Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to - 10} \frac{\frac{1}{- 9 x - 3} - \frac{1}{87}}{\frac{1}{- 9 x - 9} - \frac{1}{81}}$

Paso 1

Aplica la regla de l'Hôpital

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Paso 1.1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 1.1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$\frac{lim_{x \to - 10} \frac{1}{- 9 x - 3} - \frac{1}{87}}{lim_{x \to - 10} \frac{1}{- 9 x - 9} - \frac{1}{81}}$

Paso 1.1.2

Evalúa el límite del numerador.

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Paso 1.1.2.1

Evalúa el límite.

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Paso 1.1.2.1.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $- 10$ .

$\frac{lim_{x \to - 10} \frac{1}{- 9 x - 3} - lim_{x \to - 10} \frac{1}{87}}{lim_{x \to - 10} \frac{1}{- 9 x - 9} - \frac{1}{81}}$

Paso 1.1.2.1.2

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $- 10$ .

$\frac{\frac{lim_{x \to - 10} 1}{lim_{x \to - 10} - 9 x - 3} - lim_{x \to - 10} \frac{1}{87}}{lim_{x \to - 10} \frac{1}{- 9 x - 9} - \frac{1}{81}}$

Paso 1.1.2.1.3

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $- 10$ .

$\frac{\frac{1}{lim_{x \to - 10} - 9 x - 3} - lim_{x \to - 10} \frac{1}{87}}{lim_{x \to - 10} \frac{1}{- 9 x - 9} - \frac{1}{81}}$

Paso 1.1.2.1.4

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $- 10$ .

$\frac{\frac{1}{- lim_{x \to - 10} 9 x - lim_{x \to - 10} 3} - lim_{x \to - 10} \frac{1}{87}}{lim_{x \to - 10} \frac{1}{- 9 x - 9} - \frac{1}{81}}$

Paso 1.1.2.1.5

Mueve el término $9$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{\frac{1}{- 9 lim_{x \to - 10} x - lim_{x \to - 10} 3} - lim_{x \to - 10} \frac{1}{87}}{lim_{x \to - 10} \frac{1}{- 9 x - 9} - \frac{1}{81}}$

Paso 1.1.2.1.6

Evalúa el límite de $3$ que es constante cuando $x$ se acerca a $- 10$ .

$\frac{\frac{1}{- 9 lim_{x \to - 10} x - 1 \cdot 3} - lim_{x \to - 10} \frac{1}{87}}{lim_{x \to - 10} \frac{1}{- 9 x - 9} - \frac{1}{81}}$

Paso 1.1.2.1.7

Evalúa el límite de $\frac{1}{87}$ que es constante cuando $x$ se acerca a $- 10$ .

$\frac{\frac{1}{- 9 lim_{x \to - 10} x - 1 \cdot 3} - \frac{1}{87}}{lim_{x \to - 10} \frac{1}{- 9 x - 9} - \frac{1}{81}}$

Paso 1.1.2.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $- 10$ para $x$ .

$\frac{\frac{1}{- 9 \cdot - 10 - 1 \cdot 3} - \frac{1}{87}}{lim_{x \to - 10} \frac{1}{- 9 x - 9} - \frac{1}{81}}$

Paso 1.1.2.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 1.1.2.3.1

Simplifica el denominador.

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Paso 1.1.2.3.1.1

Multiplica $- 9$ por $- 10$ .

$\frac{\frac{1}{90 - 1 \cdot 3} - \frac{1}{87}}{lim_{x \to - 10} \frac{1}{- 9 x - 9} - \frac{1}{81}}$

Paso 1.1.2.3.1.2

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$\frac{\frac{1}{90 - 3} - \frac{1}{87}}{lim_{x \to - 10} \frac{1}{- 9 x - 9} - \frac{1}{81}}$

Paso 1.1.2.3.1.3

Resta $3$ de $90$ .

