot 5 \frac{1}{2} \frac{u}{2} d u$

Paso 4.28

Eleva $u$ a la potencia de $1$ .

$2 \int \frac{4 (u^{2} u^{1})}{4 \cdot 2} + 4 \cdot - 1 \frac{u}{2} \frac{1}{2} \frac{u}{2} + 5 \frac{u}{2} \frac{u}{2} - 1 \cdot 4 \frac{1}{2} \frac{u}{2} \frac{u}{2} - 1 \cdot 4 \cdot - 1 \frac{1}{2} \frac{1}{2} \frac{u}{2} - 1 \cdot 5 \frac{1}{2} \frac{u}{2} d u$

Paso 4.29

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$2 \int \frac{4 u^{2 + 1}}{4 \cdot 2} + 4 \cdot - 1 \frac{u}{2} \frac{1}{2} \frac{u}{2} + 5 \frac{u}{2} \frac{u}{2} - 1 \cdot 4 \frac{1}{2} \frac{u}{2} \frac{u}{2} - 1 \cdot 4 \cdot - 1 \frac{1}{2} \frac{1}{2} \frac{u}{2} - 1 \cdot 5 \frac{1}{2} \frac{u}{2} d u$

Paso 4.30

Suma $2$ y $1$ .

$2 \int \frac{4 u^{3}}{4 \cdot 2} + 4 \cdot - 1 \frac{u}{2} \frac{1}{2} \frac{u}{2} + 5 \frac{u}{2} \frac{u}{2} - 1 \cdot 4 \frac{1}{2} \frac{u}{2} \frac{u}{2} - 1 \cdot 4 \cdot - 1 \frac{1}{2} \frac{1}{2} \frac{u}{2} - 1 \cdot 5 \frac{1}{2} \frac{u}{2} d u$

Paso 4.31

Multiplica $4$ por $2$ .

$2 \int \frac{4 u^{3}}{8} + 4 \cdot - 1 \frac{u}{2} \frac{1}{2} \frac{u}{2} + 5 \frac{u}{2} \frac{u}{2} - 1 \cdot 4 \frac{1}{2} \frac{u}{2} \frac{u}{2} - 1 \cdot 4 \cdot - 1 \frac{1}{2} \frac{1}{2} \frac{u}{2} - 1 \cdot 5 \frac{1}{2} \frac{u}{2} d u$

Paso 4.32

Multiplica $4$ por $- 1$ .

$2 \int \frac{4 u^{3}}{8} - 4 \frac{u}{2} \frac{1}{2} \frac{u}{2} + 5 \frac{u}{2} \frac{u}{2} - 1 \cdot 4 \frac{1}{2} \frac{u}{2} \frac{u}{2} - 1 \cdot 4 \cdot - 1 \frac{1}{2} \frac{1}{2} \frac{u}{2} - 1 \cdot 5 \frac{1}{2} \frac{u}{2} d u$

Paso 4.33

Combina $- 4$ y $\frac{u}{2}$ .

$2 \int \frac{4 u^{3}}{8} + \frac{- 4 u}{2} \cdot \frac{1}{2} \frac{u}{2} + 5 \frac{u}{2} \frac{u}{2} - 1 \cdot 4 \frac{1}{2} \frac{u}{2} \frac{u}{2} - 1 \cdot 4 \cdot - 1 \frac{1}{2} \frac{1}{2} \frac{u}{2} - 1 \cdot 5 \frac{1}{2} \frac{u}{2} d u$

Paso 4.34

Multiplica $\frac{- 4 u}{2}$ por $\frac{1}{2}$ .

$2 \int \frac{4 u^{3}}{8} + \frac{- 4 u}{2 \cdot 2} \cdot \frac{u}{2} + 5 \frac{u}{2} \frac{u}{2} - 1 \cdot 4 \frac{1}{2} \frac{u}{2} \frac{u}{2} - 1 \cdot 4 \cdot - 1 \frac{1}{2} \frac{1}{2} \frac{u}{2} - 1 \cdot 5 \frac{1}{2} \frac{u}{2} d u$

Paso 4.35

Multiplica $2$ por $2$ .

