Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{\sqrt{x}} \int_{1}^{x} \frac{1}{\sqrt{t}} d t$

Paso 1

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{t}$ como $t^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{\sqrt{x}} \int_{1}^{x} \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} d t$

Paso 1.2

Mueve $t^{\frac{1}{2}}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{\sqrt{x}} \int_{1}^{x} {(t^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d t$

Paso 1.3

Multiplica los exponentes en ${(t^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Paso 1.3.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{\sqrt{x}} \int_{1}^{x} t^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d t$

Paso 1.3.2

Combina $\frac{1}{2}$ y $- 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{\sqrt{x}} \int_{1}^{x} t^{\frac{- 1}{2}} d t$

Paso 1.3.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{\sqrt{x}} \int_{1}^{x} t^{- \frac{1}{2}} d t$

Paso 2

Según la regla de la potencia, la integral de $t^{- \frac{1}{2}}$ con respecto a $t$ es $2 t^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{\sqrt{x}} 2 t^{\frac{1}{2}}]_{1}^{x}$

Paso 3

Simplifica la respuesta.

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Paso 3.1

Combina $\frac{1}{\sqrt{x}}$ y $2 t^{\frac{1}{2}}]_{1}^{x}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 t^{\frac{1}{2}}]_{1}^{x}}{\sqrt{x}}$

Paso 3.2

Sustituye y simplifica.

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Paso 3.2.1

Evalúa $2 t^{\frac{1}{2}}$ en $x$ y en $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{(2 x^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{x}}$

Paso 3.2.2

Simplifica.

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Paso 3.2.2.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1}{\sqrt{x}}$

Paso 3.2.2.2

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x^{\frac{1}{2}} - 2}{\sqrt{x}}$