Cálculo Ejemplos

$\int_{3}^{6} \frac{1}{\sqrt{6 x - x^{2}}} d x$

Paso 1

Factoriza $x$ de $6 x - x^{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1

Factoriza $x$ de $6 x$ .

$\int_{3}^{6} \frac{1}{\sqrt{x \cdot 6 - x^{2}}} d x$

Paso 1.2

Factoriza $x$ de $- x^{2}$ .

$\int_{3}^{6} \frac{1}{\sqrt{x \cdot 6 + x (- x)}} d x$

Paso 1.3

Factoriza $x$ de $x \cdot 6 + x (- x)$ .

$\int_{3}^{6} \frac{1}{\sqrt{x (6 - x)}} d x$

Paso 2

Completa el cuadrado.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1

Simplifica la expresión.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$x \cdot 6 + x (- x)$

Paso 2.1.2

Mueve $6$ a la izquierda de $x$ .

$6 \cdot x + x (- x)$

Paso 2.1.3

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$6 \cdot x - x \cdot x$

Paso 2.1.4

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.4.1

Mueve $x$ .

$6 x - (x \cdot x)$

Paso 2.1.4.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$6 x - x^{2}$

Paso 2.1.5

Reordena $6 x$ y $- x^{2}$ .

$- x^{2} + 6 x$

Paso 2.2

Usa la forma $a x^{2} + b x + c$ , para obtener los valores de $a$ , $b$ y $c$ .

$a = - 1$

$b = 6$

$c = 0$

Paso 2.3

Considera la forma de vértice de una parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Paso 2.4

Obtén el valor de $d$ con la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.4.1

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{6}{2 \cdot - 1}$

Paso 2.4.2

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.4.2.1

Cancela el factor común de $6$ y $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.4.2.1.1

Factoriza $2$ de $6$ .

$d = \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot - 1}$

Paso 2.4.2.1.2

Mueve el negativo del denominador de $\frac{3}{- 1}$ .

$d = - 1 \cdot 3$

Paso 2.4.2.2

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$d = - 3$

Paso 2.5

Obtén el valor de $e$ con la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.5.1

Sustituye los valores de $c$ , $b$ y $a$ en la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{6^{2}}{4 \cdot - 1}$

Paso 2.5.2

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.5.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.5.2.1.1

Eleva $6$ a la potencia de $2$ .

$e = 0 - \frac{36}{4 \cdot - 1}$

Paso 2.5.2.1.2

Multiplica $4$ por $- 1$ .

$e = 0 - \frac{36}{- 4}$

Paso 2.5.2.1.3

Divide $36$ por $- 4$ .

$e = 0 - - 9$

Paso 2.5.2.1.4

Multiplica $- 1$ por $- 9$ .

$e = 0 + 9$

Paso 2.5.2.2

Suma $0$ y $9$ .

$e = 9$

Paso 2.6

Sustituye los valores de $a$ , $d$ y $e$ en la forma de vértice $- {(x - 3)}^{2} + 9$ .

$\int_{3}^{6} \frac{1}{\sqrt{- {(x - 3)}^{2} + 9}} d x$

Paso 3

Sea $u = x - 3$ . Entonces $d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1

Deja $u = x - 3$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1.1

Diferencia $x - 3$ .

$\frac{d}{d x} [x - 3]$

Paso 3.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x - 3$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Paso 3.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 3]$

Paso 3.1.4

Como $- 3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 3$ con respecto a $x$ es $0$ .

$1 + 0$

Paso 3.1.5

Suma $1$ y $0$ .

$1$

Paso 3.2

Sustituye el límite inferior por $x$ en $u = x - 3$ .

$u_{lower} = 3 - 3$

Paso 3.3

Resta $3$ de $3$ .

$u_{lower} = 0$

Paso 3.4

Sustituye el límite superior por $x$ en $u = x - 3$ .

$u_{upper} = 6 - 3$

Paso 3.5

Resta $3$ de $6$ .

$u_{upper} = 3$

Paso 3.6

Los valores obtenidos para $u_{lower}$ y $u_{upper}$ se usarán para evaluar la integral definida.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 3$

Paso 3.7

Reescribe el problema mediante $u$ , $d u$ y los nuevos límites de integración.

$\int_{0}^{3} \frac{1}{\sqrt{- u^{2} + 9}} d u$

Paso 4

Simplifica la expresión.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$\int_{0}^{3} \frac{1}{\sqrt{- u^{2} + 3^{2}}} d u$

Paso 4.2

Reordena $- u^{2}$ y $3^{2}$ .

$\int_{0}^{3} \frac{1}{\sqrt{3^{2} - u^{2}}} d u$

Paso 5

La integral de $\frac{1}{\sqrt{3^{2} - u^{2}}}$ con respecto a $u$ es $\arcsin (\frac{u}{3})$ .

$\arcsin (\frac{u}{3})]_{0}^{3}$

Paso 6

Sustituye y simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.1

Evalúa $\arcsin (\frac{u}{3})$ en $3$ y en $0$ .

$(\arcsin (\frac{3}{3})) - \arcsin (\frac{0}{3})$

Paso 6.2

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.1

Cancela el factor común de $3$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.1.1

Cancela el factor común.

$\arcsin (\frac{3}{3}) - \arcsin (\frac{0}{3})$

Paso 6.2.1.2

Reescribe la expresión.

$\arcsin (1) - \arcsin (\frac{0}{3})$

Paso 6.2.2

Cancela el factor común de $0$ y $3$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.2.1

Factoriza $3$ de $0$ .

$\arcsin (1) - \arcsin (\frac{3 (0)}{3})$

Paso 6.2.2.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.2.2.1

Factoriza $3$ de $3$ .

$\arcsin (1) - \arcsin (\frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1})$

Paso 6.2.2.2.2

Cancela el factor común.

$\arcsin (1) - \arcsin (\frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1})$

Paso 6.2.2.2.3

Reescribe la expresión.

$\arcsin (1) - \arcsin (\frac{0}{1})$

Paso 6.2.2.2.4

Divide $0$ por $1$ .

$\arcsin (1) - \arcsin (0)$

Paso 7

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.1.1

El valor exacto de $\arcsin (1)$ es $\frac{π}{2}$ .

$\frac{π}{2} - \arcsin (0)$

Paso 7.1.2

El valor exacto de $\arcsin (0)$ es $0$ .

$\frac{π}{2} - 0$

Paso 7.1.3

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$\frac{π}{2} + 0$

Paso 7.2

Suma $\frac{π}{2}$ y $0$ .

$\frac{π}{2}$

Paso 8

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{π}{2}$

Forma decimal:

$1.57079632 \dots$

Paso 9