$2 \int \frac{4 u^{3}}{8} + \frac{- 4 u}{4} \cdot \frac{u}{2} + 5 \frac{u}{2} \frac{u}{2} - 1 \cdot 4 \frac{1}{2} \frac{u}{2} \frac{u}{2} - 1 \cdot 4 \cdot - 1 \frac{1}{2} \frac{1}{2} \frac{u}{2} - 1 \cdot 5 \frac{1}{2} \frac{u}{2} d u$

Paso 4.36

Multiplica $\frac{- 4 u}{4}$ por $\frac{u}{2}$ .

$2 \int \frac{4 u^{3}}{8} + \frac{- 4 u \cdot u}{4 \cdot 2} + 5 \frac{u}{2} \frac{u}{2} - 1 \cdot 4 \frac{1}{2} \frac{u}{2} \frac{u}{2} - 1 \cdot 4 \cdot - 1 \frac{1}{2} \frac{1}{2} \frac{u}{2} - 1 \cdot 5 \frac{1}{2} \frac{u}{2} d u$

Paso 4.37

Eleva $u$ a la potencia de $1$ .

$2 \int \frac{4 u^{3}}{8} + \frac{- 4 (u^{1} u)}{4 \cdot 2} + 5 \frac{u}{2} \frac{u}{2} - 1 \cdot 4 \frac{1}{2} \frac{u}{2} \frac{u}{2} - 1 \cdot 4 \cdot - 1 \frac{1}{2} \frac{1}{2} \frac{u}{2} - 1 \cdot 5 \frac{1}{2} \frac{u}{2} d u$

Paso 4.38

Eleva $u$ a la potencia de $1$ .

$2 \int \frac{4 u^{3}}{8} + \frac{- 4 (u^{1} u^{1})}{4 \cdot 2} + 5 \frac{u}{2} \frac{u}{2} - 1 \cdot 4 \frac{1}{2} \frac{u}{2} \frac{u}{2} - 1 \cdot 4 \cdot - 1 \frac{1}{2} \frac{1}{2} \frac{u}{2} - 1 \cdot 5 \frac{1}{2} \frac{u}{2} d u$

Paso 4.39

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$2 \int \frac{4 u^{3}}{8} + \frac{- 4 u^{1 + 1}}{4 \cdot 2} + 5 \frac{u}{2} \frac{u}{2} - 1 \cdot 4 \frac{1}{2} \frac{u}{2} \frac{u}{2} - 1 \cdot 4 \cdot - 1 \frac{1}{2} \frac{1}{2} \frac{u}{2} - 1 \cdot 5 \frac{1}{2} \frac{u}{2} d u$

Paso 4.40

Suma $1$ y $1$ .

$2 \int \frac{4 u^{3}}{8} + \frac{- 4 u^{2}}{4 \cdot 2} + 5 \frac{u}{2} \frac{u}{2} - 1 \cdot 4 \frac{1}{2} \frac{u}{2} \frac{u}{2} - 1 \cdot 4 \cdot - 1 \frac{1}{2} \frac{1}{2} \frac{u}{2} - 1 \cdot 5 \frac{1}{2} \frac{u}{2} d u$

Paso 4.41

Multiplica $4$ por $2$ .

$2 \int \frac{4 u^{3}}{8} + \frac{- 4 u^{2}}{8} + 5 \frac{u}{2} \frac{u}{2} - 1 \cdot 4 \frac{1}{2} \frac{u}{2} \frac{u}{2} - 1 \cdot 4 \cdot - 1 \frac{1}{2} \frac{1}{2} \frac{u}{2} - 1 \cdot 5 \frac{1}{2} \frac{u}{2} d u$

Paso 4.42

Combina $5$ y $\frac{u}{2}$ .

$2 \int \frac{4 u^{3}}{8} + \frac{- 4 u^{2}}{8} + \frac{5 u}{2} \cdot \frac{u}{2} - 1 \cdot 4 \frac{1}{2} \frac{u}{2} \frac{u}{2} - 1 \cdot 4 \cdot - 1 \frac{1}{2} \frac{1}{2} \frac{u}{2} - 1 \cdot 5 \frac{1}{2} \frac{u}{2} d u$

Paso 4.43

Multiplica $\frac{5 u}{2}$ por $\frac{u}{2}$ .