$\frac{\frac{1}{87} - \frac{1}{87}}{lim_{x \to - 10} \frac{1}{- 9 x - 9} - \frac{1}{81}}$

Paso 1.1.2.3.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{\frac{1 - 1}{87}}{lim_{x \to - 10} \frac{1}{- 9 x - 9} - \frac{1}{81}}$

Paso 1.1.2.3.3

Resta $1$ de $1$ .

$\frac{\frac{0}{87}}{lim_{x \to - 10} \frac{1}{- 9 x - 9} - \frac{1}{81}}$

Paso 1.1.2.3.4

Divide $0$ por $87$ .

$\frac{0}{lim_{x \to - 10} \frac{1}{- 9 x - 9} - \frac{1}{81}}$

Paso 1.1.3

Evalúa el límite del denominador.

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Paso 1.1.3.1

Evalúa el límite.

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Paso 1.1.3.1.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $- 10$ .

$\frac{0}{lim_{x \to - 10} \frac{1}{- 9 x - 9} - lim_{x \to - 10} \frac{1}{81}}$

Paso 1.1.3.1.2

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $- 10$ .

$\frac{0}{\frac{lim_{x \to - 10} 1}{lim_{x \to - 10} - 9 x - 9} - lim_{x \to - 10} \frac{1}{81}}$

Paso 1.1.3.1.3

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $- 10$ .

$\frac{0}{\frac{1}{lim_{x \to - 10} - 9 x - 9} - lim_{x \to - 10} \frac{1}{81}}$

Paso 1.1.3.1.4

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $- 10$ .

$\frac{0}{\frac{1}{- lim_{x \to - 10} 9 x - lim_{x \to - 10} 9} - lim_{x \to - 10} \frac{1}{81}}$

Paso 1.1.3.1.5

Mueve el término $9$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{0}{\frac{1}{- 9 lim_{x \to - 10} x - lim_{x \to - 10} 9} - lim_{x \to - 10} \frac{1}{81}}$

Paso 1.1.3.1.6

Evalúa el límite de $9$ que es constante cuando $x$ se acerca a $- 10$ .

$\frac{0}{\frac{1}{- 9 lim_{x \to - 10} x - 1 \cdot 9} - lim_{x \to - 10} \frac{1}{81}}$

Paso 1.1.3.1.7

Evalúa el límite de $\frac{1}{81}$ que es constante cuando $x$ se acerca a $- 10$ .

$\frac{0}{\frac{1}{- 9 lim_{x \to - 10} x - 1 \cdot 9} - \frac{1}{81}}$

Paso 1.1.3.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $- 10$ para $x$ .

$\frac{0}{\frac{1}{- 9 \cdot - 10 - 1 \cdot 9} - \frac{1}{81}}$

Paso 1.1.3.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 1.1.3.3.1

Simplifica el denominador.

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Paso 1.1.3.3.1.1

Multiplica $- 9$ por $- 10$ .

$\frac{0}{\frac{1}{90 - 1 \cdot 9} - \frac{1}{81}}$

Paso 1.1.3.3.1.2

Multiplica $- 1$ por $9$ .

$\frac{0}{\frac{1}{90 - 9} - \frac{1}{81}}$

Paso 1.1.3.3.1.3

Resta $9$ de $90$ .

$\frac{0}{\frac{1}{81} - \frac{1}{81}}$

Paso 1.1.3.3.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{0}{\frac{1 - 1}{81}}$

Paso 1.1.3.3.3

Resta $1$ de $1$ .

$\frac{0}{\frac{0}{81}}$

Paso 1.1.3.3.4

Divide $0$ por $81$ .

$\frac{0}{0}$

Paso 1.1.3.3.5

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.1.3.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.1.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.2

Como $\frac{0}{0}$ es de forma indeterminada, aplica la regla de l'Hôpital. La regla de l'Hôpital establece que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas.

