Cálculo Ejemplos

$\int_{0}^{\infty} \frac{1}{4 x^{2} + 9} d x$

Paso 1

Escribe la integral como un límite a medida que $t$ se acerca a $\infty$ .

$lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} \frac{1}{4 x^{2} + 9} d x$

Paso 2

Reordena $4 x^{2}$ y $9$ .

$lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} \frac{1}{9 + 4 x^{2}} d x$

Paso 3

Factoriza $4$ de $9 + 4 x^{2}$ .

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Paso 3.1

Factoriza $4$ de $9$ .

$lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} \frac{1}{4 (\frac{9}{4}) + 4 x^{2}} d x$

Paso 3.2

Factoriza $4$ de $4 x^{2}$ .

$lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} \frac{1}{4 (\frac{9}{4}) + 4 (x^{2})} d x$

Paso 3.3

Factoriza $4$ de $4 (\frac{9}{4}) + 4 (x^{2})$ .

$lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} \frac{1}{4 (\frac{9}{4} + x^{2})} d x$

Paso 4

Dado que $\frac{1}{4}$ es constante con respecto a $x$ , mueve $\frac{1}{4}$ fuera de la integral.

$lim_{t \to \infty} \frac{1}{4} \int_{0}^{t} \frac{1}{\frac{9}{4} + x^{2}} d x$

Paso 5

Reescribe $\frac{9}{4}$ como ${(\frac{3}{2})}^{2}$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{1}{4} \int_{0}^{t} \frac{1}{{(\frac{3}{2})}^{2} + x^{2}} d x$

Paso 6

La integral de $\frac{1}{{(\frac{3}{2})}^{2} + x^{2}}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{\frac{3}{2}} \arctan (\frac{x}{\frac{3}{2}})]_{0}^{t}$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{1}{4} \frac{1}{\frac{3}{2}} \arctan (\frac{x}{\frac{3}{2}})]_{0}^{t}$

Paso 7

Simplifica la respuesta.

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Paso 7.1

Simplifica.

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Paso 7.1.1

Multiplica por la recíproca de la fracción para dividir por $\frac{3}{2}$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{1}{4} 1 (\frac{2}{3}) \arctan (\frac{x}{\frac{3}{2}})]_{0}^{t}$

Paso 7.1.2

Multiplica $\frac{2}{3}$ por $1$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{1}{4} \frac{2}{3} \arctan (\frac{x}{\frac{3}{2}})]_{0}^{t}$

Paso 7.1.3

Multiplica por la recíproca de la fracción para dividir por $\frac{3}{2}$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{1}{4} \frac{2}{3} \arctan (x \frac{2}{3})]_{0}^{t}$

Paso 7.1.4

Combina $x$ y $\frac{2}{3}$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{1}{4} \frac{2}{3} \arctan (\frac{x \cdot 2}{3})]_{0}^{t}$

Paso 7.1.5

Mueve $2$ a la izquierda de $x$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{1}{4} \frac{2}{3} \arctan (\frac{2 \cdot x}{3})]_{0}^{t}$

Paso 7.1.6

Combina $\frac{2}{3}$ y $\arctan (\frac{2 x}{3})$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{1}{4} \frac{2 \arctan (\frac{2 x}{3})}{3}]_{0}^{t}$

Paso 7.1.7

Combina $\frac{1}{4}$ y $\frac{2 \arctan (\frac{2 x}{3})}{3}]_{0}^{t}$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{\frac{2 \arctan (\frac{2 x}{3})}{3}]_{0}^{t}}{4}$

Paso 7.2

Sustituye y simplifica.

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Paso 7.2.1

Evalúa $\frac{2 \arctan (\frac{2 x}{3})}{3}$ en $t$ y en $0$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{(\frac{2 \arctan (\frac{2 t}{3})}{3}) - \frac{2 \arctan (\frac{2 \cdot 0}{3})}{3}}{4}$

Paso 7.2.2

Simplifica.

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Paso 7.2.2.1

Multiplica $2$ por $0$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{\frac{2 \arctan (\frac{2 t}{3})}{3} - \frac{2 \arctan (\frac{0}{3})}{3}}{4}$

Paso 7.2.2.2

Cancela el factor común de $0$ y $3$ .

