Cálculo Ejemplos

$f (x) = \arctan (x^{2})$

Paso 1

Obtener la segunda derivada.

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Paso 1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \arctan (x)$ y $g (x) = x^{2}$ .

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Paso 1.1.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x^{2}$ .

$\frac{d}{d u} [\arctan (u)] \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 1.1.1.2

La derivada de $\arctan (u)$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{1 + u^{2}}$ .

$\frac{1}{1 + u^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 1.1.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{2}$ .

$\frac{1}{1 + {(x^{2})}^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 1.1.2

Diferencia con la regla de la potencia.

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Paso 1.1.2.1

Multiplica los exponentes en ${(x^{2})}^{2}$ .

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Paso 1.1.2.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{1 + x^{2 \cdot 2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 1.1.2.1.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{1}{1 + x^{4}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 1.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{1}{1 + x^{4}} (2 x)$

Paso 1.1.2.3

Combina fracciones.

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Paso 1.1.2.3.1

Combina $2$ y $\frac{1}{1 + x^{4}}$ .

$\frac{2}{1 + x^{4}} x$

Paso 1.1.2.3.2

Combina $\frac{2}{1 + x^{4}}$ y $x$ .

$\frac{2 x}{1 + x^{4}}$

Paso 1.1.2.3.3

Reordena los términos.

$f' (x) = \frac{2 x}{x^{4} + 1}$

Paso 1.2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 1.2.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{2 x}{x^{4} + 1}$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x^{4} + 1}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x^{4} + 1}]$

Paso 1.2.2

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = x^{4} + 1$ .

$2 \frac{(x^{4} + 1) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [x^{4} + 1]}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Paso 1.2.3

Diferencia.

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Paso 1.2.3.1

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 \frac{(x^{4} + 1) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [x^{4} + 1]}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Paso 1.2.3.2

Multiplica $x^{4} + 1$ por $1$ .

$2 \frac{x^{4} + 1 - x \frac{d}{d x} [x^{4} + 1]}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Paso 1.2.3.3

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{4} + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$2 \frac{x^{4} + 1 - x (\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Paso 1.2.3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$2 \frac{x^{4} + 1 - x (4 x^{3} + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Paso 1.2.3.5

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$2 \frac{x^{4} + 1 - x (4 x^{3} + 0)}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Paso 1.2.3.6

Simplifica la expresión.

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Paso 1.2.3.6.1

Suma $4 x^{3}$ y $0$ .

$2 \frac{x^{4} + 1 - x (4 x^{3})}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Paso 1.2.3.6.2

Multiplica $4$ por $- 1$ .

$2 \frac{x^{4} + 1 - 4 x \cdot x^{3}}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Paso 1.2.4

Multiplica $x$ por $x^{3}$ sumando los exponentes.

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Paso 1.2.4.1

Mueve $x^{3}$ .

$2 \frac{x^{4} + 1 - 4 (x^{3} x)}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Paso 1.2.4.2

Multiplica $x^{3}$ por $x$ .

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Paso 1.2.4.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$2 \frac{x^{4} + 1 - 4 (x^{3} x^{1})}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Paso 1.2.4.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$2 \frac{x^{4} + 1 - 4 x^{3 + 1}}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Paso 1.2.4.3

Suma $3$ y $1$ .

$2 \frac{x^{4} + 1 - 4 x^{4}}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Paso 1.2.5

Resta $4 x^{4}$ de $x^{4}$ .

$2 \frac{- 3 x^{4} + 1}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Paso 1.2.6

Combina $2$ y $\frac{- 3 x^{4} + 1}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$ .

$\frac{2 (- 3 x^{4} + 1)}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Paso 1.2.7

Simplifica.

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Paso 1.2.7.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 (- 3 x^{4}) + 2 \cdot 1}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Paso 1.2.7.2

Simplifica cada término.

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Paso 1.2.7.2.1

Multiplica $- 3$ por $2$ .

$\frac{- 6 x^{4} + 2 \cdot 1}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Paso 1.2.7.2.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$\frac{- 6 x^{4} + 2}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Paso 1.2.7.3

Factoriza $2$ de $- 6 x^{4} + 2$ .

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Paso 1.2.7.3.1

Factoriza $2$ de $- 6 x^{4}$ .

$\frac{2 (- 3 x^{4}) + 2}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Paso 1.2.7.3.2

Factoriza $2$ de $2$ .

