Cálculo Ejemplos

$5 x (\sqrt{x} - x^{2})$

Paso 1

Escribe $5 x (\sqrt{x} - x^{2})$ como una función.

$f (x) = 5 x (\sqrt{x} - x^{2})$

Paso 2

La función $F (x)$ puede obtenerse mediante el cálculo de la integral indefinida de la derivada $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Paso 3

Establece la integral para resolver.

$F (x) = \int 5 x (\sqrt{x} - x^{2}) d x$

Paso 4

Dado que $5$ es constante con respecto a $x$ , mueve $5$ fuera de la integral.

$5 \int x (\sqrt{x} - x^{2}) d x$

Paso 5

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$5 \int x (x^{\frac{1}{2}} - x^{2}) d x$

Paso 6

Simplifica.

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Paso 6.1

Aplica la propiedad distributiva.

$5 \int x \cdot x^{\frac{1}{2}} + x (- x^{2}) d x$

Paso 6.2

Reordena $x$ y $- 1$ .

$5 \int x \cdot x^{\frac{1}{2}} - 1 \cdot x \cdot x^{2} d x$

Paso 6.3

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$5 \int x^{1} x^{\frac{1}{2}} - 1 x \cdot x^{2} d x$

Paso 6.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$5 \int x^{1 + \frac{1}{2}} - 1 x \cdot x^{2} d x$

Paso 6.5

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$5 \int x^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}} - 1 x \cdot x^{2} d x$

Paso 6.6

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$5 \int x^{\frac{2 + 1}{2}} - 1 x \cdot x^{2} d x$

Paso 6.7

Suma $2$ y $1$ .

$5 \int x^{\frac{3}{2}} - 1 x \cdot x^{2} d x$

Paso 6.8

Factoriza el negativo.

$5 \int x^{\frac{3}{2}} - (x \cdot x^{2}) d x$

Paso 6.9

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$5 \int x^{\frac{3}{2}} - (x^{1} x^{2}) d x$

Paso 6.10

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$5 \int x^{\frac{3}{2}} - x^{1 + 2} d x$

Paso 6.11

Suma $1$ y $2$ .

$5 \int x^{\frac{3}{2}} - x^{3} d x$

Paso 6.12

Reordena $x^{\frac{3}{2}}$ y $- x^{3}$ .

$5 \int - x^{3} + x^{\frac{3}{2}} d x$

Paso 7

Divide la única integral en varias integrales.

$5 (\int - x^{3} d x + \int x^{\frac{3}{2}} d x)$

Paso 8

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$5 (- \int x^{3} d x + \int x^{\frac{3}{2}} d x)$

Paso 9

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{3}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$5 (- (\frac{1}{4} x^{4} + C) + \int x^{\frac{3}{2}} d x)$

Paso 10

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{\frac{3}{2}}$ con respecto a $x$ es $\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}}$ .

$5 (- (\frac{1}{4} x^{4} + C) + \frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C)$

Paso 11

Simplifica.

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Paso 11.1

Simplifica.

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Paso 11.1.1

Combina $\frac{1}{4}$ y $x^{4}$ .

$5 (- (\frac{x^{4}}{4} + C) + \frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C)$

Paso 11.1.2

Combina $\frac{2}{5}$ y $x^{\frac{5}{2}}$ .

$5 (- (\frac{x^{4}}{4} + C) + \frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{5} + C)$

Paso 11.2

Simplifica.

$5 (- \frac{1}{4} x^{4} + \frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}}) + C$

Paso 12

La respuesta es la antiderivada de la función $f (x) = 5 x (\sqrt{x} - x^{2})$ .

$F (x) =$ $5 (- \frac{1}{4} x^{4} + \frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}}) + C$