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Paso 7.2.2.2.1

Factoriza $3$ de $0$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{\frac{2 \arctan (\frac{2 t}{3})}{3} - \frac{2 \arctan (\frac{3 (0)}{3})}{3}}{4}$

Paso 7.2.2.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 7.2.2.2.2.1

Factoriza $3$ de $3$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{\frac{2 \arctan (\frac{2 t}{3})}{3} - \frac{2 \arctan (\frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1})}{3}}{4}$

Paso 7.2.2.2.2.2

Cancela el factor común.

$lim_{t \to \infty} \frac{\frac{2 \arctan (\frac{2 t}{3})}{3} - \frac{2 \arctan (\frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1})}{3}}{4}$

Paso 7.2.2.2.2.3

Reescribe la expresión.

$lim_{t \to \infty} \frac{\frac{2 \arctan (\frac{2 t}{3})}{3} - \frac{2 \arctan (\frac{0}{1})}{3}}{4}$

Paso 7.2.2.2.2.4

Divide $0$ por $1$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{\frac{2 \arctan (\frac{2 t}{3})}{3} - \frac{2 \arctan (0)}{3}}{4}$

Paso 7.2.2.3

Multiplica $\frac{\frac{2 \arctan (\frac{2 t}{3})}{3} - \frac{2 \arctan (0)}{3}}{4}$ por $\frac{3}{3}$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{3}{3} \cdot \frac{\frac{2 \arctan (\frac{2 t}{3})}{3} - \frac{2 \arctan (0)}{3}}{4}$

Paso 7.2.2.4

Combinar.

$lim_{t \to \infty} \frac{3 (\frac{2 \arctan (\frac{2 t}{3})}{3} - \frac{2 \arctan (0)}{3})}{3 \cdot 4}$

Paso 7.2.2.5

Aplica la propiedad distributiva.

$lim_{t \to \infty} \frac{3 \frac{2 \arctan (\frac{2 t}{3})}{3} + 3 (- \frac{2 \arctan (0)}{3})}{3 \cdot 4}$

Paso 7.2.2.6

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 7.2.2.6.1

Cancela el factor común.

$lim_{t \to \infty} \frac{3 \frac{2 \arctan (\frac{2 t}{3})}{3} + 3 (- \frac{2 \arctan (0)}{3})}{3 \cdot 4}$

Paso 7.2.2.6.2

Reescribe la expresión.

$lim_{t \to \infty} \frac{2 \arctan (\frac{2 t}{3}) + 3 (- \frac{2 \arctan (0)}{3})}{3 \cdot 4}$

Paso 7.2.2.7

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{2 \arctan (\frac{2 t}{3}) - 3 \frac{2 \arctan (0)}{3}}{3 \cdot 4}$

Paso 7.2.2.8

Combina $- 3$ y $\frac{2 \arctan (0)}{3}$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{2 \arctan (\frac{2 t}{3}) + \frac{- 3 (2 \arctan (0))}{3}}{3 \cdot 4}$

Paso 7.2.2.9

Multiplica $2$ por $- 3$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{2 \arctan (\frac{2 t}{3}) + \frac{- 6 \arctan (0)}{3}}{3 \cdot 4}$

Paso 7.2.2.10

Cancela el factor común de $- 6$ y $3$ .

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Paso 7.2.2.10.1

Factoriza $3$ de $- 6 \arctan (0)$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{2 \arctan (\frac{2 t}{3}) + \frac{3 (- 2 \arctan (0))}{3}}{3 \cdot 4}$

Paso 7.2.2.10.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 7.2.2.10.2.1

Factoriza $3$ de $3$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{2 \arctan (\frac{2 t}{3}) + \frac{3 (- 2 \arctan (0))}{3 (1)}}{3 \cdot 4}$

Paso 7.2.2.10.2.2

Cancela el factor común.

$lim_{t \to \infty} \frac{2 \arctan (\frac{2 t}{3}) + \frac{3 (- 2 \arctan (0))}{3 \cdot 1}}{3 \cdot 4}$

Paso 7.2.2.10.2.3

Reescribe la expresión.