$\frac{2 (- 3 x^{4}) + 2 (1)}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Paso 1.2.7.3.3

Factoriza $2$ de $2 (- 3 x^{4}) + 2 (1)$ .

$\frac{2 (- 3 x^{4} + 1)}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Paso 1.2.7.4

Factoriza $- 1$ de $- 3 x^{4}$ .

$\frac{2 (- (3 x^{4}) + 1)}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Paso 1.2.7.5

Reescribe $1$ como $- 1 (- 1)$ .

$\frac{2 (- (3 x^{4}) - 1 (- 1))}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Paso 1.2.7.6

Factoriza $- 1$ de $- (3 x^{4}) - 1 (- 1)$ .

$\frac{2 (- (3 x^{4} - 1))}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Paso 1.2.7.7

Reescribe $- (3 x^{4} - 1)$ como $- 1 (3 x^{4} - 1)$ .

$\frac{2 (- 1 (3 x^{4} - 1))}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Paso 1.2.7.8

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f'' (x) = - \frac{2 (3 x^{4} - 1)}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Paso 1.3

La segunda derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $- \frac{2 (3 x^{4} - 1)}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$ .

$- \frac{2 (3 x^{4} - 1)}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Paso 2

Establece la segunda derivada igual a $0$ luego resuelve la ecuación $- \frac{2 (3 x^{4} - 1)}{{(x^{4} + 1)}^{2}} = 0$ .

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Paso 2.1

Establece la segunda derivada igual a $0$ .

$- \frac{2 (3 x^{4} - 1)}{{(x^{4} + 1)}^{2}} = 0$

Paso 2.2

Establece el numerador igual a cero.

$2 (3 x^{4} - 1) = 0$

Paso 2.3

Resuelve la ecuación en $x$ .

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Paso 2.3.1

Divide cada término en $2 (3 x^{4} - 1) = 0$ por $2$ y simplifica.

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Paso 2.3.1.1

Divide cada término en $2 (3 x^{4} - 1) = 0$ por $2$ .

$\frac{2 (3 x^{4} - 1)}{2} = \frac{0}{2}$

Paso 2.3.1.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.3.1.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.3.1.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 (3 x^{4} - 1)}{2} = \frac{0}{2}$

Paso 2.3.1.2.1.2

Divide $3 x^{4} - 1$ por $1$ .

$3 x^{4} - 1 = \frac{0}{2}$

Paso 2.3.1.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.3.1.3.1

Divide $0$ por $2$ .

$3 x^{4} - 1 = 0$

Paso 2.3.2

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$3 x^{4} = 1$

Paso 2.3.3

Divide cada término en $3 x^{4} = 1$ por $3$ y simplifica.

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Paso 2.3.3.1

Divide cada término en $3 x^{4} = 1$ por $3$ .

$\frac{3 x^{4}}{3} = \frac{1}{3}$

Paso 2.3.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.3.3.2.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 2.3.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 x^{4}}{3} = \frac{1}{3}$

Paso 2.3.3.2.1.2

Divide $x^{4}$ por $1$ .

$x^{4} = \frac{1}{3}$

Paso 2.3.4

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$x = \pm \sqrt[4]{\frac{1}{3}}$

Paso 2.3.5

Simplifica $\pm \sqrt[4]{\frac{1}{3}}$ .

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Paso 2.3.5.1

Reescribe $\sqrt[4]{\frac{1}{3}}$ como $\frac{\sqrt[4]{1}}{\sqrt[4]{3}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt[4]{1}}{\sqrt[4]{3}}$

Paso 2.3.5.2

Cualquier raíz de $1$ es $1$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt[4]{3}}$

Paso 2.3.5.3

Multiplica $\frac{1}{\sqrt[4]{3}}$ por $\frac{{\sqrt[4]{3}}^{3}}{{\sqrt[4]{3}}^{3}}$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt[4]{3}} \cdot \frac{{\sqrt[4]{3}}^{3}}{{\sqrt[4]{3}}^{3}}$

Paso 2.3.5.4

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 2.3.5.4.1

Multiplica $\frac{1}{\sqrt[4]{3}}$ por $\frac{{\sqrt[4]{3}}^{3}}{{\sqrt[4]{3}}^{3}}$ .

$x = \pm \frac{{\sqrt[4]{3}}^{3}}{\sqrt[4]{3} {\sqrt[4]{3}}^{3}}$

Paso 2.3.5.4.2

Eleva $\sqrt[4]{3}$ a la potencia de $1$ .