$2 \int \frac{4 u^{3}}{8} + \frac{- 4 u^{2}}{8} + \frac{5 u \cdot u}{2 \cdot 2} - 1 \cdot 4 \frac{1}{2} \frac{u}{2} \frac{u}{2} - 1 \cdot 4 \cdot - 1 \frac{1}{2} \frac{1}{2} \frac{u}{2} - 1 \cdot 5 \frac{1}{2} \frac{u}{2} d u$

Paso 4.44

Eleva $u$ a la potencia de $1$ .

$2 \int \frac{4 u^{3}}{8} + \frac{- 4 u^{2}}{8} + \frac{5 (u^{1} u)}{2 \cdot 2} - 1 \cdot 4 \frac{1}{2} \frac{u}{2} \frac{u}{2} - 1 \cdot 4 \cdot - 1 \frac{1}{2} \frac{1}{2} \frac{u}{2} - 1 \cdot 5 \frac{1}{2} \frac{u}{2} d u$

Paso 4.45

Eleva $u$ a la potencia de $1$ .

$2 \int \frac{4 u^{3}}{8} + \frac{- 4 u^{2}}{8} + \frac{5 (u^{1} u^{1})}{2 \cdot 2} - 1 \cdot 4 \frac{1}{2} \frac{u}{2} \frac{u}{2} - 1 \cdot 4 \cdot - 1 \frac{1}{2} \frac{1}{2} \frac{u}{2} - 1 \cdot 5 \frac{1}{2} \frac{u}{2} d u$

Paso 4.46

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$2 \int \frac{4 u^{3}}{8} + \frac{- 4 u^{2}}{8} + \frac{5 u^{1 + 1}}{2 \cdot 2} - 1 \cdot 4 \frac{1}{2} \frac{u}{2} \frac{u}{2} - 1 \cdot 4 \cdot - 1 \frac{1}{2} \frac{1}{2} \frac{u}{2} - 1 \cdot 5 \frac{1}{2} \frac{u}{2} d u$

Paso 4.47

Suma $1$ y $1$ .

$2 \int \frac{4 u^{3}}{8} + \frac{- 4 u^{2}}{8} + \frac{5 u^{2}}{2 \cdot 2} - 1 \cdot 4 \frac{1}{2} \frac{u}{2} \frac{u}{2} - 1 \cdot 4 \cdot - 1 \frac{1}{2} \frac{1}{2} \frac{u}{2} - 1 \cdot 5 \frac{1}{2} \frac{u}{2} d u$

Paso 4.48

Multiplica $2$ por $2$ .

$2 \int \frac{4 u^{3}}{8} + \frac{- 4 u^{2}}{8} + \frac{5 u^{2}}{4} - 1 \cdot 4 \frac{1}{2} \frac{u}{2} \frac{u}{2} - 1 \cdot 4 \cdot - 1 \frac{1}{2} \frac{1}{2} \frac{u}{2} - 1 \cdot 5 \frac{1}{2} \frac{u}{2} d u$

Paso 4.49

Para escribir $\frac{5 u^{2}}{4}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$2 \int \frac{4 u^{3}}{8} + \frac{- 4 u^{2}}{8} + \frac{5 u^{2}}{4} \cdot \frac{2}{2} - 1 \cdot 4 \frac{1}{2} \frac{u}{2} \frac{u}{2} - 1 \cdot 4 \cdot - 1 \frac{1}{2} \frac{1}{2} \frac{u}{2} - 1 \cdot 5 \frac{1}{2} \frac{u}{2} d u$

Paso 4.50

Escribe cada expresión con un denominador común de $8$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.50.1

Multiplica $\frac{5 u^{2}}{4}$ por $\frac{2}{2}$ .

$2 \int \frac{4 u^{3}}{8} + \frac{- 4 u^{2}}{8} + \frac{5 u^{2} \cdot 2}{4 \cdot 2} - 1 \cdot 4 \frac{1}{2} \frac{u}{2} \frac{u}{2} - 1 \cdot 4 \cdot - 1 \frac{1}{2} \frac{1}{2} \frac{u}{2} - 1 \cdot 5 \frac{1}{2} \frac{u}{2} d u$

Paso 4.50.2

Multiplica $4$ por $2$ .