$lim_{x \to - 10} \frac{\frac{1}{- 9 x - 3} - \frac{1}{87}}{\frac{1}{- 9 x - 9} - \frac{1}{81}} = lim_{x \to - 10} \frac{\frac{d}{d x} [\frac{1}{- 9 x - 3} - \frac{1}{87}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{- 9 x - 9} - \frac{1}{81}]}$

Paso 1.3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 1.3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$lim_{x \to - 10} \frac{\frac{d}{d x} [\frac{1}{- 9 x - 3} - \frac{1}{87}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{- 9 x - 9} - \frac{1}{81}]}$

Paso 1.3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $\frac{1}{- 9 x - 3} - \frac{1}{87}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [\frac{1}{- 9 x - 3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{87}]$ .

$lim_{x \to - 10} \frac{\frac{d}{d x} [\frac{1}{- 9 x - 3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{87}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{- 9 x - 9} - \frac{1}{81}]}$

Paso 1.3.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [\frac{1}{- 9 x - 3}]$ .

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Paso 1.3.3.1

Reescribe $\frac{1}{- 9 x - 3}$ como ${(- 9 x - 3)}^{- 1}$ .

$lim_{x \to - 10} \frac{\frac{d}{d x} [{(- 9 x - 3)}^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{87}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{- 9 x - 9} - \frac{1}{81}]}$

Paso 1.3.3.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{- 1}$ y $g (x) = - 9 x - 3$ .

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Paso 1.3.3.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $- 9 x - 3$ .

$lim_{x \to - 10} \frac{\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [- 9 x - 3] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{87}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{- 9 x - 9} - \frac{1}{81}]}$

Paso 1.3.3.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$lim_{x \to - 10} \frac{- u^{- 2} \frac{d}{d x} [- 9 x - 3] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{87}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{- 9 x - 9} - \frac{1}{81}]}$

Paso 1.3.3.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $- 9 x - 3$ .

$lim_{x \to - 10} \frac{- {(- 9 x - 3)}^{- 2} \frac{d}{d x} [- 9 x - 3] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{87}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{- 9 x - 9} - \frac{1}{81}]}$

Paso 1.3.3.3

Según la regla de la suma, la derivada de $- 9 x - 3$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [- 9 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$lim_{x \to - 10} \frac{- {(- 9 x - 3)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [- 9 x] + \frac{d}{d x} [- 3]) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{87}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{- 9 x - 9} - \frac{1}{81}]}$

Paso 1.3.3.4

Como $- 9$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 9 x$ con respecto a $x$ es $- 9 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to - 10} \frac{- {(- 9 x - 3)}^{- 2} (- 9 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{87}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{- 9 x - 9} - \frac{1}{81}]}$

Paso 1.3.3.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{x \to - 10} \frac{- {(- 9 x - 3)}^{- 2} (- 9 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3]) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{87}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{- 9 x - 9} - \frac{1}{81}]}$

Paso 1.3.3.6

Como $- 3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 3$ con respecto a $x$ es $0$ .

$lim_{x \to - 10} \frac{- {(- 9 x - 3)}^{- 2} (- 9 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{87}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{- 9 x - 9} - \frac{1}{81}]}$

Paso 1.3.3.7

Multiplica $- 9$ por $1$ .

$lim_{x \to - 10} \frac{- {(- 9 x - 3)}^{- 2} (- 9 + 0) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{87}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{- 9 x - 9} - \frac{1}{81}]}$

Paso 1.3.3.8

Suma $- 9$ y $0$ .

$lim_{x \to - 10} \frac{- {(- 9 x - 3)}^{- 2} \cdot - 9 + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{87}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{- 9 x - 9} - \frac{1}{81}]}$

Paso 1.3.3.9

Multiplica $- 9$ por $- 1$ .