$lim_{t \to \infty} \frac{2 \arctan (\frac{2 t}{3}) + \frac{- 2 \arctan (0)}{1}}{3 \cdot 4}$

Paso 7.2.2.10.2.4

Divide $- 2 \arctan (0)$ por $1$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{2 \arctan (\frac{2 t}{3}) - 2 \arctan (0)}{3 \cdot 4}$

Paso 7.2.2.11

Multiplica $3$ por $4$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{2 \arctan (\frac{2 t}{3}) - 2 \arctan (0)}{12}$

Paso 7.2.2.12

Cancela el factor común de $2 \arctan (\frac{2 t}{3}) - 2 \arctan (0)$ y $12$ .

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Paso 7.2.2.12.1

Factoriza $2$ de $2 \arctan (\frac{2 t}{3})$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{2 (\arctan (\frac{2 t}{3})) - 2 \arctan (0)}{12}$

Paso 7.2.2.12.2

Factoriza $2$ de $- 2 \arctan (0)$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{2 (\arctan (\frac{2 t}{3})) + 2 (- \arctan (0))}{12}$

Paso 7.2.2.12.3

Factoriza $2$ de $2 (\arctan (\frac{2 t}{3})) + 2 (- \arctan (0))$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{2 (\arctan (\frac{2 t}{3}) - \arctan (0))}{12}$

Paso 7.2.2.12.4

Cancela los factores comunes.

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Paso 7.2.2.12.4.1

Factoriza $2$ de $12$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{2 (\arctan (\frac{2 t}{3}) - \arctan (0))}{2 (6)}$

Paso 7.2.2.12.4.2

Cancela el factor común.

$lim_{t \to \infty} \frac{2 (\arctan (\frac{2 t}{3}) - \arctan (0))}{2 \cdot 6}$

Paso 7.2.2.12.4.3

Reescribe la expresión.

$lim_{t \to \infty} \frac{\arctan (\frac{2 t}{3}) - \arctan (0)}{6}$

Paso 8

Evalúa el límite.

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Paso 8.1

Mueve el término $\frac{1}{6}$ fuera del límite porque es constante con respecto a $t$ .

$\frac{1}{6} lim_{t \to \infty} \arctan (\frac{2 t}{3}) - \arctan (0)$

Paso 8.2

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $t$ se aproxima a $\infty$ .

$\frac{1}{6} (lim_{t \to \infty} \arctan (\frac{2 t}{3}) - lim_{t \to \infty} \arctan (0))$

Paso 8.3

El límite al infinito de un polinomio con coeficiente principal positivo es infinito.

$\frac{1}{6} (\infty - lim_{t \to \infty} \arctan (0))$

Paso 8.4

Sustituye $t$ por $\frac{2 t}{3}$ y deja que $t$ se acerque a $\infty$ ya que $lim_{t \to \infty} \frac{2 t}{3} = \infty$ .

$\frac{1}{6} (lim_{t \to \infty} \arctan (t) - lim_{t \to \infty} \arctan (0))$

Paso 8.5

El límite a medida que $t$ se acerca a $\infty$ es $\frac{π}{2}$ .

$\frac{1}{6} (\frac{π}{2} - lim_{t \to \infty} \arctan (0))$

Paso 8.6

Evalúa el límite de $\arctan (0)$ que es constante cuando $t$ se acerca a $\infty$ .

$\frac{1}{6} (\frac{π}{2} - \arctan (0))$

Paso 8.7

Simplifica la respuesta.

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Paso 8.7.1

Simplifica cada término.

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Paso 8.7.1.1

El valor exacto de $\arctan (0)$ es $0$ .

$\frac{1}{6} (\frac{π}{2} - 0)$

Paso 8.7.1.2

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$\frac{1}{6} (\frac{π}{2} + 0)$

Paso 8.7.2

Suma $\frac{π}{2}$ y $0$ .

$\frac{1}{6} \cdot \frac{π}{2}$

Paso 8.7.3

Multiplica $\frac{1}{6} \cdot \frac{π}{2}$ .

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Paso 8.7.3.1

Multiplica $\frac{1}{6}$ por $\frac{π}{2}$ .

$\frac{π}{6 \cdot 2}$

Paso 8.7.3.2

Multiplica $6$ por $2$ .

$\frac{π}{12}$

Paso 9

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{π}{12}$

Forma decimal:

$0.26179938 \dots$