$2 \int \frac{4 u^{3}}{8} + \frac{- 4 u^{2}}{8} + \frac{5 u^{2} \cdot 2}{8} - 1 \cdot 4 \frac{1}{2} \frac{u}{2} \frac{u}{2} - 1 \cdot 4 \cdot - 1 \frac{1}{2} \frac{1}{2} \frac{u}{2} - 1 \cdot 5 \frac{1}{2} \frac{u}{2} d u$

$2 \int \frac{4 u^{3}}{8} + \frac{- 4 u^{2}}{8} + \frac{5 u^{2} \cdot 2}{8} - 1 \cdot 4 \frac{1}{2} \frac{u}{2} \frac{u}{2} - 1 \cdot 4 \cdot - 1 \frac{1}{2} \frac{1}{2} \frac{u}{2} - 1 \cdot 5 \frac{1}{2} \frac{u}{2} d u$

Paso 4.51

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$2 \int \frac{4 u^{3}}{8} + \frac{- 4 u^{2} + 5 u^{2} \cdot 2}{8} - 1 \cdot 4 \frac{1}{2} \frac{u}{2} \frac{u}{2} - 1 \cdot 4 \cdot - 1 \frac{1}{2} \frac{1}{2} \frac{u}{2} - 1 \cdot 5 \frac{1}{2} \frac{u}{2} d u$

Paso 4.52

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$2 \int \frac{4 u^{3} - 4 u^{2} + 5 u^{2} \cdot 2}{8} - 1 \cdot 4 \frac{1}{2} \frac{u}{2} \frac{u}{2} - 1 \cdot 4 \cdot - 1 \frac{1}{2} \frac{1}{2} \frac{u}{2} - 1 \cdot 5 \frac{1}{2} \frac{u}{2} d u$

Paso 4.53

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$2 \int \frac{4 u^{3} - 4 u^{2} + 5 u^{2} \cdot 2}{8} - 4 (\frac{1}{2}) \frac{u}{2} \frac{u}{2} - 1 \cdot 4 \cdot - 1 \frac{1}{2} \frac{1}{2} \frac{u}{2} - 1 \cdot 5 \frac{1}{2} \frac{u}{2} d u$

Paso 4.54

Combina $- 4$ y $\frac{1}{2}$ .

$2 \int \frac{4 u^{3} - 4 u^{2} + 5 u^{2} \cdot 2}{8} + \frac{- 4}{2} \cdot \frac{u}{2} \frac{u}{2} - 1 \cdot 4 \cdot - 1 \frac{1}{2} \frac{1}{2} \frac{u}{2} - 1 \cdot 5 \frac{1}{2} \frac{u}{2} d u$

Paso 4.55

Multiplica $\frac{- 4}{2}$ por $\frac{u}{2}$ .

$2 \int \frac{4 u^{3} - 4 u^{2} + 5 u^{2} \cdot 2}{8} + \frac{- 4 u}{2 \cdot 2} \cdot \frac{u}{2} - 1 \cdot 4 \cdot - 1 \frac{1}{2} \frac{1}{2} \frac{u}{2} - 1 \cdot 5 \frac{1}{2} \frac{u}{2} d u$

Paso 4.56

Multiplica $2$ por $2$ .

$2 \int \frac{4 u^{3} - 4 u^{2} + 5 u^{2} \cdot 2}{8} + \frac{- 4 u}{4} \cdot \frac{u}{2} - 1 \cdot 4 \cdot - 1 \frac{1}{2} \frac{1}{2} \frac{u}{2} - 1 \cdot 5 \frac{1}{2} \frac{u}{2} d u$

Paso 4.57

Multiplica $\frac{- 4 u}{4}$ por $\frac{u}{2}$ .

$2 \int \frac{4 u^{3} - 4 u^{2} + 5 u^{2} \cdot 2}{8} + \frac{- 4 u \cdot u}{4 \cdot 2} - 1 \cdot 4 \cdot - 1 \frac{1}{2} \frac{1}{2} \frac{u}{2} - 1 \cdot 5 \frac{1}{2} \frac{u}{2} d u$

Paso 4.58

Eleva $u$ a la potencia de $1$ .

$2 \int \frac{4 u^{3} - 4 u^{2} + 5 u^{2} \cdot 2}{8} + \frac{- 4 (u^{1} u)}{4 \cdot 2} - 1 \cdot 4 \cdot - 1 \frac{1}{2} \frac{1}{2} \frac{u}{2} - 1 \cdot 5 \frac{1}{2} \frac{u}{2} d u$

Paso 4.59

Eleva $u$ a la potencia de $1$ .