$lim_{x \to - 10} \frac{9 {(- 9 x - 3)}^{- 2} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{87}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{- 9 x - 9} - \frac{1}{81}]}$

Paso 1.3.4

Como $- \frac{1}{87}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \frac{1}{87}$ con respecto a $x$ es $0$ .

$lim_{x \to - 10} \frac{9 {(- 9 x - 3)}^{- 2} + 0}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{- 9 x - 9} - \frac{1}{81}]}$

Paso 1.3.5

Simplifica.

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Paso 1.3.5.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to - 10} \frac{9 \frac{1}{{(- 9 x - 3)}^{2}} + 0}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{- 9 x - 9} - \frac{1}{81}]}$

Paso 1.3.5.2

Combina los términos.

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Paso 1.3.5.2.1

Combina $9$ y $\frac{1}{{(- 9 x - 3)}^{2}}$ .

$lim_{x \to - 10} \frac{\frac{9}{{(- 9 x - 3)}^{2}} + 0}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{- 9 x - 9} - \frac{1}{81}]}$

Paso 1.3.5.2.2

Suma $\frac{9}{{(- 9 x - 3)}^{2}}$ y $0$ .

$lim_{x \to - 10} \frac{\frac{9}{{(- 9 x - 3)}^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{- 9 x - 9} - \frac{1}{81}]}$

Paso 1.3.5.3

Simplifica el denominador.

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Paso 1.3.5.3.1

Factoriza $3$ de $- 9 x - 3$ .

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Paso 1.3.5.3.1.1

Factoriza $3$ de $- 9 x$ .

$lim_{x \to - 10} \frac{\frac{9}{{(3 (- 3 x) - 3)}^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{- 9 x - 9} - \frac{1}{81}]}$

Paso 1.3.5.3.1.2

Factoriza $3$ de $- 3$ .

$lim_{x \to - 10} \frac{\frac{9}{{(3 (- 3 x) + 3 (- 1))}^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{- 9 x - 9} - \frac{1}{81}]}$

Paso 1.3.5.3.1.3

Factoriza $3$ de $3 (- 3 x) + 3 (- 1)$ .

$lim_{x \to - 10} \frac{\frac{9}{{(3 (- 3 x - 1))}^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{- 9 x - 9} - \frac{1}{81}]}$

Paso 1.3.5.3.2

Aplica la regla del producto a $3 (- 3 x - 1)$ .

$lim_{x \to - 10} \frac{\frac{9}{3^{2} {(- 3 x - 1)}^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{- 9 x - 9} - \frac{1}{81}]}$

Paso 1.3.5.3.3

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$lim_{x \to - 10} \frac{\frac{9}{9 {(- 3 x - 1)}^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{- 9 x - 9} - \frac{1}{81}]}$

Paso 1.3.5.4

Cancela el factor común de $9$ .

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Paso 1.3.5.4.1

Cancela el factor común.

$lim_{x \to - 10} \frac{\frac{9}{9 {(- 3 x - 1)}^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{- 9 x - 9} - \frac{1}{81}]}$

Paso 1.3.5.4.2

Reescribe la expresión.

$lim_{x \to - 10} \frac{\frac{1}{{(- 3 x - 1)}^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{- 9 x - 9} - \frac{1}{81}]}$

Paso 1.3.6

Según la regla de la suma, la derivada de $\frac{1}{- 9 x - 9} - \frac{1}{81}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [\frac{1}{- 9 x - 9}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{81}]$ .

$lim_{x \to - 10} \frac{\frac{1}{{(- 3 x - 1)}^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{- 9 x - 9}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{81}]}$

Paso 1.3.7

Evalúa $\frac{d}{d x} [\frac{1}{- 9 x - 9}]$ .

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Paso 1.3.7.1

Reescribe $\frac{1}{- 9 x - 9}$ como ${(- 9 x - 9)}^{- 1}$ .