$x = \pm \frac{{\sqrt[4]{3}}^{3}}{{\sqrt[4]{3}}^{1} {\sqrt[4]{3}}^{3}}$

Paso 2.3.5.4.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$x = \pm \frac{{\sqrt[4]{3}}^{3}}{{\sqrt[4]{3}}^{1 + 3}}$

Paso 2.3.5.4.4

Suma $1$ y $3$ .

$x = \pm \frac{{\sqrt[4]{3}}^{3}}{{\sqrt[4]{3}}^{4}}$

Paso 2.3.5.4.5

Reescribe ${\sqrt[4]{3}}^{4}$ como $3$ .

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Paso 2.3.5.4.5.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[4]{3}$ como $3^{\frac{1}{4}}$ .

$x = \pm \frac{{\sqrt[4]{3}}^{3}}{{(3^{\frac{1}{4}})}^{4}}$

Paso 2.3.5.4.5.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{{\sqrt[4]{3}}^{3}}{3^{\frac{1}{4} \cdot 4}}$

Paso 2.3.5.4.5.3

Combina $\frac{1}{4}$ y $4$ .

$x = \pm \frac{{\sqrt[4]{3}}^{3}}{3^{\frac{4}{4}}}$

Paso 2.3.5.4.5.4

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 2.3.5.4.5.4.1

Cancela el factor común.

$x = \pm \frac{{\sqrt[4]{3}}^{3}}{3^{\frac{4}{4}}}$

Paso 2.3.5.4.5.4.2

Reescribe la expresión.

$x = \pm \frac{{\sqrt[4]{3}}^{3}}{3^{1}}$

Paso 2.3.5.4.5.5

Evalúa el exponente.

$x = \pm \frac{{\sqrt[4]{3}}^{3}}{3}$

Paso 2.3.5.5

Simplifica el numerador.

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Paso 2.3.5.5.1

Reescribe ${\sqrt[4]{3}}^{3}$ como $\sqrt[4]{3^{3}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt[4]{3^{3}}}{3}$

Paso 2.3.5.5.2

Eleva $3$ a la potencia de $3$ .

$x = \pm \frac{\sqrt[4]{27}}{3}$

Paso 2.3.6

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 2.3.6.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = \frac{\sqrt[4]{27}}{3}$

Paso 2.3.6.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - \frac{\sqrt[4]{27}}{3}$

Paso 2.3.6.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = \frac{\sqrt[4]{27}}{3}, - \frac{\sqrt[4]{27}}{3}$

Paso 3

Obtén los puntos donde la segunda derivada es $0$ .

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Paso 3.1

Sustituye $\frac{\sqrt[4]{27}}{3}$ en $f (x) = \arctan (x^{2})$ para obtener el valor de $y$ .

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Paso 3.1.1

Reemplaza la variable $x$ con $\frac{\sqrt[4]{27}}{3}$ en la expresión.

$f (\frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = \arctan ({(\frac{\sqrt[4]{27}}{3})}^{2})$

Paso 3.1.2

Simplifica el resultado.

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Paso 3.1.2.1

Aplica la regla del producto a $\frac{\sqrt[4]{27}}{3}$ .

$f (\frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = \arctan (\frac{{\sqrt[4]{27}}^{2}}{3^{2}})$

Paso 3.1.2.2

Simplifica el numerador.

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Paso 3.1.2.2.1

Reescribe ${\sqrt[4]{27}}^{2}$ como $\sqrt{27}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1.2.2.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[4]{27}$ como $27^{\frac{1}{4}}$ .

$f (\frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = \arctan (\frac{{(27^{\frac{1}{4}})}^{2}}{3^{2}})$

Paso 3.1.2.2.1.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = \arctan (\frac{27^{\frac{1}{4} \cdot 2}}{3^{2}})$

Paso 3.1.2.2.1.3

Combina $\frac{1}{4}$ y $2$ .

$f (\frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = \arctan (\frac{27^{\frac{2}{4}}}{3^{2}})$

Paso 3.1.2.2.1.4

Cancela el factor común de $2$ y $4$ .

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Paso 3.1.2.2.1.4.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$f (\frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = \arctan (\frac{27^{\frac{2 (1)}{4}}}{3^{2}})$

Paso 3.1.2.2.1.4.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.1.2.2.1.4.2.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$f (\frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = \arctan (\frac{27^{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}}}{3^{2}})$

Paso 3.1.2.2.1.4.2.2

Cancela el factor común.