$2 \int \frac{4 u^{3} - 4 u^{2} + 5 u^{2} \cdot 2}{8} + \frac{- 4 (u^{1} u^{1})}{4 \cdot 2} - 1 \cdot 4 \cdot - 1 \frac{1}{2} \frac{1}{2} \frac{u}{2} - 1 \cdot 5 \frac{1}{2} \frac{u}{2} d u$

Paso 4.60

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$2 \int \frac{4 u^{3} - 4 u^{2} + 5 u^{2} \cdot 2}{8} + \frac{- 4 u^{1 + 1}}{4 \cdot 2} - 1 \cdot 4 \cdot - 1 \frac{1}{2} \frac{1}{2} \frac{u}{2} - 1 \cdot 5 \frac{1}{2} \frac{u}{2} d u$

Paso 4.61

Suma $1$ y $1$ .

$2 \int \frac{4 u^{3} - 4 u^{2} + 5 u^{2} \cdot 2}{8} + \frac{- 4 u^{2}}{4 \cdot 2} - 1 \cdot 4 \cdot - 1 \frac{1}{2} \frac{1}{2} \frac{u}{2} - 1 \cdot 5 \frac{1}{2} \frac{u}{2} d u$

Paso 4.62

Multiplica $4$ por $2$ .

$2 \int \frac{4 u^{3} - 4 u^{2} + 5 u^{2} \cdot 2}{8} + \frac{- 4 u^{2}}{8} - 1 \cdot 4 \cdot - 1 \frac{1}{2} \frac{1}{2} \frac{u}{2} - 1 \cdot 5 \frac{1}{2} \frac{u}{2} d u$

Paso 4.63

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$2 \int \frac{4 u^{3} - 4 u^{2} + 5 u^{2} \cdot 2}{8} + \frac{- 4 u^{2}}{8} - 4 \cdot - 1 \frac{1}{2} \frac{1}{2} \frac{u}{2} - 1 \cdot 5 \frac{1}{2} \frac{u}{2} d u$

Paso 4.64

Multiplica $- 4$ por $- 1$ .

$2 \int \frac{4 u^{3} - 4 u^{2} + 5 u^{2} \cdot 2}{8} + \frac{- 4 u^{2}}{8} + 4 (\frac{1}{2}) \frac{1}{2} \frac{u}{2} - 1 \cdot 5 \frac{1}{2} \frac{u}{2} d u$

Paso 4.65

Combina $4$ y $\frac{1}{2}$ .

$2 \int \frac{4 u^{3} - 4 u^{2} + 5 u^{2} \cdot 2}{8} + \frac{- 4 u^{2}}{8} + \frac{4}{2} \cdot \frac{1}{2} \frac{u}{2} - 1 \cdot 5 \frac{1}{2} \frac{u}{2} d u$

Paso 4.66

Multiplica $\frac{4}{2}$ por $\frac{1}{2}$ .

$2 \int \frac{4 u^{3} - 4 u^{2} + 5 u^{2} \cdot 2}{8} + \frac{- 4 u^{2}}{8} + \frac{4}{2 \cdot 2} \cdot \frac{u}{2} - 1 \cdot 5 \frac{1}{2} \frac{u}{2} d u$

Paso 4.67

Multiplica $2$ por $2$ .

$2 \int \frac{4 u^{3} - 4 u^{2} + 5 u^{2} \cdot 2}{8} + \frac{- 4 u^{2}}{8} + \frac{4}{4} \cdot \frac{u}{2} - 1 \cdot 5 \frac{1}{2} \frac{u}{2} d u$

Paso 4.68

Multiplica $\frac{4}{4}$ por $\frac{u}{2}$ .

$2 \int \frac{4 u^{3} - 4 u^{2} + 5 u^{2} \cdot 2}{8} + \frac{- 4 u^{2}}{8} + \frac{4 u}{4 \cdot 2} - 1 \cdot 5 \frac{1}{2} \frac{u}{2} d u$

Paso 4.69

Multiplica $4$ por $2$ .

$2 \int \frac{4 u^{3} - 4 u^{2} + 5 u^{2} \cdot 2}{8} + \frac{- 4 u^{2}}{8} + \frac{4 u}{8} - 1 \cdot 5 \frac{1}{2} \frac{u}{2} d u$

Paso 4.70

Multiplica $- 1$ por $5$ .