$lim_{x \to - 10} \frac{\frac{1}{{(- 3 x - 1)}^{2}}}{\frac{d}{d x} [{(- 9 x - 9)}^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{81}]}$

Paso 1.3.7.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{- 1}$ y $g (x) = - 9 x - 9$ .

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Paso 1.3.7.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $- 9 x - 9$ .

$lim_{x \to - 10} \frac{\frac{1}{{(- 3 x - 1)}^{2}}}{\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [- 9 x - 9] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{81}]}$

Paso 1.3.7.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$lim_{x \to - 10} \frac{\frac{1}{{(- 3 x - 1)}^{2}}}{- u^{- 2} \frac{d}{d x} [- 9 x - 9] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{81}]}$

Paso 1.3.7.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $- 9 x - 9$ .

$lim_{x \to - 10} \frac{\frac{1}{{(- 3 x - 1)}^{2}}}{- {(- 9 x - 9)}^{- 2} \frac{d}{d x} [- 9 x - 9] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{81}]}$

Paso 1.3.7.3

Según la regla de la suma, la derivada de $- 9 x - 9$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [- 9 x] + \frac{d}{d x} [- 9]$ .

$lim_{x \to - 10} \frac{\frac{1}{{(- 3 x - 1)}^{2}}}{- {(- 9 x - 9)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [- 9 x] + \frac{d}{d x} [- 9]) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{81}]}$

Paso 1.3.7.4

Como $- 9$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 9 x$ con respecto a $x$ es $- 9 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to - 10} \frac{\frac{1}{{(- 3 x - 1)}^{2}}}{- {(- 9 x - 9)}^{- 2} (- 9 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 9]) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{81}]}$

Paso 1.3.7.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{x \to - 10} \frac{\frac{1}{{(- 3 x - 1)}^{2}}}{- {(- 9 x - 9)}^{- 2} (- 9 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 9]) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{81}]}$

Paso 1.3.7.6

Como $- 9$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 9$ con respecto a $x$ es $0$ .

$lim_{x \to - 10} \frac{\frac{1}{{(- 3 x - 1)}^{2}}}{- {(- 9 x - 9)}^{- 2} (- 9 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{81}]}$

Paso 1.3.7.7

Multiplica $- 9$ por $1$ .

$lim_{x \to - 10} \frac{\frac{1}{{(- 3 x - 1)}^{2}}}{- {(- 9 x - 9)}^{- 2} (- 9 + 0) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{81}]}$

Paso 1.3.7.8

Suma $- 9$ y $0$ .

$lim_{x \to - 10} \frac{\frac{1}{{(- 3 x - 1)}^{2}}}{- {(- 9 x - 9)}^{- 2} \cdot - 9 + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{81}]}$

Paso 1.3.7.9

Multiplica $- 9$ por $- 1$ .

$lim_{x \to - 10} \frac{\frac{1}{{(- 3 x - 1)}^{2}}}{9 {(- 9 x - 9)}^{- 2} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{81}]}$

Paso 1.3.8

Como $- \frac{1}{81}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \frac{1}{81}$ con respecto a $x$ es $0$ .

$lim_{x \to - 10} \frac{\frac{1}{{(- 3 x - 1)}^{2}}}{9 {(- 9 x - 9)}^{- 2} + 0}$

Paso 1.3.9

Simplifica.

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Paso 1.3.9.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to - 10} \frac{\frac{1}{{(- 3 x - 1)}^{2}}}{9 \frac{1}{{(- 9 x - 9)}^{2}} + 0}$

Paso 1.3.9.2

Combina los términos.

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Paso 1.3.9.2.1

Combina $9$ y $\frac{1}{{(- 9 x - 9)}^{2}}$ .

$lim_{x \to - 10} \frac{\frac{1}{{(- 3 x - 1)}^{2}}}{\frac{9}{{(- 9 x - 9)}^{2}} + 0}$

Paso 1.3.9.2.2

Suma $\frac{9}{{(- 9 x - 9)}^{2}}$ y $0$ .