$f (\frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = \arctan (\frac{27^{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}}}{3^{2}})$

Paso 3.1.2.2.1.4.2.3

Reescribe la expresión.

$f (\frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = \arctan (\frac{27^{\frac{1}{2}}}{3^{2}})$

Paso 3.1.2.2.1.5

Reescribe $27^{\frac{1}{2}}$ como $\sqrt{27}$ .

$f (\frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = \arctan (\frac{\sqrt{27}}{3^{2}})$

Paso 3.1.2.2.2

Reescribe $27$ como $3^{2} \cdot 3$ .

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Paso 3.1.2.2.2.1

Factoriza $9$ de $27$ .

$f (\frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = \arctan (\frac{\sqrt{9 (3)}}{3^{2}})$

Paso 3.1.2.2.2.2

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$f (\frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = \arctan (\frac{\sqrt{3^{2} \cdot 3}}{3^{2}})$

Paso 3.1.2.2.3

Retira los términos de abajo del radical.

$f (\frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = \arctan (\frac{3 \sqrt{3}}{3^{2}})$

Paso 3.1.2.3

Reduce la expresión mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 3.1.2.3.1

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$f (\frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = \arctan (\frac{3 \sqrt{3}}{9})$

Paso 3.1.2.3.2

Cancela el factor común de $3$ y $9$ .

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Paso 3.1.2.3.2.1

Factoriza $3$ de $3 \sqrt{3}$ .

$f (\frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = \arctan (\frac{3 (\sqrt{3})}{9})$

Paso 3.1.2.3.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.1.2.3.2.2.1

Factoriza $3$ de $9$ .

$f (\frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = \arctan (\frac{3 \sqrt{3}}{3 \cdot 3})$

Paso 3.1.2.3.2.2.2

Cancela el factor común.

$f (\frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = \arctan (\frac{3 \sqrt{3}}{3 \cdot 3})$

Paso 3.1.2.3.2.2.3

Reescribe la expresión.

$f (\frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = \arctan (\frac{\sqrt{3}}{3})$

Paso 3.1.2.4

El valor exacto de $\arctan (\frac{\sqrt{3}}{3})$ es $\frac{π}{6}$ .

$f (\frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = \frac{π}{6}$

Paso 3.1.2.5

La respuesta final es $\frac{π}{6}$ .

$\frac{π}{6}$

Paso 3.2

El punto que se obtiene mediante la sustitución de $\frac{\sqrt[4]{27}}{3}$ en $f (x) = \arctan (x^{2})$ es $(\frac{\sqrt[4]{27}}{3}, \frac{π}{6})$ . Este puede ser un punto de inflexión.

$(\frac{\sqrt[4]{27}}{3}, \frac{π}{6})$

Paso 3.3

Sustituye $- \frac{\sqrt[4]{27}}{3}$ en $f (x) = \arctan (x^{2})$ para obtener el valor de $y$ .

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Paso 3.3.1

Reemplaza la variable $x$ con $- \frac{\sqrt[4]{27}}{3}$ en la expresión.

$f (- \frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = \arctan ({(- \frac{\sqrt[4]{27}}{3})}^{2})$

Paso 3.3.2

Simplifica el resultado.

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Paso 3.3.2.1

Usa la regla de la potencia ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir el exponente.

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Paso 3.3.2.1.1

Aplica la regla del producto a $- \frac{\sqrt[4]{27}}{3}$ .

$f (- \frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = \arctan ({(- 1)}^{2} {(\frac{\sqrt[4]{27}}{3})}^{2})$

Paso 3.3.2.1.2

Aplica la regla del producto a $\frac{\sqrt[4]{27}}{3}$ .

$f (- \frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = \arctan ({(- 1)}^{2} (\frac{{\sqrt[4]{27}}^{2}}{3^{2}}))$

Paso 3.3.2.2

Simplifica la expresión.

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Paso 3.3.2.2.1

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$f (- \frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = \arctan (1 (\frac{{\sqrt[4]{27}}^{2}}{3^{2}}))$

Paso 3.3.2.2.2

Multiplica $\frac{{\sqrt[4]{27}}^{2}}{3^{2}}$ por $1$ .

$f (- \frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = \arctan (\frac{{\sqrt[4]{27}}^{2}}{3^{2}})$

Paso 3.3.2.3

Simplifica el numerador.