$2 \int \frac{4 u^{3} - 4 u^{2} + 5 u^{2} \cdot 2}{8} + \frac{- 4 u^{2}}{8} + \frac{4 u}{8} - 5 (\frac{1}{2}) \frac{u}{2} d u$

Paso 4.71

Combina $- 5$ y $\frac{1}{2}$ .

$2 \int \frac{4 u^{3} - 4 u^{2} + 5 u^{2} \cdot 2}{8} + \frac{- 4 u^{2}}{8} + \frac{4 u}{8} + \frac{- 5}{2} \cdot \frac{u}{2} d u$

Paso 4.72

Multiplica $\frac{- 5}{2}$ por $\frac{u}{2}$ .

$2 \int \frac{4 u^{3} - 4 u^{2} + 5 u^{2} \cdot 2}{8} + \frac{- 4 u^{2}}{8} + \frac{4 u}{8} + \frac{- 5 u}{2 \cdot 2} d u$

Paso 4.73

Multiplica $2$ por $2$ .

$2 \int \frac{4 u^{3} - 4 u^{2} + 5 u^{2} \cdot 2}{8} + \frac{- 4 u^{2}}{8} + \frac{4 u}{8} + \frac{- 5 u}{4} d u$

Paso 4.74

Para escribir $\frac{- 5 u}{4}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$2 \int \frac{4 u^{3} - 4 u^{2} + 5 u^{2} \cdot 2}{8} + \frac{- 4 u^{2}}{8} + \frac{4 u}{8} + \frac{- 5 u}{4} \cdot \frac{2}{2} d u$

Paso 4.75

Escribe cada expresión con un denominador común de $8$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 4.75.1

Multiplica $\frac{- 5 u}{4}$ por $\frac{2}{2}$ .

$2 \int \frac{4 u^{3} - 4 u^{2} + 5 u^{2} \cdot 2}{8} + \frac{- 4 u^{2}}{8} + \frac{4 u}{8} + \frac{- 5 u \cdot 2}{4 \cdot 2} d u$

Paso 4.75.2

Multiplica $4$ por $2$ .

$2 \int \frac{4 u^{3} - 4 u^{2} + 5 u^{2} \cdot 2}{8} + \frac{- 4 u^{2}}{8} + \frac{4 u}{8} + \frac{- 5 u \cdot 2}{8} d u$

$2 \int \frac{4 u^{3} - 4 u^{2} + 5 u^{2} \cdot 2}{8} + \frac{- 4 u^{2}}{8} + \frac{4 u}{8} + \frac{- 5 u \cdot 2}{8} d u$

Paso 4.76

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$2 \int \frac{4 u^{3} - 4 u^{2} + 5 u^{2} \cdot 2}{8} + \frac{- 4 u^{2}}{8} + \frac{4 u - 5 u \cdot 2}{8} d u$

Paso 4.77

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$2 \int \frac{4 u^{3} - 4 u^{2} + 5 u^{2} \cdot 2}{8} + \frac{- 4 u^{2} + 4 u - 5 u \cdot 2}{8} d u$

Paso 4.78

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$2 \int \frac{4 u^{3} - 4 u^{2} + 5 u^{2} \cdot 2 - 4 u^{2} + 4 u - 5 u \cdot 2}{8} d u$

Paso 4.79

Reordena $4 u$ y $- 5 u \cdot 2$ .

$2 \int \frac{4 u^{3} - 4 u^{2} + 5 u^{2} \cdot 2 - 4 u^{2} - 5 u \cdot 2 + 4 u}{8} d u$

Paso 4.80

Mueve $5 u^{2} \cdot 2$ .

$2 \int \frac{4 u^{3} - 4 u^{2} - 4 u^{2} + 5 u^{2} \cdot 2 - 5 u \cdot 2 + 4 u}{8} d u$

Paso 4.81

Resta $4 u^{2}$ de $- 4 u^{2}$ .

$2 \int \frac{4 u^{3} - 8 u^{2} + 5 u^{2} \cdot 2 - 5 u \cdot 2 + 4 u}{8} d u$

$2 \int \frac{4 u^{3} - 8 u^{2} + 5 u^{2} \cdot 2 - 5 u \cdot 2 + 4 u}{8} d u$

Paso 5

Simplifica.

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Paso 5.1

Multiplica $2$ por $5$ .