$lim_{x \to - 10} \frac{\frac{1}{{(- 3 x - 1)}^{2}}}{\frac{9}{{(- 9 x - 9)}^{2}}}$

Paso 1.3.9.3

Simplifica el denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.3.9.3.1

Factoriza $9$ de $- 9 x - 9$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.3.9.3.1.1

Factoriza $9$ de $- 9 x$ .

$lim_{x \to - 10} \frac{\frac{1}{{(- 3 x - 1)}^{2}}}{\frac{9}{{(9 (- x) - 9)}^{2}}}$

Paso 1.3.9.3.1.2

Factoriza $9$ de $- 9$ .

$lim_{x \to - 10} \frac{\frac{1}{{(- 3 x - 1)}^{2}}}{\frac{9}{{(9 (- x) + 9 (- 1))}^{2}}}$

Paso 1.3.9.3.1.3

Factoriza $9$ de $9 (- x) + 9 (- 1)$ .

$lim_{x \to - 10} \frac{\frac{1}{{(- 3 x - 1)}^{2}}}{\frac{9}{{(9 (- x - 1))}^{2}}}$

Paso 1.3.9.3.2

Aplica la regla del producto a $9 (- x - 1)$ .

$lim_{x \to - 10} \frac{\frac{1}{{(- 3 x - 1)}^{2}}}{\frac{9}{9^{2} {(- x - 1)}^{2}}}$

Paso 1.3.9.3.3

Eleva $9$ a la potencia de $2$ .

$lim_{x \to - 10} \frac{\frac{1}{{(- 3 x - 1)}^{2}}}{\frac{9}{81 {(- x - 1)}^{2}}}$

Paso 1.3.9.4

Cancela el factor común de $9$ y $81$ .

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Paso 1.3.9.4.1

Factoriza $9$ de $9$ .

$lim_{x \to - 10} \frac{\frac{1}{{(- 3 x - 1)}^{2}}}{\frac{9 (1)}{81 {(- x - 1)}^{2}}}$

Paso 1.3.9.4.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.3.9.4.2.1

Factoriza $9$ de $81 {(- x - 1)}^{2}$ .

$lim_{x \to - 10} \frac{\frac{1}{{(- 3 x - 1)}^{2}}}{\frac{9 (1)}{9 (9 {(- x - 1)}^{2})}}$

Paso 1.3.9.4.2.2

Cancela el factor común.

$lim_{x \to - 10} \frac{\frac{1}{{(- 3 x - 1)}^{2}}}{\frac{9 \cdot 1}{9 (9 {(- x - 1)}^{2})}}$

Paso 1.3.9.4.2.3

Reescribe la expresión.

$lim_{x \to - 10} \frac{\frac{1}{{(- 3 x - 1)}^{2}}}{\frac{1}{9 {(- x - 1)}^{2}}}$

Paso 1.4

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$lim_{x \to - 10} \frac{1}{{(- 3 x - 1)}^{2}} (9 {(- x - 1)}^{2})$

Paso 1.5

Combina factores.

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Paso 1.5.1

Combina $9$ y $\frac{1}{{(- 3 x - 1)}^{2}}$ .

$lim_{x \to - 10} \frac{9}{{(- 3 x - 1)}^{2}} {(- x - 1)}^{2}$

Paso 1.5.2

Combina $\frac{9}{{(- 3 x - 1)}^{2}}$ y ${(- x - 1)}^{2}$ .

$lim_{x \to - 10} \frac{9 {(- x - 1)}^{2}}{{(- 3 x - 1)}^{2}}$

Paso 2

Evalúa el límite.

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Paso 2.1

Mueve el término $9$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$9 lim_{x \to - 10} \frac{{(- x - 1)}^{2}}{{(- 3 x - 1)}^{2}}$

Paso 2.2

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $- 10$ .