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Paso 3.3.2.3.1

Reescribe ${\sqrt[4]{27}}^{2}$ como $\sqrt{27}$ .

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Paso 3.3.2.3.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[4]{27}$ como $27^{\frac{1}{4}}$ .

$f (- \frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = \arctan (\frac{{(27^{\frac{1}{4}})}^{2}}{3^{2}})$

Paso 3.3.2.3.1.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = \arctan (\frac{27^{\frac{1}{4} \cdot 2}}{3^{2}})$

Paso 3.3.2.3.1.3

Combina $\frac{1}{4}$ y $2$ .

$f (- \frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = \arctan (\frac{27^{\frac{2}{4}}}{3^{2}})$

Paso 3.3.2.3.1.4

Cancela el factor común de $2$ y $4$ .

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Paso 3.3.2.3.1.4.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$f (- \frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = \arctan (\frac{27^{\frac{2 (1)}{4}}}{3^{2}})$

Paso 3.3.2.3.1.4.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.3.2.3.1.4.2.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$f (- \frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = \arctan (\frac{27^{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}}}{3^{2}})$

Paso 3.3.2.3.1.4.2.2

Cancela el factor común.

$f (- \frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = \arctan (\frac{27^{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}}}{3^{2}})$

Paso 3.3.2.3.1.4.2.3

Reescribe la expresión.

$f (- \frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = \arctan (\frac{27^{\frac{1}{2}}}{3^{2}})$

Paso 3.3.2.3.1.5

Reescribe $27^{\frac{1}{2}}$ como $\sqrt{27}$ .

$f (- \frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = \arctan (\frac{\sqrt{27}}{3^{2}})$

Paso 3.3.2.3.2

Reescribe $27$ como $3^{2} \cdot 3$ .

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Paso 3.3.2.3.2.1

Factoriza $9$ de $27$ .

$f (- \frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = \arctan (\frac{\sqrt{9 (3)}}{3^{2}})$

Paso 3.3.2.3.2.2

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$f (- \frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = \arctan (\frac{\sqrt{3^{2} \cdot 3}}{3^{2}})$

Paso 3.3.2.3.3

Retira los términos de abajo del radical.

$f (- \frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = \arctan (\frac{3 \sqrt{3}}{3^{2}})$

Paso 3.3.2.4

Reduce la expresión mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 3.3.2.4.1

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$f (- \frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = \arctan (\frac{3 \sqrt{3}}{9})$

Paso 3.3.2.4.2

Cancela el factor común de $3$ y $9$ .

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Paso 3.3.2.4.2.1

Factoriza $3$ de $3 \sqrt{3}$ .

$f (- \frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = \arctan (\frac{3 (\sqrt{3})}{9})$

Paso 3.3.2.4.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.3.2.4.2.2.1

Factoriza $3$ de $9$ .

$f (- \frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = \arctan (\frac{3 \sqrt{3}}{3 \cdot 3})$

Paso 3.3.2.4.2.2.2

Cancela el factor común.

$f (- \frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = \arctan (\frac{3 \sqrt{3}}{3 \cdot 3})$

Paso 3.3.2.4.2.2.3

Reescribe la expresión.

$f (- \frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = \arctan (\frac{\sqrt{3}}{3})$

Paso 3.3.2.5

El valor exacto de $\arctan (\frac{\sqrt{3}}{3})$ es $\frac{π}{6}$ .

$f (- \frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = \frac{π}{6}$

Paso 3.3.2.6

La respuesta final es $\frac{π}{6}$ .

$\frac{π}{6}$

Paso 3.4

El punto que se obtiene mediante la sustitución de $- \frac{\sqrt[4]{27}}{3}$ en $f (x) = \arctan (x^{2})$ es $(- \frac{\sqrt[4]{27}}{3}, \frac{π}{6})$ . Este puede ser un punto de inflexión.

$(- \frac{\sqrt[4]{27}}{3}, \frac{π}{6})$

Paso 3.5

Determinar los puntos que podrían ser puntos de inflexión.

$(\frac{\sqrt[4]{27}}{3}, \frac{π}{6}), (- \frac{\sqrt[4]{27}}{3}, \frac{π}{6})$

Paso 4

Divide $(- \infty, \infty)$ en intervalos alrededor de los puntos que podrían ser puntos de inflexión.

