Cálculo Ejemplos

$f (x) = 1 - \sin (4 x)$

Paso 1

La función $F (x)$ puede obtenerse mediante el cálculo de la integral indefinida de la derivada $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Paso 2

Establece la integral para resolver.

$F (x) = \int 1 - \sin (4 x) d x$

Paso 3

Divide la única integral en varias integrales.

$\int d x + \int - \sin (4 x) d x$

Paso 4

Aplica la regla de la constante.

$x + C + \int - \sin (4 x) d x$

Paso 5

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$x + C - \int \sin (4 x) d x$

Paso 6

Sea $u = 4 x$ . Entonces $d u = 4 d x$ , de modo que $\frac{1}{4} d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 6.1

Deja $u = 4 x$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 6.1.1

Diferencia $4 x$ .

$\frac{d}{d x} [4 x]$

Paso 6.1.2

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 x$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x]$

Paso 6.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$4 \cdot 1$

Paso 6.1.4

Multiplica $4$ por $1$ .

$4$

Paso 6.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$x + C - \int \sin (u) \frac{1}{4} d u$

Paso 7

Combina $\sin (u)$ y $\frac{1}{4}$ .

$x + C - \int \frac{\sin (u)}{4} d u$

Paso 8

Dado que $\frac{1}{4}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{4}$ fuera de la integral.

$x + C - (\frac{1}{4} \int \sin (u) d u)$

Paso 9

La integral de $\sin (u)$ con respecto a $u$ es $- \cos (u)$ .

$x + C - \frac{1}{4} (- \cos (u) + C)$

Paso 10

Simplifica.

$x + \frac{\cos (u)}{4} + C$

Paso 11

Reemplaza todos los casos de $u$ con $4 x$ .

$x + \frac{\cos (4 x)}{4} + C$

Paso 12

Reordena los términos.

$x + \frac{1}{4} \cos (4 x) + C$

Paso 13

La respuesta es la antiderivada de la función $f (x) = 1 - \sin (4 x)$ .

$F (x) =$ $x + \frac{1}{4} \cos (4 x) + C$