$9 \frac{lim_{x \to - 10} {(- x - 1)}^{2}}{lim_{x \to - 10} {(- 3 x - 1)}^{2}}$

Paso 2.3

Mueve el exponente $2$ de ${(- x - 1)}^{2}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$9 \frac{{(lim_{x \to - 10} - x - 1)}^{2}}{lim_{x \to - 10} {(- 3 x - 1)}^{2}}$

Paso 2.4

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $- 10$ .

$9 \frac{{(- lim_{x \to - 10} x - lim_{x \to - 10} 1)}^{2}}{lim_{x \to - 10} {(- 3 x - 1)}^{2}}$

Paso 2.5

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $- 10$ .

$9 \frac{{(- lim_{x \to - 10} x - 1 \cdot 1)}^{2}}{lim_{x \to - 10} {(- 3 x - 1)}^{2}}$

Paso 2.6

Mueve el exponente $2$ de ${(- 3 x - 1)}^{2}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$9 \frac{{(- lim_{x \to - 10} x - 1 \cdot 1)}^{2}}{{(lim_{x \to - 10} - 3 x - 1)}^{2}}$

Paso 2.7

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $- 10$ .

$9 \frac{{(- lim_{x \to - 10} x - 1 \cdot 1)}^{2}}{{(- lim_{x \to - 10} 3 x - lim_{x \to - 10} 1)}^{2}}$

Paso 2.8

Mueve el término $3$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$9 \frac{{(- lim_{x \to - 10} x - 1 \cdot 1)}^{2}}{{(- 3 lim_{x \to - 10} x - lim_{x \to - 10} 1)}^{2}}$

Paso 2.9

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $- 10$ .

$9 \frac{{(- lim_{x \to - 10} x - 1 \cdot 1)}^{2}}{{(- 3 lim_{x \to - 10} x - 1 \cdot 1)}^{2}}$

Paso 3

Evalúa los límites mediante el ingreso de $- 10$ para todos los casos de $x$ .

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Paso 3.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $- 10$ para $x$ .

$9 \frac{{(10 - 1 \cdot 1)}^{2}}{{(- 3 lim_{x \to - 10} x - 1 \cdot 1)}^{2}}$

Paso 3.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $- 10$ para $x$ .

$9 \frac{{(10 - 1 \cdot 1)}^{2}}{{(- 3 \cdot - 10 - 1 \cdot 1)}^{2}}$

Paso 4

Simplifica la respuesta.

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Paso 4.1

Simplifica el numerador.

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Paso 4.1.1

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$9 \frac{{(10 - 1)}^{2}}{{(- 3 \cdot - 10 - 1 \cdot 1)}^{2}}$

Paso 4.1.2

Resta $1$ de $10$ .

$9 \frac{9^{2}}{{(- 3 \cdot - 10 - 1 \cdot 1)}^{2}}$

Paso 4.1.3

Eleva $9$ a la potencia de $2$ .

$9 \frac{81}{{(- 3 \cdot - 10 - 1 \cdot 1)}^{2}}$

Paso 4.2

Simplifica el denominador.

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Paso 4.2.1

Multiplica $- 3$ por $- 10$ .

$9 \frac{81}{{(30 - 1 \cdot 1)}^{2}}$

Paso 4.2.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$9 \frac{81}{{(30 - 1)}^{2}}$

Paso 4.2.3

Resta $1$ de $30$ .

$9 \frac{81}{29^{2}}$

Paso 4.2.4

Eleva $29$ a la potencia de $2$ .

$9 (\frac{81}{841})$

Paso 4.3

Multiplica $9 (\frac{81}{841})$ .

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Paso 4.3.1

Combina $9$ y $\frac{81}{841}$ .

$\frac{9 \cdot 81}{841}$

Paso 4.3.2

Multiplica $9$ por $81$ .

$\frac{729}{841}$

Paso 5

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{729}{841}$

Forma decimal:

$0.86682520 \dots$