$(- \infty, - \frac{\sqrt[4]{27}}{3}) \cup (- \frac{\sqrt[4]{27}}{3}, \frac{\sqrt[4]{27}}{3}) \cup (\frac{\sqrt[4]{27}}{3}, \infty)$

Paso 5

Sustituye un valor del intervalo $(- \infty, - \frac{\sqrt[4]{27}}{3})$ en la segunda derivada para determinar si está aumentando o disminuyendo.

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Paso 5.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 0.85983568$ en la expresión.

$f'' (- 0.85983568) = - \frac{2 (3 {(- 0.85983568)}^{4} - 1)}{{({(- 0.85983568)}^{4} + 1)}^{2}}$

Paso 5.2

Simplifica el resultado.

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Paso 5.2.1

Simplifica el numerador.

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Paso 5.2.1.1

Eleva $- 0.85983568$ a la potencia de $4$ .

$f'' (- 0.85983568) = - \frac{2 (3 \cdot 0.54659022 - 1)}{{({(- 0.85983568)}^{4} + 1)}^{2}}$

Paso 5.2.1.2

Multiplica $3$ por $0.54659022$ .

$f'' (- 0.85983568) = - \frac{2 (1.63977068 - 1)}{{({(- 0.85983568)}^{4} + 1)}^{2}}$

Paso 5.2.1.3

Resta $1$ de $1.63977068$ .

$f'' (- 0.85983568) = - \frac{2 \cdot 0.63977068}{{({(- 0.85983568)}^{4} + 1)}^{2}}$

Paso 5.2.2

Simplifica el denominador.

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Paso 5.2.2.1

Eleva $- 0.85983568$ a la potencia de $4$ .

$f'' (- 0.85983568) = - \frac{2 \cdot 0.63977068}{{(0.54659022 + 1)}^{2}}$

Paso 5.2.2.2

Suma $0.54659022$ y $1$ .

$f'' (- 0.85983568) = - \frac{2 \cdot 0.63977068}{{1.54659022}^{2}}$

Paso 5.2.2.3

Eleva $1.54659022$ a la potencia de $2$ .

$f'' (- 0.85983568) = - \frac{2 \cdot 0.63977068}{2.39194133}$

Paso 5.2.3

Simplifica la expresión.

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Paso 5.2.3.1

Multiplica $2$ por $0.63977068$ .

$f'' (- 0.85983568) = - \frac{1.27954136}{2.39194133}$

Paso 5.2.3.2

Divide $1.27954136$ por $2.39194133$ .

$f'' (- 0.85983568) = - 1 \cdot 0.53493843$

Paso 5.2.3.3

Multiplica $- 1$ por $0.53493843$ .

$f'' (- 0.85983568) = - 0.53493843$

Paso 5.2.4

La respuesta final es $- 0.53493843$ .

$- 0.53493843$

Paso 5.3

En $- 0.85983568$ , la segunda derivada es $- 0.53493843$ . Dado que esto es negativo, la segunda derivada disminuye en el intervalo $(- \infty, - \frac{\sqrt[4]{27}}{3})$ .

Decrecimiento en $(- \infty, - \frac{\sqrt[4]{27}}{3})$ desde $f'' (x) < 0$

Paso 6

Sustituye un valor del intervalo $(- \frac{\sqrt[4]{27}}{3}, \frac{\sqrt[4]{27}}{3})$ en la segunda derivada para determinar si está aumentando o disminuyendo.

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Paso 6.1

Reemplaza la variable $x$ con $0$ en la expresión.

$f'' (0) = - \frac{2 (3 {(0)}^{4} - 1)}{{({(0)}^{4} + 1)}^{2}}$

Paso 6.2

Simplifica el resultado.

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Paso 6.2.1

Simplifica el numerador.

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Paso 6.2.1.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$f'' (0) = - \frac{2 (3 \cdot 0 - 1)}{{(0^{4} + 1)}^{2}}$

Paso 6.2.1.2

Multiplica $3$ por $0$ .

$f'' (0) = - \frac{2 (0 - 1)}{{(0^{4} + 1)}^{2}}$

Paso 6.2.1.3

Resta $1$ de $0$ .

$f'' (0) = - \frac{2 \cdot - 1}{{(0^{4} + 1)}^{2}}$

Paso 6.2.2

Simplifica el denominador.

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Paso 6.2.2.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$f'' (0) = - \frac{2 \cdot - 1}{{(0 + 1)}^{2}}$

Paso 6.2.2.2

Suma $0$ y $1$ .