$2 \int \frac{4 u^{3} - 8 u^{2} + 10 u^{2} - 5 u \cdot 2 + 4 u}{8} d u$

Paso 5.2

Suma $- 8 u^{2}$ y $10 u^{2}$ .

$2 \int \frac{4 u^{3} + 2 u^{2} - 5 u \cdot 2 + 4 u}{8} d u$

Paso 5.3

Multiplica $2$ por $- 5$ .

$2 \int \frac{4 u^{3} + 2 u^{2} - 10 u + 4 u}{8} d u$

Paso 5.4

Suma $- 10 u$ y $4 u$ .

$2 \int \frac{4 u^{3} + 2 u^{2} - 6 u}{8} d u$

$2 \int \frac{4 u^{3} + 2 u^{2} - 6 u}{8} d u$

Paso 6

Dado que $\frac{1}{8}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{8}$ fuera de la integral.

$2 (\frac{1}{8} \int 4 u^{3} + 2 u^{2} - 6 u d u)$

Paso 7

Simplifica.

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Paso 7.1

Combina $\frac{1}{8}$ y $2$ .

$\frac{2}{8} \int 4 u^{3} + 2 u^{2} - 6 u d u$

Paso 7.2

Cancela el factor común de $2$ y $8$ .

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Paso 7.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$\frac{2 (1)}{8} \int 4 u^{3} + 2 u^{2} - 6 u d u$

Paso 7.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 7.2.2.1

Factoriza $2$ de $8$ .

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 4} \int 4 u^{3} + 2 u^{2} - 6 u d u$

Paso 7.2.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 4} \int 4 u^{3} + 2 u^{2} - 6 u d u$

Paso 7.2.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{4} \int 4 u^{3} + 2 u^{2} - 6 u d u$

$\frac{1}{4} \int 4 u^{3} + 2 u^{2} - 6 u d u$

$\frac{1}{4} \int 4 u^{3} + 2 u^{2} - 6 u d u$

$\frac{1}{4} \int 4 u^{3} + 2 u^{2} - 6 u d u$

Paso 8

Divide la única integral en varias integrales.

$\frac{1}{4} (\int 4 u^{3} d u + \int 2 u^{2} d u + \int - 6 u d u)$

Paso 9

Dado que $4$ es constante con respecto a $u$ , mueve $4$ fuera de la integral.

$\frac{1}{4} (4 \int u^{3} d u + \int 2 u^{2} d u + \int - 6 u d u)$

Paso 10

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{3}$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{4} u^{4}$ .

$\frac{1}{4} (4 (\frac{1}{4} u^{4} + C) + \int 2 u^{2} d u + \int - 6 u d u)$

Paso 11

Dado que $2$ es constante con respecto a $u$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$\frac{1}{4} (4 (\frac{1}{4} u^{4} + C) + 2 \int u^{2} d u + \int - 6 u d u)$

Paso 12

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{2}$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$\frac{1}{4} (4 (\frac{1}{4} u^{4} + C) + 2 (\frac{1}{3} u^{3} + C) + \int - 6 u d u)$

Paso 13

Dado que $- 6$ es constante con respecto a $u$ , mueve $- 6$ fuera de la integral.

$\frac{1}{4} (4 (\frac{1}{4} u^{4} + C) + 2 (\frac{1}{3} u^{3} + C) - 6 \int u d u)$

Paso 14

Según la regla de la potencia, la integral de $u$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{2} u^{2}$ .

$\frac{1}{4} (4 (\frac{1}{4} u^{4} + C) + 2 (\frac{1}{3} u^{3} + C) - 6 (\frac{1}{2} u^{2} + C))$

Paso 15

Simplifica.

$\frac{1}{4} (u^{4} + \frac{2 u^{3}}{3} - 3 u^{2}) + C$

Paso 16

Reemplaza todos los casos de $u$ con $2 x + 1$ .

$\frac{1}{4} ({(2 x + 1)}^{4} + \frac{2 {(2 x + 1)}^{3}}{3} - 3 {(2 x + 1)}^{2}) + C$

Paso 17

Reordena los términos.

$\frac{1}{4} ({(2 x + 1)}^{4} + \frac{2}{3} {(2 x + 1)}^{3} - 3 {(2 x + 1)}^{2}) + C$

$[\begin{array}{c} x^{2} & \frac{1}{2} \\ \sqrt{π} & \int x d x \end{array}]$