$f'' (0) = - \frac{2 \cdot - 1}{1^{2}}$

Paso 6.2.2.3

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$f'' (0) = - \frac{2 \cdot - 1}{1}$

Paso 6.2.3

Simplifica la expresión.

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Paso 6.2.3.1

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$f'' (0) = - \frac{- 2}{1}$

Paso 6.2.3.2

Divide $- 2$ por $1$ .

$f'' (0) = 2$

Paso 6.2.3.3

Multiplica $- 1$ por $- 2$ .

$f'' (0) = 2$

Paso 6.2.4

La respuesta final es $2$ .

$2$

Paso 6.3

En $0$ , la segunda derivada es $2$ . Dado que esto es positivo, la segunda derivada aumenta en el intervalo $(- \frac{\sqrt[4]{27}}{3}, \frac{\sqrt[4]{27}}{3})$ .

Incremento en $(- \frac{\sqrt[4]{27}}{3}, \frac{\sqrt[4]{27}}{3})$ ya que $f'' (x) > 0$

Paso 7

Sustituye un valor del intervalo $(\frac{\sqrt[4]{27}}{3}, \infty)$ en la segunda derivada para determinar si está aumentando o disminuyendo.

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Paso 7.1

Reemplaza la variable $x$ con $0.85983568$ en la expresión.

$f'' (0.85983568) = - \frac{2 (3 {(0.85983568)}^{4} - 1)}{{({(0.85983568)}^{4} + 1)}^{2}}$

Paso 7.2

Simplifica el resultado.

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Paso 7.2.1

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.2.1.1

Eleva $0.85983568$ a la potencia de $4$ .

$f'' (0.85983568) = - \frac{2 (3 \cdot 0.54659022 - 1)}{{({0.85983568}^{4} + 1)}^{2}}$

Paso 7.2.1.2

Multiplica $3$ por $0.54659022$ .

$f'' (0.85983568) = - \frac{2 (1.63977068 - 1)}{{({0.85983568}^{4} + 1)}^{2}}$

Paso 7.2.1.3

Resta $1$ de $1.63977068$ .

$f'' (0.85983568) = - \frac{2 \cdot 0.63977068}{{({0.85983568}^{4} + 1)}^{2}}$

Paso 7.2.2

Simplifica el denominador.

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Paso 7.2.2.1

Eleva $0.85983568$ a la potencia de $4$ .

$f'' (0.85983568) = - \frac{2 \cdot 0.63977068}{{(0.54659022 + 1)}^{2}}$

Paso 7.2.2.2

Suma $0.54659022$ y $1$ .

$f'' (0.85983568) = - \frac{2 \cdot 0.63977068}{{1.54659022}^{2}}$

Paso 7.2.2.3

Eleva $1.54659022$ a la potencia de $2$ .

$f'' (0.85983568) = - \frac{2 \cdot 0.63977068}{2.39194133}$

Paso 7.2.3

Simplifica la expresión.

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Paso 7.2.3.1

Multiplica $2$ por $0.63977068$ .

$f'' (0.85983568) = - \frac{1.27954136}{2.39194133}$

Paso 7.2.3.2

Divide $1.27954136$ por $2.39194133$ .

$f'' (0.85983568) = - 1 \cdot 0.53493843$

Paso 7.2.3.3

Multiplica $- 1$ por $0.53493843$ .

$f'' (0.85983568) = - 0.53493843$

Paso 7.2.4

La respuesta final es $- 0.53493843$ .

$- 0.53493843$

Paso 7.3

En $0.85983568$ , la segunda derivada es $- 0.53493843$ . Dado que esto es negativo, la segunda derivada disminuye en el intervalo $(\frac{\sqrt[4]{27}}{3}, \infty)$ .

Decrecimiento en $(\frac{\sqrt[4]{27}}{3}, \infty)$ desde $f'' (x) < 0$

Paso 8

Un punto de inflexión es un punto en una curva en el que la concavidad cambia de signo de más a menos o de menos a más. Los puntos de inflexión en este caso son $(- \frac{\sqrt[4]{27}}{3}, \frac{π}{6}), (\frac{\sqrt[4]{27}}{3}, \frac{π}{6})$ .

$(- \frac{\sqrt[4]{27}}{3}, \frac{π}{6}), (\frac{\sqrt[4]{27}}{3}, \frac{π}{6})$

Paso 9